Новости

Компьютерное моделирование. Области применения . Метод сеток (конечных разностей). Примеры простых математических моделей некоторых природных процессов. Метод Эйлера

Работа добавлена:






Компьютерное моделирование. Области применения . Метод сеток (конечных разностей). Примеры простых математических моделей некоторых природных процессов. Метод Эйлера на http://mirrorref.ru

Компьютерное моделирование. Области применения . Метод сеток (конечных разностей). Примеры простых математических моделей некоторых природных процессов. Метод Эйлера

НЕКОТОРЫЕ ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

  • вычисление производных и интегралов
  • механика точки
  • механика системы материальных точек
  • механика твердого тела
  • расчет электрических цепей
  • расчет электрического и магнитного полей
  • моделирование массопереноса и теплопроводности
  • волновые и автоволновые процессы
  • расчет течения жидкости
  • моделирование биологических процессов
  • клеточные автоматы
  • множество мандельброта и другие фракталы

Метод сеток (конечных разностей)

Областьнепрерывногоизменения одного или нескольких аргументов заменяютконечным множеством узлов, образующих одномерную или многомерную сетку, и работают с функцией дискретного аргумента, что позволяет приближенно вычислить производные и интегралы.

Примеры простых математических моделей некоторых природных процессов

Кинетика химических реакций

Можно представить себе одностадийную химическую реакцию типа А ->В, где А – исходное вещество, В – конечный продукт. Если A – концентрация вещества , то ее убывание часто описывают уравнением:

dA/dt=-kA ,

где k – константа скорости реакции, а начальное условие задается как A=Ao при t = 0. Если k = const, уравнение легко интегрируется:

A=Aoexp(-kt).

Аналогичной формулой описывается закон радиоактивного распада:

N=Noexp(-аt),

гдеNo– начальная концентрация распадающегося радиоактивного вещества, а - постоянная распада.

Зачастую одностадийные химические реакции бывают обратимыми. Тогда для их математического описания потребуются два уравнения реакций: прямой и обратной.

dA/dt= -k12A+ k21B

dB/dt= -k21B+ k12A

Модель типа жертва-хищник

Пусть популяция кроликов будет жертвами, популяция лис – хищниками. Предположим, что кроме кроликов лисы ничего не едят (и потому не размножаются), а в отсутствие лис кролики размножаются неограниченно. В этом случае скорость увеличения популяции кроликов будет

dx/dt=ax,

скорость уменьшения популяции лис

dy/dt=-py,

где t– время, a– коэффициент рождаемости кроликов, р– коэффициент смертности лис.

Однако популяции взаимодействуют (парные взаимодействия, включающие произведение xy). Тогда для кроликов

dx/dt=ax - bxy,

где b – коэффициент, учитывающий уменьшение популяции кроликов вследствие поедания их лисами.

Для лис:

dy/dt=-py + cxy,

где с – коэффициент, учитывающий прирост популяции лис вследствие поедания ими кроликов.

Для решения системы должны быть заданы начальные размеры популяций, а для получения правдоподобного результата – правдоподобные значения всех коэффициентов.

Метод Эйлера

Пусть имеется задача Коши:

dy(x)/dx = f(x,y), y(x0) = y0

Запишем уравнение в конечных разностях:

(yi+1-yi)/h=f(x,y),

где h=Δ x - шаг сетки по x.

Отсюда следует:

yi+1=yi+f(x,y)h.

Чтобы численно решить уравнение, необходимо переменной y присвоить значение yo=y(0), а затем в цикле рассчитать последующие значения yi при i=1, 2, ... в соответствии с приведенной выше формулой.

Компьютерное моделирование. Области применения . Метод сеток (конечных разностей). Примеры простых математических моделей некоторых природных процессов. Метод Эйлера на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Метод конечных разностей

2. Метод Эйлера

3. Моделирование простых информационных процессов на компьютере

4. Принцип модульности программ. Метод, как отдельный модуль программы. Интерфейсная и скрытая часть метода. Формальные и фактические параметры метода. Примеры применения

5. Метод конечных элементов

6. Методы психогенетики (метод приемных детей, близнецовый метод, генеалогический метод)

7. Адаптация метода конечных разностей для решения сложных задач

8. Численное решение смешанной задачи для параболического уравнения методом конечных разностей

9. Моделирование как метод криминалистического исследования

10.  Музыкальное моделирование как метод познания и сочинения музыки