Новости

Случайные процессы в теории вероятности

Работа добавлена:






Случайные процессы в теории вероятности на http://mirrorref.ru

6Случайные процессы

6.1 Понятие случайного процесса

При изучении многих явлений природы приходится встречаться с процессами, течение которых заранее предсказать невозможно. Эта непредсказуемость вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процесса. Примерами случайных процессов являются: траектории частиц в броуновском движении, траектория полета летательного аппарата, флуктуационные шумы в радиоэлектронной аппаратуре, изменение температуры больного в ходе болезни, вибрация узлов станка во время его работы и т. д.

Случайный процесс описывается случайной функцией времениx(t), мгновенные значения которой в любые моменты времени являются случайными величинами.

Случайной функциейX(t) называют функцию, которая в результате опыта может принять тот или иной вид, причем заранее неизвестно какой именно.

Случайная величинаX(t0), в которую обращается случайный процесс приt=t0, называется сечением случайного процесса, соответствующим данному значению аргументаt.

Конкретный вид, который принимает случайный процесс в результате опыта, называется реализацией случайного процесса.

Реализацией случайного процессаX(t)будем называть неслучайную функциюx(t),в которую превращается случайный процессX(t) в результате опыта.

Рисунок 6.1 – Реализации случайных процессов

Реализации случайного процесса могут иметь как непрерывную, так и дискретную структуру. По своей структуре все случайные процессы делят на четыре класса:

процессы с дискретными состояниями и с дискретным временем (рис.6.1а);

процессы с дискретными состояниями и с непрерывным временем (рис.6.1б);

процессы с непрерывными состояниями и  с дискретными временем (рис.6.1в);

процессы с непрерывными состояниями и  с  непрерывным временем (рис.6.1г).

В результате ряда опытов получают семейство реализаций  случайного процесса (Рис.6.2).

Рисунок 6.2 – Семейство реализаций случайного процесса

В каждом сечении, например, в некоторый фиксированный момент времени   случайный процесс  представляет собой обыкновенную случайную величину, которая принимает значения .

Поэтому случайный процесс можно трактовать как систему бесчисленного множества случайных величин.

6.2 Закон распределения случайного процесса

Под законом распределения случайного процесса понимают всякое соотношение, устанавливающее связь между реализацией случайного процесса и вероятностью ее появления.

Пусть  нас интересует реализация случайного процессаx(t), проходящая через точки (таблица 6.1).

Таблица 6.1

t

t0

t1

t2

ti

tn

x

x0

x0

x2

xi

xn

Функцияназываетсяn – мерной функцией распределения вероятностей случайного процесса и определяется как вероятность того, что случайный процессX(t) в моменты времени  примет значения меньшие соответственно , т.е.

.         (6.1)

Если функция  имеет смешанную частную производную по аргументам , т.е.

,                          (6.2)

то она называетсяn – мерной плотностью вероятности случайного процесса.

Эти функции в зависимости от числа сечений позволяют получить наиболее полное описание случайного процесса. Однако для решения многих инженерных задач достаточно знать одномерный или двумерный закон распределения случайного процесса, т.е.  или. Если эти законы имеют нормальное распределение, то и случайный процессX(t)  также называют нормальным.

6.3 Характеристики случайного процесса

Рассматривая случайный процесс как систему уже трех – четырех случайных величин возникают трудности в аналитическом выражении законов распределения случайного процесса. Поэтому в ряде случаев ограничиваются характеристиками случайного процесса, аналогичными числовым характеристикам случайных величин.

Характеристики случайного процесса в отличие от числовых характеристик случайных величин представляют собой неслучайные функции. Среди них для оценки случайного процесса широко применяются функции математического ожидания и дисперсии случайного процесса, а также корреляционная функция случайного процесса.

Математическим ожиданием случайного процессаX(t) называется неслучайная функция , которая при каждом значении аргументаt равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса

.

Из определения математического ожидания случайного процесса вытекает, что если известна одномерная плотность вероятности , то

.                                                                                   (6.3)

Случайный процессX(t)всегда можно представить как сумму элементарных случайных функций

,                                                                                                   где  - элементарная случайная функция.

Тогда

.                                                                             (6.4)

Если задано множество реализаций случайного процессаX(t), то для графического представления математического ожидания  проводят ряд сечений и в каждом из них находят соответствующее математическое ожидание (среднее значение), а затем через эти точки проводят кривую (рис. 6.3).

Рисунок 6.3 – График функции математического ожидания

Чем больше проведено сечений, тем точнее будет построена кривая.

Математическое ожидание  случайного процесса есть некоторая неслучайная функция, около которой группируются реализации случайного процесса.

Если реализации случайного процесса представляют собой ток или напряжение, то математическое ожидание трактуют как среднее значение тока или напряжения.

Дисперсией случайного процессаX(t)называется неслучайная функция , которая при каждом значении аргументаt равна дисперсии соответствующего сечения случайного процесса.

.

Из определения дисперсии случайного процесса вытекает, что если известна одномерная плотность вероятности , то

или                                                                (6.5)

Если случайный процесс представляется в виде , то

.                                              (6.6)

Дисперсия случайного процесса характеризует разброс или рассеивание реализаций относительно функции математического ожидания.

Если реализации случайного процесса представляют собой ток или напряжение, то дисперсию  трактуют как разность между мощностью всего процесса и мощностью средней составляющей тока или напряжения в данном сечении, т.е.

.                                                                    (6.7)

В ряде случаев вместо дисперсии случайного процесса используется среднее квадратичное отклонение случайного процесса

.

Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса  позволяют выявить вид средней функции, около которой группируются реализации случайного процесса, и оценить их разброс  относительно этой функции. Однако внутренняя структура случайного процесса, т.е. характер и степень зависимости (связи) различных сечений  процесса между собой, остается при этом неизвестной (рис. 6.4).

Рисунок 6.4 – Реализации случайных процессовX(t)иY(t)

Для характеристики связи  сечений случайного процесса вводится понятие смешанной моментной функции второго порядка -корреляционной функции.

Корреляционной функциейслучайного процессаX(t) называется неслучайная функция , которая при каждой паре значений  равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса:

,                                                                                         где , .

Связь (см. рис. 6.4) между сечениями случайного процессаX(t) больше, чем между сечениями случайного процессаY(t), т.е.

.

Из определения следует, что если задана двумерная плотность вероятности  случайного процессаX(t), то

,                        (6.8)

или

.                             (6.9)

Корреляционная функция представляет собой совокупность корреляционных моментов двух случайных величин  в моменты , причем оба момента рассматриваются в любом сочетании всех текущих возможных значений аргументаt случайного процесса. Таким образом, корреляционная функция характеризует статистическую связь между мгновенными значениями в различные моменты времени.

Свойства корреляционной функции.

1) Если , то . Следовательно,  дисперсия  случайного процесса является частным случаем корреляционной функции.

2) Корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов, т.е. .

3) Чем больше интервал между , тем корреляционная функция меньше.

4) Геометрически корреляционная функция представляет собой поверхность (рис.6.5).

Рисунок 6.5 – График корреляционной функции для часто встречающихся случайных процессов

Во многих случаях особенно при сравнении различных случайных процессов вместо корреляционной функции  рассматривают нормированную корреляционную функцию , которая определяется как отношение корреляционной функции к произведению функций средне квадратичных отклонений, т.е.

.

Нормированная корреляционная функция , также как и коэффициент корреляции двух случайных величин изменяется от -1 до +1, но не является постоянной, а зависит от аргументов .

6.4 Определение характеристик случайного процесса по опытным данным

Пусть над случайным процессомX(t) проведеноn опытов и полученоn реализаций (рис. 6.6).

Рисунок 6.6 –  Реализации случайного процессаX(t)

Требуется определить: оценку математического ожидания случайного процесса ; оценку дисперсии случайного процесса ; оценку корреляционной функции .

Значения, которые принимают реализации случайного процессаX(t), сведем в таблицу 6.2.

Таблица 6.2

x(t)     t

t1

t2

tk

tl

tm

x1(t)

x1(t1)

x1(t2)

x1(tk)

x1(tl)

x1(tm)

xi(t)

xi(t1)

xi(t2)

xi(tk)

xi(tl)

xi(tm)

xn(t)

xn(t1)

xn(t2)

xn(tk)

xn(tl)

xn(tm)

Оценки математического ожидания  в сечениях случайного процесса  находятся как средне – арифметические значения столбцов, т.е.

.

Оценки дисперсии  в сечениях случайного процесса  находятся как средне – арифметические значения квадратов центрированных значений столбцов, т.е.

.

Оценки корреляционного момента  в парах сечений определяются как средне – арифметические значения произведений центрированных значений столбцов  и , т.е.

.

По значениям оценок математического ожидания  в сечениях случайного процесса  строят график функции математического ожидания  случайного процесса (рис.6.3). Для определения степени статистической связи значений случайного процесса между собой и средней величины разброса их по оценкам корреляционного момента  составляют таблицу 6.3.

Таблица 6.3

t1

t2

tk

tl