Новости

Случайные величины в теории вероятности

Работа добавлена:






Случайные величины в теории вероятности на http://mirrorref.ru

2 Случайные величины

2.1 Случайные величины

В зависимости от цели того или иного испытания часто имеют дело с величинами, которые могут принимать те или иные значения, причем заранее неизвестно, какие именно. Такие величины называют случайными.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств.

Примеры случайных величин: число вышедших из строя элементов после 1000 часов работы сложного устройства;  величина напряжения в сети в данный момент времени; число покупателей в магазине в момент закрытия.

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

К случайным дискретным величинам относят величины, частные значения которых можно пересчитать, т. е. их число конечно.

У случайных непрерывных величин нельзя пересчитать их частные значения, так как их число бесконечно (они непрерывно заполняют определенный интервал).

Случайные величины обозначают прописными буквамиX,Y,Z, а их частные значения – строчными буквамиx,y,z.

Случайное событие можно рассматривать как частный случай случайной величины.

Например: событиеAпопадание пули в мишень, событие  - непопадание пули в мишень. Если случайная величинаX принимает частное значениеx=1, то появляется событиеA, а если случайная величинаX принимает частное значениеx=0, то появляется событие .

2.2 Законы распределения случайных величин

Всякое соотношение, устанавливающее связь между частным значением случайной величины и вероятностью ее появления, называют законом распределения.

Если случайная величинаX принимает частные значения  с вероятностью , то закон распределения случайной величины запишется в виде соотношений

…………….

…………….

.

К основным математическим формам законов распределения случайной величины относят:

ряд распределения,

многоугольник распределения,

функцию распределения,

плотность распределения.

Ряд распределения применяется для случайных дискретных величин и представляет собой таблицу, в первой строке которой указываются частные значения случайной величины, а во второй – вероятности их появления (таблица 1).

Таблица 1

x

P(X=x)

Эта таблица позволяет найти ответы на следующие вопросы.

Какие частные значения может принимать случайная величина?

Какие частные значения случайной величины будут появляться чаще, а какие реже?

По этой таблице можно определить вероятность появления случайной величины в заданных пределах , т.е.

.

Многоугольник распределенияпредставляет собой график, на котором по оси абсцисс откладываются частные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности их появления.

Рисунок 1 Многоугольник распределения

График многоугольника распределения решает те же вопросы, что и ряд распределения.

Ряд и многоугольник распределения не являются универсальными характеристиками случайной величины. Их нельзя построить для случайной непрерывной величины. Поэтому необходима универсальная характеристика, пригодная не только для дискретных, но и для непрерывных величин. Такой характеристикой являетсяфункция распределения (интегральная функция) случайной величины, которая обозначаетсяF(x).

Функцией распределения случайной величиныназывают вероятность того, что случайная величина примет частное значение меньшее некоторого фиксированного, т.е.

P(X<x) =F(x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: функция распределенияF(x) есть вероятность того, что случайная величинаX примет значение, которое изображается точкой, лежащей левее точкиx.

Так как случайная дискретная величина может принимать значения  то функция распределения для нее будет

.

Свойства функции распределения

1)Функция распределенияF(x) является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. , если .

2) Функция распределенияF(x)есть неотрицательная функция, значения которой принадлежат отрезку (0,1), т.е. .

Графикфункции распределения

А) Случайная дискретная величина.

Таблица 2

x

0

1

2

p

0,3

0,5

0,2

F(0)=0;

F(1)=0,3;

F(2)=P(X=0)+P(X=1)=0,3+0,5=0,8;

F(3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 0,3+0,5+0,2=1.

Для случайной дискретной величины функция распределенияF(x) имеет ступенчатый график (Рис. 2), количество ступенек равно числу частных значений случайной величины, а высота ступеньки равна значению вероятности появления этого частного значения случайной величины.

Рисунок 2 График функции распределения случайной дискретной величины

Б) Случайная непрерывная величина.

Функция распределения этой случайной величины представляет собой непрерывную кривую (Рис.3).

Рисунок 3 График функции распределения случайной непрерывной величины

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.

Пусть случайная непрерывная величинаX может принять частное значение в интервале , причем известна ее функция распределенияF(x). Требуется найти вероятность попадания ее в этот интервал, т.е. .

Рисунок 4 Определение значений функции распределения на границах интервала

По определению значение функции распределенияF(b)в точкеb является вероятностью того, что случайная величина примет значение меньшееb, а значение функции распределенияF(a)в точкеa - вероятностью того, что случайная величина примет значение меньшееa. Следовательно, вероятность попадания случайной величины в этот интервал будет определяться разностью значений функций распределения в граничных точках, т.е.

.                     (2.1)

Рисунок 5 Определение  по функции распределения

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке (рис. 5).

Пример 1: Прибор рассчитан на входное напряжение не большее 220 Вольт, а напряжение сети является случайной величиной с функцией распределения

если210<X<230;

F(x) =0,еслиX<210;

F(x) =1, еслиX>230.

Определить вероятность отказа прибора из–за непостоянства напряжения сети.

Решение.

Обозначим черезAсобытие отказа прибора в работе;V – случайная величина напряжения в сети.

P(A)=P(220<V<230)=F(230)-F(220).

F(230)=(x-210)/20=(230-210)/20=1;

F(220)=(220-210)/20=0,5.Откуда    P(A)=1-0,5=0,5.

2.3 Плотность распределения случайной непрерывной величины

Функция распределения случайной непрерывной величины дополнительно обладает еще одним свойством, которое заключается в том, что вероятность того, что случайная непрерывная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

Пусть случайная непрерывная величинаX может принять частное значение в интервале , причем известна ее функция распределенияF(x). Требуется найти вероятность попадания ее в этот интервал, т.е.  при условии, что.

Используя предел вероятности попадания величины в заданный интервал, получаем

.

Этот результат означает, что пользоваться формулой (2.1) для определения вероятности попадания случайной непрерывной величины в заданный интервал, близкий нулю, нельзя.

Задание закона распределения не является единственным способом. Очень часто его задают так называемой дифференциальной функцией распределения или плотностью вероятности.

Дифференциальной функцией распределения (плотностью вероятности)f(x) случайной непрерывной величиныX называют первую производную от функции распределения случайной непрерывной величиныX:

.

Дифференциальная функцияf(x) характеризует плотность распределения значений случайной непрерывной величины, что и определило ее второе название.

Действительно, так как вероятность попадания случайной величиныX  в интервал  равна приращению функции на этом интервале, т.е.

,

то отношение этого приращения к приращению аргумента

будет характеризовать среднюю плотность вероятности на этом интервале.

В пределе при стремлении  к нулю получим (предполагается, что функцияf(x) дифференцируема):

.

График дифференциальной функцииf(x) называется кривой распределения.

Установим, как можно найти по известной плотности вероятностиf(x):

1) вероятность попадания случайной непрерывной величины в заданный интервал; 2) функцию распределенияF(x).

Пусть случайная непрерывная величинаX задана плотностью вероятности, график которой изображен на рис. 6.

Рисунок 6 График плотности вероятности

Дифференциал функцииdF(x)=f(x)dxпредставляет собой вероятность того, что случайная величинаXпримет значение в интервале(x,x+dx).

Произведениеf(x)dxназываетсяэлементом вероятности. Геометрически это площадь элементарного прямоугольника с основаниемdx и высотойf(x).

Для того чтобы найтивероятность попадания случайной величиныX в интервал(a,b) по известной плотности вероятностиf(x) необходимо просуммировать элементы вероятностиf(x)dx в этом интервале:

.

Исходя из определения функции распределенияF(x) и последнего выражения, получим

.

Геометрически функции распределенияF(x) есть не что иное, как площадь бесконечной фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, лежащей левее точкиx.

Свойства плотности вероятности:

а) плотность вероятности есть функция неотрицательная;

б) распределение имеет размерность обратную размерности случайной величины;

в) интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен единице, т.е. .

плотность вероятности применяется только для случайных непрерывных величин.

2.4 Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения в виде ряда, многоугольника или функции распределения является полной характеристикой случайной величины. Однако на практике бывает достаточно знать некоторые числовые параметры, характеризующие изучаемые процессы.

Числовыми характеристиками случайных величин называют неслучайные величины, каждая из которых характеризует те или иные свойства случайных величин.

2.4.1 Математическое ожидание случайной величины

Математическим ожиданием (МО) случайной величины называют ее среднее значение, определяемое по следующим формулам.

Для случайных дискретных величин МО равно

, где  - частное значение случайной дискретной величины;  - вероятность ее появления.

Для случайной непрерывной величины МО определяется выражением

, гдеx – частное значение случайной непрерывной величины;f(x)dx – элемент вероятности.

Математическое ожидание случайной величины представляет собой центр, около которого группируются частные значения ее.

Свойства математического ожидания:

а) математическое ожидание случайной величины может быть положительным и отрицательным, целым и дробным, и обладает размерностью случайной величины;

б) не все случайные величины имеют МО. Случайные величины не имеют МО, если  или ;

в) математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине, т.е. .

г) постоянную величину можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

.

Частный случай математического ожидания. Пусть случайная величинаX может принимать только два частных значения . Тогда вероятности появления этих частных значений будут равны

.

Откуда математическое ожидание .

Следовательно, математическое ожидание такой случайной величины равна вероятности того, что случайная величина примет значение равное единице.

Пример 1: В технической системе имеетсяn элементов. Вероятность выхода из строя элемента в теченииN часов работы равнаp. Требуется  определить математическое ожидание числа отказавших элементов в теченииN часов работы.

Решение.

Обозначим черезX – случайную величину числа отказавших элементов, а черезM[X] - математическое ожидание  этого числа.

Для использования формулы математического ожидания определяем из условия задачи, что случайная величинаXпринимает частные значения , причем .

Тогда математическое ожидание числа отказавших элементов будет равно

.

Отсюда следует, что если случайная величинаX подчиняется биномиальному закону, то ее МО равно произведению числа опытов на вероятность появления события в одном опыте.

2.4.2 Дисперсия случайной величины

Кроме положения центра группирования случайной величины, о котором несет информацию математическое ожидание, важно знать  разброс или рассеяние значений случайной величины относительно центра группирования.

Для этого рассмотрим разность , которую называют центрированной случайной величиной или отклонением ее МО, ее МО всегда равно нулю.

Поэтому для характеристики разброса возможных значений случайной величины пользуются не средним значением отклонения, а средним значением квадрата отклонения случайной величины от МО.

Дисперсией (рассеянием)случайной величиныX называют математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины:

или .

Из определения дисперсии вытекают формулы для вычисления  ее:

а) для случайной дискретной величины

, или ;

б) для случайной непрерывной величины

, или .

Дисперсия позволяет оценивать кучность (разброс) значений случайной величины около ее математического ожидания и является неслучайной величиной.

Свойства дисперсии:

а) дисперсия всегда положительна и имеет размерность квадрата размерности случайной величины;

б) дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. .

в) постоянный множитель при постоянной величине можно выносить за знак дисперсии в квадрате ;

г) величина дисперсии не зависит от начала отсчета.

Частный случай дисперсии.

Пусть случайная величинаX принимает частные значения  с вероятностью  и с вероятностью .

Тогда .

Средне - квадратичное отклонение.

Так как размерность дисперсии равна размерности квадрата случайной величины, что вызывает неудобства ее использования, то вводят характеристику с размерностью случайной величины. Такой числовой характеристикой является средне - квадратичное отклонение случайной величины, которое определяется как квадратный корень из дисперсии:

.

2.4.3 Начальные и центральные моменты

Введенные нами числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и средне - квадратичное отклонение

являются наиболее важными. Кроме них, для описания случайных величин применяют и другие характеристики, так называемые моменты, являющиеся обобщением основных числовых характеристик.

В теории вероятностей моменты случайной величины используются для описания свойств распределения вероятностей. Наиболее употребительными являются два вида моментов: начальные и центральные.

Начальным моментомk-го порядка случайной величиныX называется математическое ожидание величиныXk:

         .

Для вычисления моментовk-го порядка используются формулы:

а) в случае дискретной величины