Новости

Случайные события в теории вероятности

Работа добавлена:






Случайные события в теории вероятности на http://mirrorref.ru

1 Случайные события

1.1 Способы определения вероятностей событий

1.1.1 Основные понятия

         Теория вероятностей является математической наукой, изучающей закономерности поведения случайных событий, случайных величин и случайных процессов.Случайным событием называют такое событие, которое при определенных условиях может происходить, а может и не происходить.

Например: 1 Попадание баскетбольного мяча в корзину.

                  2 Поражение мишени при стрельбе из пистолета.

                  3 Продолжительность работы некоторых однотипных приборов, изделий и др.

События подразделяют на следующие виды: достоверные, возможные (случайные) и невозможные.

Вероятностью случайного события называют численную меру степени объективной возможности появления этого события.

Событие, которое в результате опыта обязательно произойдет, относят кдостоверным событиям. Вероятность достоверного события принимается равной единице.

Невозможное событие в результате опыта произойти не может, поэтому вероятность его появления считается равной нулю.

Например. Вынуть белый шар из урны с красными шарами – событие невозможное; вынуть красный шар из этой же урны – событие достоверное.

Следовательно, вероятность случайного события    численно определяется значениями между нулем и единицей, т.е.

Несколько событий образуютполную группу, если при проведении опыта появится хотя бы одно из них.

Например. По мишени производится три выстрела.А0 - событие, что в мишень не попадает ни одна пуля.А1 – событие, что в мишень попадает одна пуля.А2 - событие, что в мишень попадает две пули.А3 - событие, что в мишень попадает три пули.

СобытияА0А1А2А3образуют полную группусобытий.

Если в одном и том же опыте появление одного события исключает появление других событий, то такие события называютнесовместными. Кроме того события могут быть равновозможными и не равновозможными событиями. Несколько событий в данном опыте называютравновозможными, если ни одно из них объективно не может появляться чаще других.

Кроме приведенных понятий часто применяют понятиеблагоприятный случай. Случай называютблагоприятным для появления данного события, если появление этого случая влечет за собой появление интересующего события.

При выборе способа расчета вероятности событий используют понятиесхема случаев. Если при проведении опыта все исходы равновероятны, несовместны и образуют полную группу событий, то в этом случае опыт сводится ксхеме случаев.

К способам определения вероятностей относят:

а) непосредственный подсчет вероятностей;

б) статистический способ определения вероятностей;

в) геометрический способ определения вероятностей;

г) определение вероятностей одних событий через известные вероятности других событий путем составления равенств.

1.1.2 Непосредственный подсчет вероятностей событий

Данный способ применяется в том случае, если опыт сводится к схеме случаев. Тогдавероятность событияA определяется как отношение числа благоприятных случаев этому событию к общему числу равновозможных и несовместных исходов опыта, составляющих полную группу событий, т.е.

гдеm – число исходов, благоприятных событию;

n – число всех равновозможных и несовместных исходов опыта.

Пример 1: В ящике имеются 4 транзистора, из них 1 транзистор неисправен. Какова вероятность того, что взятый наугад транзистор будет исправным?

Решение.

A – событие того, что в результате опыта взятый наугад транзистор будет исправным.

P(A) - вероятность событияA.

Так как опыт сводится к схеме случаев, число исходов конечно иm=3 , аn=4, то

Как понимать этот результат?Только при многократном повторенииопыта в 75% случаев будет браться исправный транзистор.

Пример 2:В условиях примера 1 наугад берутся два транзистора. Требуется определить вероятность того что, что оба будут исправны.

Обозначим.B – событие соответствующее тому, что оба взятых транзистора будут исправны.P (B) - вероятность событияB.

Для подсчета вероятности события обозначим транзисторы в ящике:Н – неисправный транзистор;И(1), И(2), И(3) - исправные транзисторы, и составим таблицу размещения их из4 элементов по2 элемента.

Таблица 1

1тр.

Н

Н

Н

И(1)

И(1)

И(1)

И(2)

И(2)

И(2)

И(3)

И(3)

И(3)

2тр.

И(1)

И(2)

И(3)

Н

И(2)

И(3)

Н

И(1)

И(3)

Н

И(1)

И(2)

Из таблицы легко определить числа:m=6,n=12. Откуда вероятность событияB будет равнаP(B)=m/n=6/12=0,5.

Вместе с этим исходы, показанные в таблице, можно толковать как размещения или как сочетания из4элементов по2 т.е.

Через размещения вероятность событияBможно определить следующим образом:

С помощью сочетаний вероятность событияB определяется как

Классическим определением вероятности пользуются лишь в том случае, когда можно произвести непосредственный подсчет тех и других случаев, т.е. когда число исходов конечно. Однако на практике встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. Кроме того, часто невозможно представить исходы испытания в виде равновозможных и несовместных событий.

1.1.3 Статистический способ определения вероятностей

Сущность способа заключается в том, что проводится серия опытов, в которых фиксируется число опытовm с появлением событияAи общее число опытовn и определяется их отношениеm/n, называемоечастотой (относительной частотой). Эта относительная частота принимается за неизвестную вероятность. Она обозначается какp*(A)=m/n.

Многочисленные наблюдения показывают, что при проведении серий из большого числа опытов частота события обладает определенной устойчивостью. Такая устойчивость частоты события является проявлением ее общей закономерности. Свойство устойчивости частоты события играет очень важную роль в познании действительного мира и позволяет изучать случайные явления.

Статистической вероятностью события называют число, около которого имеет тенденцию группироваться частота события при многократном повторении опыта в данных условиях.

Частота события есть величина случайная. При увеличении числа опытов ее случайный характер утрачивается и вследствие близости ее к вероятности события частота принимается в качестве приближенной оценки вероятности события. Способ не требует, чтобы опыт сводился к схеме случаев.

Пример 3: Стрелок из 5 серий по 50 выстрелов в каждой имел попаданий в «десятку» соответственно 48, 47, 47, 48, 49 раз.

Какова частота попаданий в «десятку»?

Решение.

Чтобы найти статистическую вероятность, достаточно найти среднюю арифметическую частоту, т.е.

Знание вероятности наступления события позволяет предсказать с определенной точностью его частоту при проведении большого числа испытаний, что очень важно при изучении тех или иных проблем.

1.1.4 Геометрический способ определения вероятностей

Данный способ применяют тогда, когда опыт относится к схеме случаев, но число благоприятных случаев и число равновозможных и несовместных случаев подсчитать невозможно, но можно поставить этим числам в однозначное соответствие определенные длины, площади, объемы и другие физические величины.

Пример 4: Имеется некоторый монтажный провод длинойL. Разрыв может произойти в любой точке с одинаковой вероятностью. Определить вероятность того, что разрыв произойдет на участке длинойl, если считать, что разрыв одновременно в нескольких точках невозможен.

Решение.

Поставив в соответствие числамmиn длиныlиL, вероятность разрыва провода на участкеl можно определить по формуле

Рассмотренный пример иллюстрирует геометрическое определение вероятности:вероятность случайного события есть отношение длины участка благоприятного появлению события к длине всего провода.Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай, когда число равновозможных исходов бесконечно.

1.2 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1.2.1 Алгебра событий

Для успешного решения некоторых типовых задач необходимо познакомиться с очень важными понятиями: суммы и произведения событий.

Суммой событийA иB называют событиеC=A+B, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример 1:СобытиеA – поражение цели при первом выстреле, событиеB - поражение цели при втором выстреле.

Тогда суммой событийA+B будет поражение цели вообще (либо при первом выстреле, либо при втором, либо при первом и втором выстрелах).

Если событияAиBсовместны (пример 1), то сумма событийC=A+Bсводится к появлению или событияA, или событияB, или иA, иB.

Если событияAиBнесовместны, то появление их вместе отпадает, а поэтому их сумма сводится к появлению или событияA, или событияB.

Например, при бросании монеты события: появление герба, появление цифры несовместны, поэтому сумма их сводится к появлению только одного из них.

ПроизведениемA иB называют событиеC=AB, которое состоит в совместном появлении событийA иB.

Пример 2:Если событиеA – попадание в «десятку» при первом выстреле, событиеB – попадание в «десятку» при втором выстреле и событиеC – попадание в «десятку» при третьем выстреле, то произведениеD=ABC – попадание в «десятку» при всех выстрелах.

При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций элементарных событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения.

В условиях примера 2, события - непопадание в «десятку» при первом, втором и третьем выстрелах соответственно.

Составим сложное событиеG, состоящее в том, что в результате трех выстрелов  «десятка»  будет поражена ровно один раз. Это событие может быть представлено в виде

1.2.2 Теорема сложения вероятностей для совместных событий

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления. Т.е., если событияAиBсовместны, то

Доказательство.

Пусть испытание имеетnэлементарных равновозможных исходов, из которых событиюA благоприятныmисходов, событиюBблагоприятныkисходов, событиюABблагоприятныlисходов, тогда

Число исходов, благоприятных суммеA+BсобытийA иBбудет равно` поэтому

что и требовалось доказать.

В случае трех совместных событий вероятность их суммы вычисляется по формуле

В случае жеn совместных событий  вероятность их суммы может вычисляться по формуле

Пример 3:Три стрелка стреляют по одной цели. Найти вероятность поражения цели при одном залпе, если вероятности поражения цели соответственно равны: 0,8; 0,8; и 0,9.

Решение.

Рассмотрим события:

A – поражение цели;

B – поражение целиI -м стрелком (I =1,2,3).

Так как требуется определить вероятность поражения цели вообще, то событиеAесть сумма событий  являющихся совместными и независимыми. Поэтому

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Эта теорема является частным случаем теоремы сложения вероятностей для несовместных событий.

Следствия из теоремы.

Следствие 1. Если события несовместны и образуют полную группу, то

Следствие 2. Два несовместных события, образующих полную группу, называют противоположными событиями. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

.

1.2.3 Зависимые и независимые события

Для нахождения вероятностей совместного появления событий необходимо уточнить понятия зависимости и независимости событий.

СобытиеA называютзависимым от событияB, если вероятность событияAзависит от того, произошло событиеBили нет.

СобытиеAбудем называтьнезависимымот событияB, если вероятность событияA независит от того, произошло или не произошло событиеB.

Примерзависимых событий. В ящике 3 белых и 5 черных шаров. Последовательно берутся 2 шара. Определить вероятность того, что второй шар будет белым.

Решение.

Случай 1. Если первым вынут черный шар, то вероятность того, что второй шар будет белым  равна

Случай 2. Если первый шар оказался белым, то вероятность того, что второй шар будет белым  равна

Примером независимых событий является этот же пример, но с возвращением первого шара в ящик.

Вероятность появления зависимого события называютусловной вероятностью, а вероятность появления независимого события -безусловной вероятностью. Подусловной вероятностьюP(A/B)событияAпонимают вероятность этого события, которая вычислена при условии, что событиеBпроизошло.

Если событияA иBнезависимы, то условная вероятность событияAравна безусловной вероятности этого события, т.е.

Если же событияA иBзависимы, то условная вероятность событияAнеравна безусловной вероятности этого события, т.е.

1.2.4 Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности появления одного из них на условную вероятность появления другого события.

Доказательство.

Пусть опыт сводится к схеме случаев.

Пусть опыт имеетnэлементарных равновозможных исходов, из которых событиюA благоприятными являютсяmисходов, событиюB-kисходов, а событиюAB-lисходов, тогда

Изmисходов, в которых наступает событиеA, благоприятных событиюB, будетlисходов, поэтому условная вероятность событияBравна

Аналогично изkисходов, в которых наступает событиеB, благоприятных событиюA, также будетlисходов, поэтому условная вероятность событияAравна

Отсюда произведения вероятностей

Из этих выражений следует справедливость теоремы.

Следствие.Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Частный случай теоремы умножения вероятностей: если события независимы, то вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий

Доказательство:

Пусть событияA иB независимы между собой, тогда

но

Следовательно,

1.3 Формулы полной вероятности и гипотез (Байеса)

1.3.1 Формула полной вероятности

Постановка задачи. Пусть событиеAможет произойти только совместно с одним из следующих событий:  которые являются несовместными между собой и составляют полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Требуется определить вероятность появления событияA.

Решение.

По условию задачи событиеAможно считать суммой произведений событий

Откуда вероятность событияAбудет равна сумме вероятностей этих событий

В компактной форме записи формула полной вероятности имеет вид

Пример 1: Приемник обнаруживает сигнал в условиях помех с вероятностью0,5, а при отсутствии помех с вероятностью0,8. Определить вероятность приема сигнала, если вероятность появления помех при приеме равна0,4.

Решение.

Обозначим: черезA – событие приема сигнала приемником;  - событие появления помехи при приеме сигнала;  - событие отсутствия помехи при приеме сигнала.

Тогда вероятности гипотез  и  будут равны:  а условные вероятности событияAпри условии гипотез  и  равны:

Согласно формуле полной вероятности вероятность событияA

1.3.2 Теорема гипотез (формула Байеса)

Постановка задачи. Пусть событиеAможет произойти только совместно с одним из следующих событий:  которые являются несовместными между собой и составляют полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Провели испытание, и событиеA произошло. Какая из гипотез вероятнее всего реализовалась?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо определить условную вероятность гипотезы  гдеi – 1,2,…,n.

Согласно теореме умножения вероятностей

. Откуда условная вероятность гипотезы будет равна

, гдеP(A) –полная вероятность.

В общем случае формула Байеса запишется в виде

,

где  - вероятность гипотезы после испытания, давшего событиеA;

      - вероятность гипотезы до испытания.

Формула  Байеса применяется при решении практических задач, когда событиеA произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий .

Априорные (до опыта) вероятности  известны, и требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности .

Пример 2: Неисправность в первом блоке передатчика влечет понижение выходной мощности с вероятностью 0,6, а неисправность во втором блоке - с вероятностью 0,2. Надежность работы первого (второго) блока характеризуется вероятностью 0,7 (0,3).

Какой из блоков необходимо проверить на исправность в первую очередь, если зафиксировано падение выходной мощности?

Решение.

Для ответа на этот вопрос необходимо вычислить условные вероятности гипотез: , ,

         гдеAсобытие падения выходной мощности;

                - событие неисправности в первом блоке;

                - событие неисправности во втором блоке.

Из условия задачи априорные вероятности гипотез будут равны

а условные вероятности событияA -       .

Тогда апостериорные вероятности определяются по формуле  Байеса, т.е.

,

.

Вывод: в первую очередь необходимо проверить первый блок передатчика, так как  больше, чем .

1.3.3 Повторение испытаний

На практике часто приходится иметь дело с сериями независимых опытов, в каждом из которых некоторое событиеAможет появиться или нет. При этом вероятность появления его в каждом опыте известна и она не меняется от опыта к опыту.

Примеры: появление изделий с браком в процессе производства; поступление на вход приемника серии импульсов, отраженных целью. Появление каждого импульса можно рассматривать как опыт, в результате которого импульс либо проходит на выход приемника, либо не проходит из-за помех.

В общем случае задача состоит в том, чтобы определить вероятность появления событияA ровноm раз вn опытах и не появленияn-m раз. Условимся считать, что вероятность событияA в каждом опыте одна и та же и равнаp. Следовательно, вероятность не наступления событияA в каждом опыте постоянна и равнаq=1-p.

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что вn опытах событиеAнаступитm раз и не наступитn-m раз равна  ( на основании теоремы умножения вероятностей независимых событий).

Так как не требуется, чтобы событиеAповторилось ровноm раз в определенной последовательности, то таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний изn элементов поm,т.е. . Поскольку эти сложные события несовместны и их вероятности одинаковы, то искомая вероятность будет равна

, где .

Полученное выражение называютформулой Бернулли.

Пример 3:Пустьn=2: .

Так как , то можно определить вероятность появления события не менееmраз по следующему выражению

, или  , или .

В частном случае, когдаm=1 получаютформулу вероятности появления события хотя бы один раз.

При большом числе опытовn пользоваться приведенными выше формулами неудобно, поэтому используют формулу Лапласа – Гаусса

, гдеD=n p q.

Случайные события в теории вероятности на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Реферат Случайные величины в теории вероятности

2. Реферат Случайные процессы в теории вероятности

3. Реферат Вопросы по теории вероятности

4. Реферат Сопоставление функции плотности вероятности ряду котировок валютного курса. Эволюция функции плотности вероятности процесса через оператора Фредгольма

5. Реферат Случайные величины

6. Реферат Теория вероятности

7. Реферат Делегаты и события

8. Реферат События в России

9. Реферат Условные вероятности

10. Реферат Статистическая вероятность события