Новости

Случайные величины в теории вероятности

Работа добавлена:






Случайные величины в теории вероятности на http://mirrorref.ru

2 Случайные величины

2.1 Случайные величины

В зависимости от цели того или иного испытания часто имеют дело с величинами, которые могут принимать те или иные значения, причем заранее неизвестно, какие именно. Такие величины называют случайными.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств.

Примеры случайных величин: число вышедших из строя элементов после 1000 часов работы сложного устройства;  величина напряжения в сети в данный момент времени; число покупателей в магазине в момент закрытия.

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

К случайным дискретным величинам относят величины, частные значения которых можно пересчитать, т. е. их число конечно.

У случайных непрерывных величин нельзя пересчитать их частные значения, так как их число бесконечно (они непрерывно заполняют определенный интервал).

Случайные величины обозначают прописными буквамиX,Y,Z, а их частные значения – строчными буквамиx,y,z.

Случайное событие можно рассматривать как частный случай случайной величины.

Например: событиеAпопадание пули в мишень, событие  - непопадание пули в мишень. Если случайная величинаX принимает частное значениеx=1, то появляется событиеA, а если случайная величинаX принимает частное значениеx=0, то появляется событие .

2.2 Законы распределения случайных величин

Всякое соотношение, устанавливающее связь между частным значением случайной величины и вероятностью ее появления, называют законом распределения.

Если случайная величинаX принимает частные значения  с вероятностью , то закон распределения случайной величины запишется в виде соотношений

…………….

…………….

.

К основным математическим формам законов распределения случайной величины относят:

ряд распределения,

многоугольник распределения,

функцию распределения,

плотность распределения.

Ряд распределения применяется для случайных дискретных величин и представляет собой таблицу, в первой строке которой указываются частные значения случайной величины, а во второй – вероятности их появления (таблица 1).

Таблица 1

x

P(X=x)

Эта таблица позволяет найти ответы на следующие вопросы.

Какие частные значения может принимать случайная величина?

Какие частные значения случайной величины будут появляться чаще, а какие реже?

По этой таблице можно определить вероятность появления случайной величины в заданных пределах , т.е.

.

Многоугольник распределенияпредставляет собой график, на котором по оси абсцисс откладываются частные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности их появления.

Рисунок 1 Многоугольник распределения

График многоугольника распределения решает те же вопросы, что и ряд распределения.

Ряд и многоугольник распределения не являются универсальными характеристиками случайной величины. Их нельзя построить для случайной непрерывной величины. Поэтому необходима универсальная характеристика, пригодная не только для дискретных, но и для непрерывных величин. Такой характеристикой являетсяфункция распределения (интегральная функция) случайной величины, которая обозначаетсяF(x).

Функцией распределения случайной величиныназывают вероятность того, что случайная величина примет частное значение меньшее некоторого фиксированного, т.е.

P(X<x) =F(x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: функция распределенияF(x) есть вероятность того, что случайная величинаX примет значение, которое изображается точкой, лежащей левее точкиx.

Так как случайная дискретная величина может принимать значения  то функция распределения для нее будет

.

Свойства функции распределения

1)Функция распределенияF(x) является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. , если .

2) Функция распределенияF(x)есть неотрицательная функция, значения которой принадлежат отрезку (0,1), т.е. .

Графикфункции распределения

А) Случайная дискретная величина.

Таблица 2

x

0

1

2

p

0,3

0,5

0,2

F(0)=0;

F(1)=0,3;

F(2)=P(X=0)+P(X=1)=0,3+0,5=0,8;

F(3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 0,3+0,5+0,2=1.

Для случайной дискретной величины функция распределенияF(x) имеет ступенчатый график (Рис. 2), количество ступенек равно числу частных значений случайной величины, а высота ступеньки равна значению вероятности появления этого частного значения случайной величины.

Рисунок 2 График функции распределения случайной дискретной величины

Б) Случайная непрерывная величина.

Функция распределения этой случайной величины представляет собой непрерывную кривую (Рис.3).

Рисунок 3 График функции распределения случайной непрерывной величины

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.

Пусть случайная непрерывная величинаX может принять частное значение в интервале , причем известна ее функция распределенияF(x). Требуется найти вероятность попадания ее в этот интервал, т.е. .

Рисунок 4 Определение значений функции распределения на границах интервала

По определению значение функции распределенияF(b)в точкеb является вероятностью того, что случайная величина примет значение меньшееb, а значение функции распределенияF(a)в точкеa - вероятностью того, что случайная величина примет значение меньшееa. Следовательно, вероятность попадания случайной величины в этот интервал будет определяться разностью значений функций распределения в граничных точках, т.е.

.                     (2.1)

Рисунок 5 Определение  по функции распределения

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке (рис. 5).

Пример 1: Прибор рассчитан на входное напряжение не большее 220 Вольт, а напряжение сети является случайной величиной с функцией распределения

если210<X<230;

F(x) =0,еслиX<210;

F(x) =1, еслиX>230.

Определить вероятность отказа прибора из–за непостоянства напряжения сети.

Решение.

Обозначим черезAсобытие отказа прибора в работе;V – случайная величина напряжения в сети.

P(A)=P(220<V<230)=F(230)-F(220).

F(230)=(x-210)/20=(230-210)/20=1;

F(220)=(220-210)/20=0,5.Откуда    P(A)=1-0,5=0,5.

2.3 Плотность распределения случайной непрерывной величины

Функция распределения случайной непрерывной величины дополнительно обладает еще одним свойством, которое заключается в том, что вероятность того, что случайная непрерывная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

Пусть случайная непрерывная величинаX может принять частное значение в интервале , причем известна ее функция распределенияF(x). Требуется найти вероятность попадания ее в этот интервал, т.е.  при условии, что.

Используя предел вероятности попадания величины в заданный интервал, получаем

.

Этот результат означает, что пользоваться формулой (2.1) для определения вероятности попадания случайной непрерывной величины в заданный интервал, близкий нулю, нельзя.

Задание закона распределения не является единственным способом. Очень часто его задают так называемой дифференциальной функцией распределения или плотностью вероятности.

Дифференциальной функцией распределения (плотностью вероятности)f(x) случайной непрерывной величиныX называют первую производную от функции распределения случайной непрерывной величиныX:

.

Дифференциальная функцияf(x) характеризует плотность распределения значений случайной непрерывной величины, что и определило ее второе название.

Действительно, так как вероятность попадания случайной величиныX  в интервал  равна приращению функции на этом интервале, т.е.

,

то отношение этого приращения к приращению аргумента

будет характеризовать среднюю плотность вероятности на этом интервале.

В пределе при стремлении  к нулю получим (предполагается, что функцияf(x) дифференцируема):

.

График дифференциальной функцииf(x) называется кривой распределения.

Установим, как можно найти по известной плотности вероятностиf(x):

1) вероятность попадания случайной непрерывной величины в заданный интервал; 2) функцию распределенияF(x).

Пусть случайная непрерывная величинаX задана плотностью вероятности, график которой изображен на рис. 6.

Рисунок 6 График плотности вероятности

Дифференциал функцииdF(x)=f(x)dxпредставляет собой вероятность того, что случайная величинаXпримет значение в интервале(x,x+dx).

Произведениеf(x)dxназываетсяэлементом вероятности. Геометрически это площадь элементарного прямоугольника с основаниемdx и высотойf(x).

Для того чтобы найтивероятность попадания случайной величиныX в интервал(a,b) по известной плотности вероятностиf(x) необходимо просуммировать элементы вероятностиf(x)dx в этом интервале:

.

Исходя из определения функции распределенияF(x) и последнего выражения, получим

.

Геометрически функции распределенияF(x) есть не что иное, как площадь бесконечной фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, лежащей левее точкиx.

Свойства плотности вероятности:

а) плотность вероятности есть функция неотрицательная;

б) распределение имеет размерность обратную размерности случайной величины;

в) интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен единице, т.е. .

плотность вероятности применяется только для случайных непрерывных величин.

2.4 Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения в виде ряда, многоугольника или функции распределения является полной характеристикой случайной величины. Однако на практике бывает достаточно знать некоторые числовые параметры, характеризующие изучаемые процессы.

Числовыми характеристиками случайных величин называют неслучайные величины, каждая из которых характеризует те или иные свойства случайных величин.

2.4.1 Математическое ожидание случайной величины

Математическим ожиданием (МО) случайной величины называют ее среднее значение, определяемое по следующим формулам.

Для случайных дискретных величин МО равно

, где  - частное значение случайной дискретной величины;  - вероятность ее появления.

Для случайной непрерывной величины МО определяется выражением

, гдеx – частное значение случайной непрерывной величины;f(x)dx – элемент вероятности.

Математическое ожидание случайной величины представляет собой центр, около которого группируются частные значения ее.

Свойства математического ожидания:

а) математическое ожидание случайной величины может быть положительным и отрицательным, целым и дробным, и обладает размерностью случайной величины;

б) не все случайные величины имеют МО. Случайные величины не имеют МО, если  или ;

в) математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине, т.е. .

г) постоянную величину можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

.

Частный случай математического ожидания. Пусть случайная величинаX может принимать только два частных значения . Тогда вероятности появления этих частных значений будут равны

.

Откуда математическое ожидание .

Следовательно, математическое ожидание такой случайной величины равна вероятности того, что случайная величина примет значение равное единице.

Пример 1: В технической системе имеетсяn элементов. Вероятность выхода из строя элемента в теченииN часов работы равнаp. Требуется  определить математическое ожидание числа отказавших элементов в теченииN часов работы.

Решение.

Обозначим черезX – случайную величину числа отказавших элементов, а черезM[X] - математическое ожидание  этого числа.

Для использования формулы математического ожидания определяем из условия задачи, что случайная величинаXпринимает частные значения , причем .

Тогда математическое ожидание числа отказавших элементов будет равно

.

Отсюда следует, что если случайная величинаX подчиняется биномиальному закону, то ее МО равно произведению числа опытов на вероятность появления события в одном опыте.

2.4.2 Дисперсия случайной величины

Кроме положения центра группирования случайной величины, о котором несет информацию математическое ожидание, важно знать  разброс или рассеяние значений случайной величины относительно центра группирования.

Для этого рассмотрим разность , которую называют центрированной случайной величиной или отклонением ее МО, ее МО всегда равно нулю.

Поэтому для характеристики разброса возможных значений случайной величины пользуются не средним значением отклонения, а средним значением квадрата отклонения случайной величины от МО.

Дисперсией (рассеянием)случайной величиныX называют математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины:

или .

Из определения дисперсии вытекают формулы для вычисления  ее:

а) для случайной дискретной величины

, или ;

б) для случайной непрерывной величины

, или .

Дисперсия позволяет оценивать кучность (разброс) значений случайной величины около ее математического ожидания и является неслучайной величиной.

Свойства дисперсии:

а) дисперсия всегда положительна и имеет размерность квадрата размерности случайной величины;

б) дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. .

в) постоянный множитель при постоянной величине можно выносить за знак дисперсии в квадрате ;

г) величина дисперсии не зависит от начала отсчета.

Частный случай дисперсии.

Пусть случайная величинаX принимает частные значения  с вероятностью  и с вероятностью .

Тогда .

Средне - квадратичное отклонение.

Так как размерность дисперсии равна размерности квадрата случайной величины, что вызывает неудобства ее использования, то вводят характеристику с размерностью случайной величины. Такой числовой характеристикой является средне - квадратичное отклонение случайной величины, которое определяется как квадратный корень из дисперсии:

.

2.4.3 Начальные и центральные моменты

Введенные нами числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и средне - квадратичное отклонение

являются наиболее важными. Кроме них, для описания случайных величин применяют и другие характеристики, так называемые моменты, являющиеся обобщением основных числовых характеристик.

В теории вероятностей моменты случайной величины используются для описания свойств распределения вероятностей. Наиболее употребительными являются два вида моментов: начальные и центральные.

Начальным моментомk-го порядка случайной величиныX называется математическое ожидание величиныXk:

         .

Для вычисления моментовk-го порядка используются формулы:

а) в случае дискретной величины

б) в случае непрерывной величины

.

Нетрудно видеть, что начальный момент первого порядка  есть не что иное, как математическое ожидание случайной величиныX, т. е.   .

Исходя из того, что начальный момент второго порядка

=М (Х2) иD(X)=M(X2)-[M(X)]2,

можем записать

D(X) = .

Центральным моментомk-го порядка случайной величиныX

называется математическое ожидание величины:

.

Для вычисления центральных моментовk-го порядка используются формулы:

а) в случае дискретной величины

;

б) в случае непрерывной величины

Центральный момент первого порядка  есть не что иное, как математическое ожидание центрированной случайной величины , соответствующей величинеX, т. е.

,

которое (как было доказано выше) всегда равно нулю: .

Центральный момент второго порядка  есть дисперсия случайной величиныX:

следовательно,

.

Начальные моменты главным образом служат для вычисления центральных моментов. А для чего же вводятся центральные моменты?

Центральный момент второго порядка (дисперсия), как известно, характеризует разброс (кучность) значений случайной величины около своего математического ожидания.

Кроме центрального момента второго порядка для описания случайной величины широко применяются также центральные моменты третьего и четвертого порядков.

Если распределение случайной величины симметрично относительно математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка равны нулю. Этот факт следует из того, что в сумме

при симметричном относительноm законе распределения и нечетномkкаждому положительному слагаемому будет соответствовать противоположное отрицательное слагаемое, а потому результат суммирования всегда будет равен нулю.

Аналогично в случае непрерывной величины интеграл

будет равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции.

Из сказанного следует, что для характеристики асимметрии  целесообразно выбрать какой-либо центральный момент нечетного порядка. Так как центральный момент первого порядка всегда равен нулю, то используют для этой цели центральный момент третьего порядка , который имеет размерность куба случайной величины.

Чтобы характеристика асимметрии была отвлеченным числом, используют отношение центрального момента третьего порядка  к кубу средне - квадратичного отклонения . Это отношение называется коэффициентом асимметрии или асимметрией. Коэффициент асимметрии будем обозначать черезax.

Аналогично вводится характеристика «крутости» (острота вершины) кривой распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью эксцесса:

.

Число 3 вычитается из отношения  потому, что для наиболее важного и распространенного закона распределения (нормального закона, с которым мы познакомимся в дальнейшем) это отношение равно 3. Следовательно, эксцесс для нормального закона равен нулю. Поэтому кривая нормального распределения является как бы эталоном, с которым сравниваются кривые других распределений.

Более островершинные кривые имеют положительный эксцесс, кривые, более плосковершинные, имеют отрицательный эксцесс.

2.5 Закон равномерной плотности

К наиболее распространенным в природе законам распределения относят следующие: закон равномерной плотности, нормальный закон распределения, закон Пуассона и экспоненциальное распределение. Рассмотрим их более подробно.

Случайную непрерывную величину X называют распределенной равномерно на интервале (a,b), если ее плотность распределения на этом интервале постоянна, а вне этого интервала равна нулю.

Пусть случайная величинаXможет принимать частные значения отa доb, причем все частные значения равновероятны (Рис.7). Требуется определить выражение для плотности вероятностиf(x).

Рисунок 7 График плотности распределения случайной величиныX

Для определения выражение для плотности вероятностиf(x) воспользуемся свойством плотности распределения

.

Поскольку по определениюf(x) есть величина постоянная, то ее можно вынести за знак интеграла, т.е.

. Откуда .

Зная выражение для плотности вероятностиf(x), можно найти функцию распределения как

.

График функции равномерного распределения в соответствии с этим выражением примет вид, изображенный на рис.8.

Рисунок 8 График функции равномерного распределения

При известном выражении для плотности равномерного распределения нетрудно вывести выражения, позволяющие вычислить математическое ожидание, дисперсию и средне - квадратичное отклонение для этого закона

;    ;    .

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.

Пусть случайная величинаXраспределена равномерно на интервале отa доb, причем плотность вероятности ее известна и равнаf(x)=1/(b-a). Требуется определить вероятность попадания ее на участок отc доd (рис.9),т.е..

Рисунок 9  Определение вероятности попадания случайной величины на заданный участок

Определяя эту вероятность как интеграл от плотности вероятностиf(x), получаем

.

Следовательно, вероятность попадания случайной величины на заданный участок отc доd определяется как площадь заштрихованного прямоугольника.

Округление результатов измерений имеет равномерное распределение.

2.6 Нормальный закон распределения

Одним из наиболее часто встречающихся законов распределения случайной величины является нормальный закон (закон Гаусса). Он является доминирующим над другими законами распределения и играет особую роль в различных приложениях теории вероятностей.

Такие случайные величины, как ошибки измерений, отклонение точки попадания от центра цели, отклонение размеров детали от заданного номинала при массовом производстве, мгновенные значения шумового напряжения подчиняются нормальному закону.

Нормальным называют распределение случайной непрерывной величины, плотность распределения которой имеет вид

,

гдеa и  - параметры нормального распределения.

Нормальное распределение возникает в тех случаях, когда на появление значений случайной величины влияет много различных факторов.

Рисунок 10 График плотности нормального распределения

Из кривой нормального распределения (рис.10) следует, что значения случайной величины, которые располагаются ближе к величинеa, будут появляться чаще.

Выясним вероятностный смысл параметров нормального распределения. Для этой цели определим основные числовые характеристики

.

Введем новую переменную  и выразим подынтегральное выражение через нее:

.

Пределы интегрирования не изменяются, следовательно,

.

Первый интеграл, стоящий в правой части полученного равенства, равен нулю, так как подынтегральная функция нечетна, и пределы интегрирования симметричны, второй же есть интеграл Пуассона, равный , и окончательно получим, что

.

параметруa.

Поступая аналогично, получим, что .

Из полученных результатов следует, что параметр нормального распределенияa представляет собой математическое ожидание (центр рассеивания), а параметр  является характеристикой рассеивания.

Оценимвлияние параметров нормального распределения на форму кривой.Так как разностьx-a в аналитическом выражении функции содержится во второй степени, то кривая распределения будет симметрична относительно прямойx=a.

Рисунок 11 Влияние параметраa на форму кривой

Изменение параметраa не влияет на форму кривой, а приводит лишь к сдвигу ее вдоль оси абсциссы вправо, если он возрастает (a2>a1), и влево, если убывает (рис. 11).

Изменение параметра  влияет на форму кривой: если он возрастает, то максимальная ордината убывает и кривая распределения становится более пологой, если же убывает, то максимальная ордината возрастает и кривая становится более острой (рис. 12).

Рисунок 12 Влияние параметра  на форму кривой

Ординаты точекA1 иA2 соответственно равны:

где .

При любых значениях параметровa и  площадь, ограниченная кривой Гаусса и осью абсцисс, остается равной единице.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный участокможно найтипо формуле

.

Введем новую переменную , тогда ; пределы интегрирования соответственно будут:

.

Следовательно,

.

Окончательно искомая вероятность будет равна

,

где .

Функция ЛапласаФ(x) или интеграл вероятности является табличным, что позволяет, пользуясь таблицей, найти вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный участок ,если известны параметрыa и .

Правило трех сигм.Для определения правила установим вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания в зависимости от выбранного значения . С этой целью придадим  значения :

;

;

.

Из полученного результата следует, что вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания больше чем на три сигма незначительна, меньше 0,3%.

Следовательно, большинство значений нормально распределенной случайной величины сосредоточены около центра рассеивания (математического ожидания) в полосетрех сигм.

На практике правило трех сигм позволяет распределение изучаемой величины относить к нормальному распределению, если максимальное отклонение значений ее не превышает трех сигм.

2.7 Распределение Пуассона

Распределение Пуассона возникает в случае, когда на появление случайного события влияет много факторов, но каждый фактор в отдельности влияет слабо. Поэтому его и называютзаконом редких событий.

Случайные величины: поступление вызовов на телефонную станцию; число отказов элементов при испытании на надежность сложного электронного устройства; число бракованных изделий в выборках из партий, изготавливаемых заводом изделий и т. д. имеют пуассоновское распределение.

Это распределение можно рассматривать как предельный случай биномиального распределения, когда число случаев , а вероятность события в отдельном опыте стремится к нулю . Тогда МО числа событий определится как произведение . Откуда вероятность события в одном опыте будет равна , а вероятностьmсобытий вn опытах можно найти по формуле Бернулли

Так как число случаев , то

,  и .

Следовательно, выражение для распределения Пуассона  (индексn не пишут, посколькуn велико) будет иметь вид

,

где ;p -  можно трактовать как МО числа появлений события в одном опыте.

В ряде практических задач величинаaможет определяться как:

;

;

;

,

гдеl,s,v,t – длина, площадь, объем и время соответственно;

     - математическое ожидание числа появлений события или на участке единичной длины, или на единичной площади, или в единичном объеме, или в единичном интервале времени.

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей пуассоновское распределение. Из определения МО случайной дискретной величины следует

, где ; .

После подстановки получаем

. ПоэтомуM[X]=a.

Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой

. ОткудаD[X]=a.

Таким образом, математическое ожидание равно дисперсии, если случайная величина имеет пуассоновское распределение.

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок, распределенной по закону Пуассона, определяется по выражению

.

2.8 Экспоненциальное распределение

В различных приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания, исследовании операций, в физике и т.д. широко применяется экспоненциальное (показательное) распределение.

Время занятости канала связи, время безотказной работы ЭВМ, продолжительность поиска чего–либо – все это экспоненциально  распределенные случайные величины.

Неотрицательная величинаX называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения имеет вид

,

где  - параметр экспоненциального распределения.

График плотности распределения изображен на рис. 13.

Рисунок 13 График плотности вероятности экспоненциально распределенной случайной величины

Определим основные числовые характеристики этого распределения:

,

т.е. математическое ожидание есть величина обратная параметру закона. Для отыскания дисперсии используем формулу

. Откуда средне – квадратичное отклонение будет равно

.

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок, распределенной экспоненциально можно рассчитать, используя формулу

.

Случайные величины в теории вероятности на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Реферат Случайные процессы в теории вероятности

2. Реферат Случайные события в теории вероятности

3. Реферат Случайные величины

4. Реферат Вопросы по теории вероятности

5. Реферат Сопоставление функции плотности вероятности ряду котировок валютного курса. Эволюция функции плотности вероятности процесса через оператора Фредгольма

6. Реферат Теория вероятности

7. Реферат Условные вероятности

8. Реферат Классическое определение вероятности

9. Реферат Теория вероятности задачи

10. Реферат Теория вероятности контрольная работа