Новости

Взаємне розміщення двох прямих у просторі. Розміщення прямої і площини у просторі. Розміщення двох площин у просторі

Работа добавлена:






Взаємне розміщення двох прямих у просторі. Розміщення прямої і площини у просторі. Розміщення двох площин у просторі на http://mirrorref.ru

Кіровоградський кооперативний коледж

економіки і права ім. М.П.Сая

Завдання для самостійної роботи № 17

з дисципліни «МАТЕМАТИКА »

для студентів спеціальностей:

5.03050901 Бухгалтерський облік

5.03040101 Правознавство

5.05051001 Товарознавство та комерційна діяльність

5.05010301 Розробка програмного забезпечення

5.03050801 Фінанси і кредит

Тема 10. Паралельність та перпендикулярність прямих і площин у просторі.

Самостійна робота № 17:

Розв’язування вправ з теми «Паралельність прямих і площин у просторі».

Розглянуто на засіданні

циклової комісії

комп’ютерних технологій

Протокол № ________

від „____” ______20__р.

Голова циклової комісії

_______Данилко О.Г.

Зміст самостійної роботи:

  1. Взаємне розміщення двох прямих у просторі.
  2. Розміщення прямої і площини у просторі.
  3. Розміщення двох площин у просторі.

Питання для самоконтролю:

  1. Що вивчає стереометрія?
  2. Назвіть основні геометричні фігури у просторі. Як їх позначають?
  3. Які відношення вважають основними у стереометрії?
  4. Сформулюйте аксіоми стереометрії.
  5. Сформулюйте наслідки з аксіом стереометрії.
  6. Сформулюйте аксіоми планіметрії, які справджуються у просторі.
  7. Які прямі в просторі називаються паралельними? Як їх позначають?
  8. Дайте означення мимобіжним прямим. Як їх позначають?
  9. Як формулюється аксіома паралельних прямих?
  10. Сформулюйте основну властивість паралельних прямих у просторі.
  11. Які властивості паралельних прямих?
  12. Як формулюється ознака паралельності прямих?

Виконати завдання:

Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закл.–К.: Школяр, 2004

Оформити самостійну роботу в зошитах для самостійних робіт у вигляді конспекту.

Література для підготовки самостійної роботи:

Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закл.–К.: Школяр, 2004

Викладач                                        Банул І.П.

ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ, ПРЯМОЇ Й ПЛОЩИНИ У ПРОСТОРІ

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються. Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.

На малюнку пряміа іb паралельні, а пряміа іс таb іс – мимобіжні.

Коротко записуємо: a || b, a _ с, b _ с. Знак « _ » заміняє слово «мимобіжні».

Вважається, що кут між паралельними прямими дорівнює 0°.

Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, що перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим. Цей кут не залежить від вибору прямих, що перетинаються.

З курсу планіметрії ви знаєте, що через точку, яка не лежить на прямій, можна провести єдину пряму, паралельну даній прямій. Це твердження було прийнято як аксіому в планіметрії. Воно справджується в кожній площині простору. Однак у просторі це твердження потребує доведення.

Теорема (основна властивість паралельних прямих у просторі).

Через точку, яка не лежить на даній прямій, у просторі можнапровести пряму, паралельну даній прямій, і тільки одну.

Дано: прямаa,точкаА,А ∉a.

Довести:існуєтількиоднапрямаb ||a,щоА ∈b.

Доведення. Занаслідком1заксіомстереометрії,черезпрямуa  іточкуАможнапровестиплощину άідотогожтількиодну.Уплощиніα,зааксіомоюпаралельнихпрямих,через точкуАможнапровестипрямуb,паралельнупрямійа,ітількиодну.Отже,упросторічерезточкуАможнапровеститількиоднупрямуb ||a.

Теорема (ознака паралельності прямих).

Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.

Доведення. Розглянемо два випадки:

1) дані прямі лежать в одній площині;

Нехай прямі a, b і c лежать в одній площині, a || b і a || c. Доведемо, що b || c. Позначимо довільну точку M на  прямій c. Припустимо, що пряма c не паралельна прямій b. Тоді, за аксіомою паралельних прямих, через точку M можна провести пряму c1, паралельну прямій b. Дістали, що через точку M проходять дві прямі – c і c1, паралельні прямій a, що неможливо. Отже, наше припущення було неправильним, а правильним є те, що b || c.

2) дані прямі не лежать в одній площині.

Нехай прямі a, b і c не лежать в одній площині, a || b і a || c. Доведемо, що b || c. Проведемо через паралельні прямі a  і b площину α, а через паралельні прямі a  і c – площину β. Через довільну точку M прямої c  і пряму b проведемо площину γ. За аксіомою 4 стереометрії, площина γ перетинає площину  β по прямій. Припустимо, що це деяка пряма c1, відмінна від прямої c. Припустимо далі, що пряма c1 перетинає площину α. Тоді точка їх перетину має належати і прямій a, бо прямі a і c1 лежать у площині β, і прямій b, бо прямі b і c1 лежать у площині γ. Але, за умовою, a || b. Дістали суперечність. Отже, пряма c1 не перетинає площину α, а значить, не може перетинати і пряму a, тобто c1 || a. Але тоді у площині β через точку M проходять дві прямі, паралельні прямій a: c || a  за умовою і c1 || a за доведеним. Дістали суперечність з аксіомою паралельних прямих. Отже, пряма c1  збігається з прямою c. Звідси випливає, що пряма c лежить у площині γ і не перетинає площину α. Дістали, що прямі b і c лежать в одній площині γ і не перетинаються. Отже, b || c.

Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Теорема (ознака паралельності прямої і площини).

Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Доведення. Нехай — площина, а — пряма, яка їй не належить, і а1 — пряма у площині , паралельна прямійа.Проведемо площину  через пряміа іа1. Площини  і  перетинаються по прямійа1. Якби прямаа перетинала площину , то точка перетину належала б прямійа1. Але це неможливо, оскількиа іа1паралельні. Отже, прямаа не перетинає площину ,а тому паралельна площині . Теорему доведено.

ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Теорема (ознака паралельності площин).

Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

Доведення. Нехай  і  — дані площини,  і  — дві прямі у площині , які перетинаються у точці, і — відповідно паралельні їм прямі у площині  (мал.). Припустимо, що площини  іне паралельні, тобто перетинаються по деякій прямій .За ознакою паралельності прямої і площини прямі  і , як паралельні прямим і, паралельні площині , і тому вони не перетинають пряму , яка лежить у цій площині. Таким чином, у площині через точку Апроходять дві прямі ( і ), паралельні прямій . Але це суперечить основній властивості паралельних прямих. Ми прийшли до суперечності. Теорему доведено.

Теорема (основна властивість паралельних площин).

Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Доведення. Проведемо у даній площині а які-небудь дві прямі і , що перетинаються (мал. 1). Через дану точку проведемо паралельні їм прямі і . Площина , що проходить через  і, за теоремою 2.4 паралельна площині .

Припустимо, що через точку проходить інша площина , теж паралельна площині  (мал. 2). Позначимо на площині  довільну точку , яка не лежить у площині . Проведемо площинучерез точкиі яку-небудь точку площини . Ця площина перетне площиниі  по прямихі . Прямі і не перетинають пряму , оскільки не перетинають площину . Отже, вони паралельні прямій . Але у площині через точку можна провести тільки одну пряму, паралельну прямій . Ми прийшли до суперечності. Теорему доведено.

Важливі властивості паралельних площин пов’язані з площиною, що їх перетинає. Цю площину називають січною площиною.

Властивість 1.

Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, то прямі перетину паралельні.

Доведення. За умовою, прямі AD і BC лежать у січній площині γ. Вони не можуть перетинатися, бо інакше перетиналися б площини α і β, а це суперечить умові. Отже, AD || BC.

Чи правильне твердження, обернене до теореми про паралельні площини і січну площину? Ні. З того, що прямі перетину двох даних площини третьою паралельні, не випливає, що дані площини паралельні.

Властивість 2.

Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами, рівні.

Доведення. Справді, нехай  і  — паралельні площини,  і  — паралельні прямі, що їх перетинають.і — точки перетину прямих з площинами (мал.). Проведемо через прямі  іплощину. Вона перетинає площини  іпо паралельних прямихі . Чотирикутник — паралелограм, оскільки в нього протилежні сторони паралельні. А в паралелограма протилежні сторони рівні. Отже, , що й треба було довести.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі. Розміщення прямої і площини у просторі. Розміщення двох площин у просторі на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Реферат Взаєморозташування двох площин, прямої лінії та площини. Перпендикулярність прямих та площин

2. Реферат Паралельність прямих і площин у просторі

3. Реферат Вектори у просторі. Дії над векторами

4. Реферат ОРГАНІЗАЦІЯ ВИРОБНИЧИХ ПРОЦЕСІВ У ЧАСІ ТА ПРОСТОРІ

5. Реферат КИЇВСЬКА РУСЬ У ХРИСТИЯНСЬКОМУ ЦИВІЛІЗАЦІЙНОМУ ПРОСТОРІ

6. Реферат Векторний та змішаний добутки векторів. Площина та пряма в просторі

7. Реферат Відносне положення двох прямих Площина. Пряма та точка у площині

8. Реферат АЛГОРИТМИ РОЗМІЩЕННЯ КОНСТРУКЦІЙНИХ МОДУЛІВ

9. Реферат Множини. Перестановки, розміщення, сполучення

10. Реферат Розвиток і розміщення промислового комплексу України