Новости

Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия» Методические указания по решению задач в рабочей тетради

Работа добавлена:






Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия» Методические указания по решению задач в рабочей тетради на http://mirrorref.ru

Федеральное агентство по образованию

Тольяттинский государственный университет

Кафедра «Начертательная геометрия и черчение»

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

по курсу «Начертательная геометрия»

Методические указания по решению задач в рабочей тетради

Тольятти 2007

Содержание

Модуль №1 4

Точка 4

Задача №1 4

Задача №2 7

Линия 9

Задача №3 9

Задача №4 9

Задача №6 10

Задача №8 11

Задача №10 12

Задача №11 13

Задача №13 14

Задача №12 16

Модуль №2 19

Плоскость 19

Задача №17 19

Задача №18 21

Задача №20 24

Задача №21 26

Задача №22 26

Задача №23 28

Задача №24 31

Задача №25 31

Задача №26 34

Задача №27 36

Задача №30 37

Задача №31 37

Поверхность 41

Задача №32 41

Задача №23 42

Задача №34 44

Задача № 35 47

Задача №36 50

Задача №37 50

Задача №38 53

Задача №40 57

Задача №41 57

Задача №42 60

Задача №43 63

Задача №46 65

Задача №47 69

Задача №47 72

Задача №48 73

Задача №50 75

Модуль №3 79

Главные позиционные задачи 79

Решение задач по 1 и 2 алгоритмам 79

Задача №55 79

Задача №57 80

Задача №58 81

Задача №60 84

Задача №61 92

Задача №64 94

Задача №67 96

Задача №71 99

Задача №73 103

Задача №76 106

Задача №78 108

Модуль №4 110

Метрические задачи 110

Задача №81 110

Задача №82 111

Задача №83 112

Задача №84 113

Задача №85 113

Задача №86 114

Задача №87 115

Задача №88 116

Задача №89 116

Задача №90 118

Задача №91 119

Задача №92 120

Задача №93 121

Задача №95 122

Метод введения новой плоскости проекций 123

Задача №100 123

Задача №101 126

Задача №102 127

Задача №103 130

Задача №104 130

Задача №105 132

Задача №106 134

Задача №107 136

Задача №107 138

Задача №109 141

Задача №110 145

Метод вращения вокруг проецирующей оси 148

Задача №115 148

Задача №116 149

Задача №117 150

Модуль №1

Точка

Задача №1

Построить комплексные чертежи точек:А(15,30,0),В(30,25,15),С(30,10,15),D(15,30,20)

Решение задачи разделим на четыре этапа.

1.А(15,30,0);xA= 15 мм;yA= 30мм; zA= 0.

Как Вы думаете, если у точкиА координатаzA=0, то какое положение она занимает в пространстве?

Рис. 1.1

Так выглядит комплексный чертеж точкиАпостроенный по заданным координатам

Если у точки одна координата равна нулю, то точка принадлежит одной из плоскостей проекции. В данном случае у точки нет высоты:z= 0, следовательно точкаА лежит в плоскостиП1.

На комплексном чертеже оригинал (т.е. сама точкаА) не изображается, есть только ее проекции.

2.В(30,25,15) иС(30,10,15).

На втором этапе объединим построение двух точек.

xB= 30мм;xC = 30мм

yB = 35мм;yC = 10мм

zB = 15мм;zC= 15мм

У точекВ иС:xB =xC = 30мм,zB =zC = 15мм

а) Координатых точек одинаковы, следовательно, в системе П1– П2 проекции точек лежат на одной линии связи (рис. 1.2),

Рис. 1.2

б) Координатыz точек совпадают, (обе точки одинаково удалены отП1 на 15мм,) т.е. они расположены на одной высоте, следовательно наП2 проекции точек совпадают:В2=2).

в) Для определения видимости относительноП2 смотрим на рис. 1.3. Наблюдатель видит точкуВ, которая закрывает собой точкуС, т.е. точкаВ расположена ближе к наблюдателю, поэтому наП2 она видима. (См. М1 - 13 и 16).

Рис. 1.3

В системеП2П3 проекции точек также лежат на одной линии связи и видимость определяется по стрелке (рис. 1.2).

ТочкиВ иС - называются фронтально конкурирующими.

3.D(15,30,20);xD = 15мм;yD = 30мм;zD = 20мм.

а) На этом комплексном чертеже (рис. 1.4) построены три проекции точкиD(D1,D2,D3).

Все три координаты имеют числовые значения, отличные от нуля, поэтому точка не принадлежит ни одной плоскости проекций.

Рис. 1.4

б) Совместим пространственное изображениеА иD (рис. 1.5). В системеП12 проекции точекА иD лежат на одной линии связи, только точкаD выше точкиА, следовательноD - видима, аА - невидима (видима наП1 та точка, которая расположена выше)

Рис. 1.5

На четвертом, завершающем этапе, соединим все три фрагмента комплексных чертежей точекА,В,С,D в один общий.

Рис. 1.6

ТочкиА иD - называются горизонтально конкурирующими.

Рис. 1.7

Задача №2

На заданных линиях связи построить проекции точекВ иС: точкаВ расположена выше точкиА на 10мм и ближе к наблюдателю на 15мм; точкаС расположена ниже точкиА на 10мм и ближе к плоскостиП2 на 5мм.

Решение задачи осуществляется на безосном комплексном чертеже.

1. Распределим линии связи для точекВ иС

2. Проведем вспомогательные линии А1А2, пересекая линии связи точекВ иС.

Верхняя горизонтальная линии отА2 будет определять уровень точекВ иС относительноП1, по сравнению с точкойА, т.е. "выше - ниже"А:

ТочкаВ выше на 10мм, чем точкаА относительноП1

ТочкаС ниже на 10мм, чем точкаА относительноП1

3. Нижняя горизонтальная линия отА1 будет границей расположения точекВ иС относительноП2, по сравнению с точкойА, т.е. "ближе - дальше" от наблюдателя:

ТочкаВ ближе на 15мм к наблюдателю, чемА,

ТочкаС дальше от наблюдателя, т.е. ближе кП2 на 5мм, чем точкаА.

4. Убираем все вспомогательные построения.

Задача решена.

Линия

Задача №3

Для решения этой задачи, при необходимости, можно воспользоваться Модулем №1(стр. 20)

Задача №4

Построить проекции отрезкаАВ горизонталиh(h1h2) П1 если=30,АВ = 40мм, точкаВ удалена отП2 дальше, чем точкаА.

Решить эту задачу, значит построить точкаВ(В1В2).

h2 линии связи,

h1 - проецируется в истинную величину;

 - угол наклона горизонтали кП2 проецируется без искажения.

Алгоритм построения.

1. Горизонталь начинаем строить с фронтальной плоскости:h2 лин. связи. Можно ли отложить на этой линии 40мм и построить точкуВ2? Нельзя, т.к.h2 проецируется с искажением.

2. НаП1 проведем вспомогательную прямую изА А1А2.

3. Построим угол. Его можно отложить вверх от вспомогательной линии и вниз, но в задаче дано, что точкаВ удалена отП2 дальше, чем точкаА, поэтому луч для = 30 откладываем вниз.

4. На этом луче откладываем расстояние, равное 40мм и получаем:h1 = А1В1 =АВ

5. Так как мы построили горизонтальную проекцию точкиВ В1, то для определенияВ2 достаточно провести линию связи до пересечения сh2 В2.

Задача №6

Построить проекции отрезкаМN =30мм горизонтально проецирующей прямой при условии, что точкаВ делит отрезок пополам.

1. Горизонтально проецирующая прямаяMN параллельна сразу двум плоскостям проекций: П1 и П2.

Отложить 15мм вверх и вниз от точкиВ2

2. Фронтальная ее проекция –M2N2 проецируется без искажения наП2 и совпадает с линиями связи, а горизонтальная проекция проецируется в точку, которая называется главной проекцией и обладает собирательными свойствами (М1=N11).

B1=N1=M1 – горизонтально конкурирующие точки

Задача №8

Определить истинную длину отрезкаАВ и углы его наклона к плоскостям проекцийП1 иП2

1. Анализ условия: ни одна из проекций отрезкаАВ не и не линиям связи, значит задана прямая общего положения (Модуль №1, стр. 20).

A1B1первый катет. Перпендикуляр кA1B1можно провести как из точкиA1так и из В1

2. Двухкартинный чертеж Монжа обратим, поэтому для нахождения натуральной величины отрезка АВ применяют метод прямоугольного треугольника. (Модуль №1, стр. 14).

А1А0– второй катет. ГипотенузаА0В1– это натуральная величинаAB -это натуральная величинаAB.Угол -есть угол наклонаABк П1.

Аналогично, можно найти натуральную величину отрезкаАВ и угол () наклона данного отрезкаАВ кП2, построив прямоугольный треугольник наП2. Самостоятельно.

Задача №10

Построить горизонтальную проекцию отрезкаАВ, если = 20 (угол наклона кП2), точкаВ дальше отП2, чем точкаА.

Решение задачи сводится к построению горизонтальной проекции точкиВ В1, т.е. надо определить разность удаления концов отрезкаАВ доП2.

Как это можно сделать?

Только построив прямоугольный треугольник наП2 для этого информации?

Да, т.к. есть один катетА2В2 и угол наклона гипотенузы к нему.

Провести линию связи изВ2 т.к.В12 находятся на одной линии связи. Провести из точкиА вспомогательную прямую А1А2 т.к. по условию точкаВ дальше отП2, чем точкаА.

А2В2 - первый катет. Перпендикуляр (второй катет) можно проводить из любой точкиА2 илиВ2.

Построить из точкиА2 угол 20 (перенести графически) с помощью циркуля.

В2В0 (у) - второй катет. ГипотенузаА2В0 -натуральная величина отрезкаАВ.

В2В0 - значение второго катета отложить от точкиВ В1.

Задача №11

Через точкуА провести прямуюm n, еслиEm,Cn, точкаЕ расположена передС на 10мм.

Прямыеm иn скрещивающиеся, значит у них нет общих точек. ТочкиЕ иС - фронтально конкуририрующие, т.е. точкиС иЕ лежат на одном кП2, поэтомуС1 иЕ1 лежат на одной линии связи.

Продлите линию связи из точкиС1. ОтС1 отложите 10 мм ближе к наблюдателю получим точкуЕ1

Через две точкиА1 иЕ1, проводимm1, точкаЕ(Е1) расположена ближе к наблюдателю, значит наП2 фронтальная проекция точкиС(С2) - невидима, взять в скобки..

ТочкиD иF - горизонтально конкурирующие, построить их фронтальные проекции и определить видимость самостоятельно (Модуль №1, стр.26).

Задача №13

Построить горизонтальную проекцию плоской кривойm.

11 = ?, 21 = ?, m1 = ?

Для построения проекций плоской кривой применяется метод хорд. Кривая считается плоской, если проекции точки пересечения проекций одноименных хорд лежат на одной линии связи (Модуль №1, стр. 29).

Строим хордуАВ наП1 иП2. НаП2 строим фронтальную проекцию хорды12С2.

А2В2 12С2 = 32

Опустив линию связи из точки32, находим точку31. Точка3(32,31) позволит построить горизонтальную проекцию хорды.

Проводим линию связи из точки12 до пересечения с продленной прямой31С1 11

Плавной кривой соединим точкиА1,11,В1, получаем часть горизонтальной проекции кривойm.

Аналогично, строится точка21.

Объединим все построения на одном чертеже, обозначим горизонтальную проекцию кривойm1.

Чем больше точек брать на кривойАВ, тем точнее построение (5-6 точек).

Задача №12

Определить взаимное положение отрезков прямыхАВ иCD.

На 3-х картинном чертеже Монжа размеры по осиy (размеры ширины) наП1 иП3 остаются неизменными.

ТочкаС3 в системеП2- П3 (на линии связи осиZ), взята произвольно, т.к. чертеж безосный. Все остальные проекции точекА,В,D наП3 жестко связаны с точкойС3

(Модуль №1, стр.15).

Построение точкиD3

Построение точкиВ3

Построение точкиА3

Решение задачи 14 см. Модуль №1, стр. 31.

Решение задачи 15 см. Модуль №1, стр. 34

Модуль №2

Плоскость

Задача №17

В плоскости достроить недостающие проекции точки и прямой:

(АВС) l(l2); l = ?; D(D ) ; D = ?

В основе решения задачи лежит свойство принадлежности точки и прямой плоскости

(Модуль №2, стр.2).

l, значит проходит через две точки этой плоскости1 и2.

точка1 АВ,12 А2В211 А1В1

точка2 АС,22 А2С221А1С1

1. Построим горизонтальные проекции точек1 и2(с помощью линий связи)11 и21

2. Через точки1 и2 проведем горизонтальную проекцию прямой –l.

Очень важно не перепутать принадлежность точек своим отрезкам.

Как построить точкуD?

Заметим, что точкаD находится за пределами треугольника, но, тем не менее, принадлежит плоскости, т.к. любая плоскость безгранична в пространстве, треугольник - это только ее определитель, с помощью которого она задана.

Так с чего начать? Обычно студенты предлагают провести линию связи из точкиD1. ДействительноD1 иD2 находятся на одной линии связи, Хорошо, провели, а дальше?

Исходя из свойства принадлежности точки плоскости, через точкуD(D1) нужно провести вспомогательную прямую в плоскости. Сколько таких прямых можно провести? Бесчисленное множество, выбрав наиболее рациональный вариант.

1 вариант

2 вариант

Первый вариант рациональнее, т.к. для вспомогательной прямой нужно строить меньше точек (достаточно построить точку3, точкаА уже есть).

Задача №18

В плоскости достроить недостающие проекции линий:

Г(a b), l(l2) Г, l1 = ?, m(m1) Г, m2 = ?

Принадлежность прямой плоскости, в случае, когда она проходит через две точки этой плоскости, была рассмотрена в задаче № 17. В этой задаче проиллюстрируем принадлежность прямой плоскости, если она проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости.

l1 = ? l a b

Где взять эту точку? Наl2 можно взять любую точку и построить ее проекции наП1 по принадлежности кГ(рис. 18.1). Рациональнее взять точку32 (рис. 18.3).

Рис. 18-1

Через прямую1-2 строим проекции точки3

Рис. 18-2

Теперь через точку31 проводимl1 а1 ив1

Рис. 18-3

Как построитьm2?

Следует отметить, что для построения кривойm2 нужно взять не менее четырех точек.

Рис. 18-4

Точки4,6,8 строятся без дополнительных построений, с помощью линий связи.

Рис. 18-5

Для построения точки5 и7 проводят дополнительные прямые а ив.

Рис. 18-6

Находим точки52, 72.

Рис. 18-7

Все точки соединить плавной кривойm2

Рис. 18-8

Задача №20

Дана плоскость(h f), АВС, А1В1С1 = ?

Как построитьА1В1С1, зная свойство принадлежности точки и прямой к плоскости? ТреугольникАВС надо рассматривать, как фигуру, состоящую из вершин (точекА,В,С) и сторон (отрезков прямых), т.е. следует применить решение предыдущих задач №17 и №18.

Рис. 20-1

СторонаАВ h, точкаА принадлежитf.

A2 f2 A1 f ,A2B2 h2 A1B1 h1(Рис. 20-2)

Рис. 20-2

Горизонтальная проекцияАС строится по двум точкам:А и1 =А2C2h2 11 С1(Рис. 20-3)

Рис. 20-3

Задача №21

Задача решается аналогично, чтобы построить фронтальные проекции точекD,F,E, необходимо построить фронтальные проекци любых двух сторон треугольника (напримерDF иDE), исходя из свойства принадлежности прямой к плоскости. Для чего следует их продлить до пересечения сФ, т.е. сm1 иn1.

Задача №22

Определить угол наклона плоскости(g) кП1

А(А2). А1 = ? = ?

Плоскость заданаg - линией ската, но т.к. положениеg в плоскости определяется положением горизонтали этой плоскости, то значит можно однозначно утверждать,что данная плоскость задана двумя пересекающимися прямыми(g) =(g h) (Модуль №2, стр. 8)

g h h2 линиям связи,g1 h1,h2 провести черезА2,А1 находится по принадлежности

горизонтали

Но как определить угол?

Угол междуg ug1 - есть угол наклонаП1 = g g

g(g1,g2)- прямая общего положения

Для определения угла () необходима истинная величина линии ската, которую определим методом прямоугольного треугольника (задача №8)

Угол междуg иg1 =.

Если бы не требовалось определитьА1, то угол можно было бы определить и без построения горизонтали. Достаточно задаться любым отрезком на линии ската.

Задача №23

Определить угол наклона плоскостиФ(а b) кП2. = ?

Как определитье - линию наибольшего наклона плоскостиФ кП2(е f е2 f2)? Задача графически сложная, но легко решается, если ее разбить на три этапа (на три задачи), которые встречались на предыдущих страницах:

1) Построить проекции фронталиf (f1f2)

Построитьf(f1,f2): f1 линиям связи (в любом местеf1 а в),f2 по принадлежности плоскостиФ

2) Построить проекции линии наибольшего наклонае(е1 е2)

Построитье(е f) е2 f2. Построитье2 можно бесконечное множество.

Выбираем наиболее рациональный вариант и достраиваеме(е1) Ф (по двум точкам1 и3).

3) Определить натуральную величину е с помощью прямоугольного треугольника. Угол = междуе – е2 (Ф П2 = е е2)

е(е1, е2) – прямая общего положения

Задача №24

Эта задача решается аналогично, только алгоритм нужно применить относительноП1.

Задача №25

Окружностьk Г(Г1), A k, O - центр окружности.

Построить:k1 =?, k2 = ?

ПлоскостьГ занимает горизонтально проецирующее положение.Г1 = главная проекция, обладающая собирательными свойствами, поэтомуk1 - прямая линия совпадающая сГ1.Г имеет угол () наклона кП2, поэтому окружность спроецируется наП2 с искажением, в виде эллипса.

При этом, какое положение займут большая и малая оси эллипса?

Чтобы построитьа2 ив2, нужно знать значение радиуса окружности (R), т.к.а1 = 2R, в2 = 2R.

ТочкаА принадлежит окружности, поэтому соединив точку А сОR. На какой проекции можно замерить значение радиуса?

Нигде! Т.к.ОА - прямая общего положения.

Методом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину радиуса окружностиR

а (1,2) - малая ось эллипса

в (3,4) - большая ось эллипса

Эллипс - центрально симметричная замкнутая кривая, следовательно относительно точкиО2 на кривой таких точек какА2 - четыре.

Теперь плавной кривой соединяем все 8 точек.

Плавной кривой соединить все точки

Задача №26

В заданных плоскостях через точкуК провести проекции линий уровня

Г(АВС), К Г.

Горизонталь плоскостиГ должна пройти через две точки плоскости, начинать построение с фронтальной проекции (задача №4)

K2h2 линиям связи

h2 A2B2 = 12

h2B2C2 = 22

Через1121 h1, ПостроитьК1 h

Построение фронталиf (f1 f2) начинают с горизонтальной проекции: через точкуК1 проводятf1 линиям связи.

f1 А1С1 = 31 32; через 32 и К2 f2.

Задача №27

(2), К

Если построение горизонтали начинать с фронтальной проекции линиям связи, как в предыдущей задаче, тоh2 пересечет, т.е. не будет принадлежать. Как быть? Попробуйте мысленно вращатьh П1, пока она не совместится с2, это произойдет только тогда, когда горизонталь займет положение фронтально проецирующей прямой.

- фронтально проецирующая плоскость.

h П2 h2 - точка,h1 = линиями связи.

f1 линии связи,f2 =2

Задача №30

Через точкуМ провести прямуюm(m1 m2) параллельную плоскостям(АВС) иГ(Г1).

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Если плоскость занимает проецирующее положение (Г1), то проекция прямой параллельна ее главной проекции, т.е.Г1.

Алгоритм построения.

1. Проведемm1 Г1 через точкуМ1, но прямаяm иАВС, поэтому проведем прямуюС111m1 вА1В1С1.

2. НаП2 построим С212 и параллельно этой прямой через точкуМ2 проведемm2:m2C212

Задача №31

Достроить фронтальную проекцию плоскостиГ(DEF), еслиГ(DEF) Ф(АВС).

Как построитьD2E2F2, зная положение о взаимно параллельных плоскостях (Модуль №2, стр.10)? ТреугольникDEF надо рассматривать, как фигуру, состоящую из пересекающихся прямых (сторон), чтобы применить решение предыдущей задачи №30. Для определения точекE2 иF2 необходимо построить параллельноАВС две стороныDEF.

ПостроитьDF(D2F2)АВС, для чего провестиА111 D1F1

ПостроитьDЕ(D2F2)АВС, для чего провестиC121 D1E1

Достроить фронтальную проекциюDЕF

Очень часто студенты путают построение треугольника, параллельного заданному, с построением треугольника, принадлежащего заданному.

DЕFАВС

DЕF принадлежитГ(АВС)

Поверхность

Задача №32

Построить три проекции призмы

(АВС l), если П2, если m.

m2 = ? m3 = ?

Алгоритм построения.

Призма(АВС,l) – фронтально проецирующая. Ребраl П2 П1, П3

1. Достроить проекции призмы наП1 и наП3.

2.m -ломаная линия, состоит из двух прямых, которые обозначим тремя точками (1,2,3).

3. НаП2 проекции призмы и линииm совпадают.

4. НаП3 точки13 и23 будут видимыми, так как лежат в плоскостиАА’ВВ’, расположенной ближе к наблюдателю.

5. Точка33 расположена в плоскостиВВ’СС’ , которая наП3 закрыта плоскостямиАА’ВВ’ иАА’СС’, следовательно, будет невидимой.

6. Соединим три точки, с учетом видимости, получим профильную проекцию линииm.

Задача №23

Построить три проекции цилиндра вращения

(i,l), если П1;

n, n1 = ? n3 = ?

Алгоритм построения.

Цилиндр вращения - горизонтально проецирующий.Образующаяl П1 П2 П3.

1. Построить проекции цилиндра наП1, П2, П3.

2. Криваяn. Разделим фронтальную проекцию кривой на 5 произвольных точек. Точки32 и52 - особые, находятся на крайних образующих;12, 22, 42 - промежуточные точки.

3. НаП1 все точки совпадают с проекцией цилиндра вращения.

4. Находим проекции точек наП3. Точки13, 23,33 будут видимыми, а точки43, 53 - невидимыми. Точки33 и53 не требуют дополнительных построений, т.к. они уже лежат на своих образующих.

5. Соединив точки наП3 с учетом видимости, получим профильную проекцию кривойn3.

Задача №34

Построить проекции трехгранной призмыФ(АВС, s), М Ф , М1 = ? Высота призмы 40 мм

Вспомним алгоритм конструирования поверхности: М2-15. Что задано на чертеже?

Проекции геометрической части определителя. Строим дискретный каркас, закон каркаса:

lABC,ls

С какой проекции начнем конструировать линейчатую поверхность? Можно начать с любой, но, учитывая условие задачи (высота 40 мм), начнем построение с фронтальной проекции, проведя 3 образующие s2.

Построить проекцию линии обреза наП2

А2’В2’С2 - фронтальная проекция линии обреза. С помощью линий связи построить ее горизонтальную проекцию –А1’В1’С1

Для того, чтобы обвести проекции поверхности основной сплошной линией, необходимо определить видимость.

Точки1 = 2(11 = 21) - горизонтально конкурирующие, точка1 выше, чем точка2.

ТочкиВ’ = 4(В2’ = 42) - фронтально конкурирующие, точкаВближе к наблюдателю, чем точка4.

РеброВ1В1 частично видимо, т.к. поверхность (в данном случае призма) - это пустотелая геометрическая фигура., имеющая только боковую поверхность.

НаП2 точкаМ(М2)- видимая, АА’ВВ’. Через точкуМ(М2) провести образующуюМ5(М252). ТочкаМ(М1) - невидимая.

Задача № 35

Построить проекции пирамидальной поверхностиГ(1,2,3, S); А,В Г; А12=?

Вспомним алгоритм конструирования поверхности: М2-15. Что задано на чертеже?

Проекции геометрической части определителя. Строим дискретный каркас из трех образующих, закон каркаса:l 1,2,3;Sl

Соединить точки направляющей1,2,3 с вершинойS, на обоих проекциях. Определить видимость проекций поверхности, точки4=5(42 =52) - фронтально конкурирующие точки, точки6=7(62=72) - горизонтально конкурирующие точки.

Точка7 выше, чем точка6, точка4 ближе к наблюдателю, чем точка5.

А Г, А1 = ?

В Г, В2 = ?

Задача №36

Построить проекции пирамидальной поверхности общего вида(А,В,С,D,F,S),n,n1 = ?

Задачу 36 решить самостоятельно, учитывая опыт решения предыдущих задач. Ломаную линию

n(n1) построить по принадлежности соответствующим граням, учитывая видимость проекций

поверхности.

Задача №37

Построить проекции конической поверхности общего видаГ(m,S), А Г, В Г, А2 = ?, В1 =?

Коническая поверхность - кривая линейчатая (М2-21, 22), образующаяl - прямая линия.

Что задано на чертеже?

Проекции геометрической части определителя. Строим дискретный каркас, закон каркаса:

lm;lS

Провести конечное число образующих, начиная с очерковых.

Определить видимость проекций поверхности:

точкиМ=N1=N1) - горизонтально конкурирующие,

точки4=7(42=72) - фронтально конкурирующие,

точкаNвыше, чемМ,

точка4 ближе к наблюдателю, чем точка7

А,В Г, В1 =? А1 =?

Через точкиА иВ провести образующие.

Задача №38

Построить проекции цилиндрической поверхности(m,s).

h=35 мм, K, K2 =?, N, N1 =?

Алгоритм построения.

На чертеже заданы проекции геометрической части определителя цилиндрической линейчатой поверхности.

Закон образования каркаса цилиндрической поверхности:lm,ls

1. Расстояние между верхним и нижним основаниями равно 35 мм.

2. Через центр направляющейm проведем осевые линии параллельноs наП1 и наП2 О1’, О2

3. На направляющейm обозначим 4 точки с учетом видимости.

4. НаП2 проведем две очерковые образующие: 11’(1212’)и 22’(2222’) s2 и построим фронтальную проекцию цилиндра.

5. НаП1 построим горизонтальную проекцию линии обрезаО’(О1’).

6. ПрямаяЕС(Е1С1) О О’(О1’) определит положение касательных к основанию, которые будут очерковыми образующими наП1.

Определяем видимость:

7. Строим фронтальные проекции образующих:ЕЕ’ -видимая,СС’ невидимая.

8. НаП1 строим проекции образующих

11’(1111’) и 44’(4141’) - видимые;

22’(2121’) и 33’(3131’) - частично видны через верхнюю линию обреза.

ПостроениеК(К2).

Обозначим зону видимости относительноП2 :все точки, расположенные на образующих от1(11) до2(21) через3(31) наП2 будут видимы.

ЧерезК(К1) проведем образующуюs1 6(61) 6(62).

Через точку6(62) проведем образующуюs2 6К(62K2)

НаП1 образующая6К(61К1) находится вне зоны видимости относительноП2, следовательно, фронтальная проекция точкиК(К2) будет невидима.

ПостроениеN(N1)

Обозначим зону видимости относительноП1: все точки, расположенные на образующих отЕ(Е2) доС(С2) через1(12) наП1 будут видимы.

N(N2) наП2 видима, следовательно горизонтальная проекцияN(N1) должна располагаться в зоне видимости относительноП2, т.е. точка51 - ближе к наблюдателю.

Проводим образующуюN5(N252) s2 5(51) (51N1), т.к. точкаN2 - вне зоны видимости относительноП1, то точкаN1 должна быть невидимой, но, поскольку у цилиндра только боковая поверхность и он пустотелый, то точкаN1 - видима, т.к. частично образующая51N1 видна, и как раз на видимую часть этой образующей проецируется точкаN(N1) - видимая.

Задача №40

Построить проекции цилиндроида(n,m,Г), d(d1), d2 = ?

Задачу решить самостоятельно, учитывая положение плоскости параллелилизма.

Задача №41

Построить проекции коноида(n,m1), а(а1), а2 = ?

Закон образования каркаса коноидаlm;ln;l П1

Какое положение занимают неподвижные направляющиеm,n?

m(m1,m2) - плоская кривая, лежащая во фронтальной плоскости уровня.

n(n1,n2) - горизонтально проецирующая прямая

С какой проекции начинать построение? С фронтальной, т.к.l П1.

Проводим фронтальные проекции образующих, определяем положение точек наП1, через которые пройдут горизонтальные проекции образующих.

Достраиваем и определяем видимость проекций поверхности.

Конкурирующих точек нет, поэтому проекции образующих видимы наП1 иП2

Для построения фронтальной проекции кривойа отмечают точки пересеченияа(а1) с горизонтальными проекциями образующих и строят их фронтальные проекции по принадлежности образующим, с помощью линий связи Фронтальная проекция кривойа(а2) видима.

Задача №42

Построить проекции гиперболического параболоида (косой плоскости)(n,m,Г), в(в2), в =?

Закон образования каркаса гиперболического параболоида (косой плоскости)lm;lm;l Г

1. НаП2 разделим фронтальную проекцию направляющейn2 на 7 точек.

2. Проведем через каждую точку проекцию образующей параллельноГ2 – плоскости параллелизма.

3. НаП1 построим проекции точек и проведем проекции образующих через одноименные точки.

4. НаП1 определяем видимость поверхности: образующая77’ - выше всех, она видна вся; образующая66’ не видна только в одной точке, за 7 образующей; образующая55’ не видна между66’ и77’; образующая44’ не видна между55’,66’ и77’; образующая33’ не видна между44’,55’,66’ и77’; образующая22’ не видна между33’,44’,55’,66’ и77’; образующая11’ не видна за всеми (от 2 до 7). Крайние проекции образующих (с учетом видимости) обвести основной линией.

MN – горизонтально конкурирующие точки

5. Для построения горизонтальной проекции линиив(в1) отметим звездочками точки пересеченияв(в2) с фронтальными проекциями образующих поверхности. Проведем линии связи из этих точек на соответствующие горизонтальные проекции образующих.

6. С учетом видимости соединим точки (звездочки) и получаем горизонтальную проекцию кривойв(в1).

Задача №43

Построить проекции конуса вращения(i,l), h = 40мм.,А,В,К(А111), А2 =? В2 =? К2 =?

Алгоритм построения.

1. НаП2 от вершины конуса отложим высоту 40мм. определив положение основания (линию обреза) конуса..

2. Используя свойство симметрии поверхностей вращения, достраиваем левый полумеридиан.

3. Горизонтальная проекция - окружность R = l1.

4. Видимость поверхности:

Все точки, принадлежащие конусу, наП1 будут видимыми;

Видимость наП2 ограничится главным (фронтальным) меридианом.

5. Чтобы определить недостающие проекции точек, нужно через имеющиеся проекции точек провести линии: образующую или параллель точки, радиусом от оси до очерка.

а) Для построения точки А(А2) проведем проекции образующей и по принадлежности ей, с учетом видимости построим точкиА(А2).

б) ТочкаВ принадлежит очерковой образующей, поэтому для построения точкиВ2 достаточно провести отВ1 линию связи.

в) Построение точкиК(К1): черезК(К2) проведем радиусомR параллель (от оси до очерка).

Построить горизонтальную проекцию этой параллели. Линия связи, проведенная от точкиК2 дважды пересекает параллель, но точкаК1 будет располагаться в зоне видимости, т.к. относительноП2 точкаК2 – видима.

Задача №46

Построить проекции поверхности вращения общего видаФ(i,l). Достроить недостающие проекции точекА,В,С.

В этой задаче проекции образующейl(l1,l2) не лежат в плоскости фронтального меридиана, поэтому нам необходимо повернуть образующую так, чтобы она легла в одну плоскость с осью вращения (М2 ст. 29)

Каждая точка образующей наП1, вращаясь вокруг осиi1, опишет траекторию окружности - параллель, наП2 ее проекция проецируется в прямую линию i2.

Возьмем на образующейl(l1,l2) 6 точек.

Введем каждую точку в плоскость фронтального меридиана. Например, точка1 опишет наибольшую, верхнюю параллель(экватор), точка6 - наименьшую, нижнюю параллель (горло).

Аналогичные построения проведем с оставшимися точками правый полумеридиан.

Симметрично правому полумеридиану достраиваем левый. Обводим основной толстой линией проекции поверхности.

Для построения недостающих проекций точекА,В, иС необходимо определить зоны видимости:

1) Все точки, принадлежащие поверхности, относительноП1 будут видимы (изнутри).

2) Видимость относительноП2 показана заштрихованной зоной.

а) Для построения горизонтальной проекции точкиА(А1) необходимо:

- через точкуА2 провести параллель радиусомR (от оси до очерка);

- наП1 строим проекцию этой параллели радиусомR;

- проводим линию связи от точкиА2 до пересечения с параллелью в заштрихованной зоне, т.к. точкаА2 - видима;

- проекция точкиА(А1) будет видимой.

б) Для построения точкиВ(В1) проводим аналогичные построения.

в) Построение фронтальной проекции точкиС(С2):

Горизонтальная проекция точкиС1 расположена в незаштрихованной зоне, т.е. за плоскостью фронтального меридиана, следовательно, фронтальная проекция точки будет невидимой.

НаП1 через точкуС1 проведем параллель радиусомR’’ до пересечения с горизонтальной проекцией левого полумеридиана в точке, которую обозначим звездочкой.

Построим фронтальную проекцию этой точки и проведем через нее фронтальную проекцию параллели, которой и будет принадлежать точкаС2.

Задача №47

Построить проекции поверхности гиперболоида вращения(i,l), А,В(А21), А1 = ?, В2 = ?

Алгоритм построения поверхности подробно расписан в М2 ст. 35,36. Как и в предыдущей задаче №46, необходимо построить фронтальную проекцию правого полумеридиана (в данном случае гиперболу). Значит ввести все точки образующей -l в плоскость фронтального (главного) меридиана, тогда наП2 гипербола спроецируется без искажения.

Распределить точки наl(l1), которые определят положение будущих параллелей наП1 иП2:

Точка1(11) - определит положение нижней параллели

Точка3(31) - определит положение горла

Точка6(61) - определит положение верхней параллели (экватора)

Точка5(51) - уже принадлежит главному меридиану

Точки2,4,(21,41) - промежуточные точки;

Через фронтальные проекции точек провести прямыеl2, которые определят положение фронтальных проекций параллелей.

Ввести точки (1...6) в плоскость фронтального меридиана, а из них поднять линии связи, определяя положение соответствующих параллелей наП2.

НаП2: верхнее и нижнее основания можно сразу вычертить основной линией - это линии обреза поверхности.

НаП1: окружности верхнего основания и горла вычертить основной линией, а окружность нижнего основания штриховой линией, т.к. она закрыта верхней параллелью (экватором).

Задача №47

Обвести плавной кривой линией правый полумеридиан (гиперболу), симметрично построить левый полумеридиан. Обвести фронтальную проекцию поверхности основной толстой линией.

Для построения недостающих точек на поверхности гиперболоида, необходимо указать зоны видимости.

Построение горизонтальной проекции точкиА:

а) наП2 измеряем радиусR параллели точкиА2;

б) наП1 радиусомR проводим окружность и проецируем на нее точкуА1 в заштрихованной зоне.

Построение фронтальной проекции точкиВ:

а) наП1 через точкуВ1 проведем параллель до пересечения с главным меридианом и отметим точку пересечение звездочкой (*), линия связи из этой точки пересечет фронтальную проекцию правой гиперболы в двух точках. Так как точкаВ1 - видимая, то точку выбираем в верхней части. Проведем параллель радиусомR’ и на пересечении линии связи от точкиВ1 и этой параллели построим точкуВ2, которая будет невидимой.

Задача №48

Построить проекции поверхности кольца(i,l). Обозначить проекции горлаn(n1,n2) и экватораm(m1,m2), а(а2),a1 =?

Каждая точка образующей наП2, вращаясь вокруг осиi2 опишет траекторию окружности - параллель, наП1 фронтальная проекция параллели проецируется в прямую линиюi.

Построение поверхности подробно описано в М2-37,38

Достроить правый полумеридиан, симметрично ему построить левый. Обвести проекции поверхности основной толстой линией.

Отмечаем особые точки наа(а2): точки1 и2 принадлежат экватору, точки3(4) и5(6) ближней и дальней параллелям,9(10) образующейl. Точки7(8) определят кратчайшее расстояние между ветвями кривойа, находим их через построение дополнительной параллели (точкиК,L)

Отмечаем и простраиваем промежуточные точки.

Фронтальная проекция кривой а видима наП1 от точки5 до точки6 через точку1.

Задача №50

Построить проекции поверхности косого геликоида(i,m,Г), n(n2), n1 = ?

Алгоритм построения.

1. Направляющую винтовую линиюm(m1m2) разделим на 12 точек и обозначим.

2. НаП1 построим 12 проекций образующих, которые пересекут окружность направляющего конуса. Точки пересечения перенесем на фронтальную проекцию конуса и соединим с вершиной.

Фронтальные проекции образующих геликоида будут параллельны соответствующим образующим направляющего конуса.

3. Все линии, ограничивающие проекции поверхности и крайние образующие необходимо обвести. НаП2 строим огибающую к семейству прямолинейных образующих.

4. Определяем видимость направляющей и образующих.

5.n(n2). Для построения горизонтальной проекцииn, наП2 отметим звездочками пересеченияn2 с фронтальными проекциями образующих от точек62, 52, 42, 32, 22.

6. Из этих точек проведем линии связи на соответствующие проекции образующих геликоида.

7. Соединим наП1 звездочки плавной кривой, получим горизонтальную проекцияn(n1).

Модуль №3

Главные позиционные задачи

Решение задач по 1 и 2 алгоритмам

Задача №55

Построить проекции точки пересечения прямой с поверхностью:в.

Алгоритм построения.

в - фронтально проецирующая прямая.

- конус вращения (поверхность непроецирующая)

1)в П2 в2= К2

2) К1

Горизонтальную проекциюК1 можно построить двумя способами:

1 способ: точкаК принадлежит образующейSA(S2A2S1A1)

2 способ: точкаК принадлежит параллелис(с2 с1)

3) Определяем видимость прямой и поверхности конуса наП1.

4) НаП2 при данном расположении конуса все точки видимы, в т. ч. иК2.

Задача №57

Построить проекции линии пересечения заданных плоскостей: Г(а b) = m.

Алгоритм построения.

Г(ab) =m(прямая); 2 ГПЗ, 2 алг.

1) П1m1=1

2) m2Г

a1 m1= 11 12;b1 m1= 21 22m2

НаП2 отрезок1222(m2) будет фронтальной проекцией линии пересечения.

Задача №58

Построить проекции линии пересечения поверхностей с плоскостью: Г =m; Г = l1,l2

Построения проводим для каждой поверхности отдельно:

1. Цилиндрическая поверхность Г = l1,l2 (2 образующие цилиндра). Это 2 ГПЗ. Случай, когда обе фигуры проецирующие, но относительно одной и той же плоскости проекций (см. М3, стр. 24). Поэтому решаем эту часть задачи по 2 алгоритму.

Г - горизонтально проецирующая плоскость;

- горизонтально проецирующая поверхность.

Общим элементом пересечения будут являться две образующиеl1 иl2 – горизонтально проецирующие прямые.

Г П1; П1l11иl21- точки

Находим фронтальные проекции образующихl(l1,l2) по принадлежности, с учётом видимости.

2. Конус Г =m (гипербола); 2 ГПЗ, 2 алг.

Эту задачу решаем точно так же, как описано в М3 стр.13.

Г || П1m = Г1

Наm1 возьмём 7 точек и строим их, как описано в М3-13.

а) Точки1(11,12) и7(71,72) расположены на основании конуса; точка5(51,52) - на очерковой образующей конуса, она определяет видимость гиперболы относительноП2, так как расположена в плоскости фронтального меридиана;

б) Точка4(41,42) - вершина гиперболы (41 - ближайшая к центру вращения);

в) Точка2(21,22) и6(61,62) - промежуточные, лежат на одной параллели; точка3(31,32) - промежуточная, лежит на одной параллели с точкой5(51,52).

г) Строимm2 с учётом видимости.

Общий вид решения задачи:

Задача №60

Построить три проекции шара со сквозным отверстием.

Эта задача является аналогом задачи, рассмотренной в М3, стр. 14-15, с той разницей, что в М3 пересекаются поверхности сферы и призмы, а в данной задаче - тело шара с призматическим вырезом; кроме того, в М3 призма – горизонтально проецирующая, а в данной задаче вырез имеет форму фронтально проецирующей призмы. Однако, принцип решения тот же.

Сквозное отверстие представляет собой фронтально проецирующую трехгранную призму. Каждая грань - это секущая плоскость на шаре.

Алгоритм построения разделим на три этапа:

1. Сечение шара плоскостью(2)

2. Сечение шара плоскостью(2)

3. Сечение шара плоскостьюГ(Г2)

1 этап.

(2) - фронтально проецирующая пл-ть. При сечении этой плоскостью шара получаем кривую - эллипс наП1 и наП3.

На2 возьмём 7 точек. Построения наП1 начинаем с характерных точек:

точка1(12) принадлежит фронтальному меридиану11;

точка3(32) принадлежит экватору и определяет видимость эллипса наП1 31.

Так как эллипс наП1 симметричен относительно плоскости фронтального меридиана, то точки наП1 будем обозначать только в одной полусфере.

Находим эти точки наП3. Точка1(12) принадлежит профильному меридиану13 (относительноП3 – это характерная точка).

Достроив остальные профильные проекции точек с учетом видимости, соединим их, получим кривую неполного эллипса..

2 этап

(2) - горизонтальная плоскость уровня создает при сечении шара неполную окружность наП1 - невидимую, а наП3 окружность проецируется в прямую, видимую от точки13 до точки103 и невидимую часть от103 до93.

3 этап

Г(Г2) - профильная плоскость уровня при сечении шара создает:

наП3 - неполную окружность (невидимую);

наП1 проецируется в два отрезка видимых от71 до81 и невидимых от81 до91.

Уточняем контур видимых линий наП1 иП2.

3 этап

Г(Г2) - профильная плоскость уровня при сечении шара создает:

наП3 - неполную окружность (невидимую);

наП1 проецируется в два отрезка видимых от71 до81 и невидимых от81 до91.

Уточняем контур видимых линий наП1 иП3.

Задача №61

Построить проекции линии пересечения поверхностей: =m.

Алгоритм решения

Пересекаются два цилиндра это 2 ГПЗ, характер пересечения - вмятие общий элемент - одна пространственная криваяm. Цилиндр - профильно проецирующий, цилиндр – общего положения решаем по 2 алгоритму: П3m3=3;m2

1. Наm3 возьмём несколько точек

2. Точки1(13) и5(53) принадлежат профильным образующим цилиндра 12, 52 (невидима).

3. Точки2(23 и 23') принадлежат фронтальному меридиану цилиндра и определяют видимость кривойm относительно П2 22, 22'.

4. Построение фронтальных проекций точек32, 32’, 42, 42, которые наП2 будут невидимыми.

5. НаП2 соединим точки с учетом видимости и получим фронтальную проекцию кривойm2.

Задача №64

Построить проекции линии пересечения поверхности призмыФ(Ф12) с плоскостьюГ(h f).

Результат пересечения - треугольникАВС.

Алгоритм решения:

Призма - горизонтально проецирующая, плоскость - общего положения 2 ГПЗ, 2 алг.

Ф П1 А1В1С1 = Ф1. А2В2С2 Г.

Задача имеет несколько вариантов решения. Выберем самый оптимальный.

1. Сторона треугольникаАС(А1С1) пересекается с горизонталью и фронталью плоскостиГ в точках1(11) и2(21) 12 и 22, проведём через эти точкиА2С2.

2.В1С1 f1 B2C2 f2, проводимВ2С2 с учётом видимости. Грань, на которой расположена сторонаВС, наП2 невидимаВ2С2 - невидима.

3. По тем же причинам невидима сторонаА2В2.

Подумайте, как можно ещё решить эту задачу. Сколько способов решения вы насчитали?

Задача №67

Построить проекции линии пересечения цилиндра с поверхностью полукольца:Г Ф = в.

Пересекаются две поверхности вращения результат пересечения - пространственная кривая; характер пересечения - вмятие кривая линия - одна.

Алгоритм решения

Г Ф = в, 2 ГПЗ

Г П1, Ф – непроецирующая 2 алгоритм

Г П1 в1= Г1;в2 Ф

На проекции кривойв1 возьмём несколько точек. Видимость проекций этих точек наП2 определяется плоскостью фронтального меридиана цилиндра.

1. Точки1(11) и2(21) принадлежат ближней параллели полукольца радиусомR12 и22 находим без дополнительных построений по принадлежности этой параллели.12 и22 - видимые.

2. Точки51 и61(видимые наП1) принадлежат окружностиR-экватору, наП2 точки52 и62 не видны; точки51 и61(невидимы наП1) лежат на окружности горлаr, наП2 точки52 и62 - невидимые.

Обратите внимание! Мы построили проекции точек, лежащих на главных параллелях полукольца без вспомогательных построений, пользуясь только линиями связи.

3. Горизонтальные проекции точек31, 31’, 41, 41 лежат в плоскости фронтального меридиана цилиндра, которая является границей видимости линии пересечения относительноП2. Проведем параллели через эти точки: радиусомR - для точек31 и41; радиусомr - для точек31 и41.

НаП2 на пересечении параллелей и линий связи получим фронтальные проекции этих точек, которые будут видимыми.

4. Точки71 и71 лежат на параллелях тех же радиусов, но наП2 будут невидимы.

5. С учетом видимости проекций точек наП2 проведем кривую - фронтальную проекцию линии пересечения полукольца и цилиндра –в2.

6. НаП2 окончательный этап построения заключается в обводке видимого и невидимого контуров полукольца и цилиндра.

Задача №71

Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью:d = А,В.

Алгоритм построения.

d = А,В ( две точки ) 1 ГПЗ, 3 алгоритм

1. Для решения задачи необходимо взять вспомогательную плоскость - посредник.

 П2; d2 =d2

2. Теперь в пересечении участвуют плоскость и поверхность, причем плоскость - фронтально проецирующая.

= в (плоская кривая второго порядка - эллипс.) 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

 П2 в2 =2;в1

Построение горизонтальной проекции кривойв1:

а) НаП2 плоскость - посредник2 пересекает проекции всех образующих цилиндра. Сначала построим точки на очерковых образующих цилиндра -1(12) и2(22). Находим горизонтальные проекции образующих с учетом видимости и соответствующие проекции точек на них -11 и21.

Обратите внимание: точка21 должна быть невидимой, но нам она видна через верхнее отверстие, т.к. у цилиндрической поверхности нет плоскостей оснований.

б) Видимость относительноП1 определяется точками, лежащими на образующихАА’, ВВ’.

Чтобы найти эти точки, произведём следующее:

1. Определим положение этих образующих наП2;

2. Найдём точки пересечения этих образующих с2:42, 42’, 52, 52.

3. Находим горизонтальные проекции этих точек:41 и51 - вершинные точки, лежащие на очерковых образующих, и 41’ и (51), лежащие на промежуточных образующих.

4. Таким образом, видимость относительноП1 определится участком цилиндра от образующейАА’(А2А2’) доВВ’(В2В2’) черезСС’(С2С2’).

в) Для построения кривойв1 - эллипса найденных точек недостаточно, поэтому наП2 возьмем произвольно еще 3 пары точек:3(32, 32’),6(62, 62’) и7(72, 72’).

НаП1 точки31’, 61 и 61 будут видимые;

точки31 и71- невидимые,

точка71- видимая через отверстие сверху.

г) С учетом видимости наП1 соединим точки и получим кривуюв1

3. Там, гдев1d1 =А1,В1 причем точкаВ1 - невидимая.С помощью линий связи находим фронтальные проекции точекА22, причем, точкаВ2 - невидима.

4. Уточняем видимость прямойd наП1 иП2. Горизонтальная проекция прямойd1 до точкиА1 - видимая, внутри невидимая и будет видна только после очерковой цилиндра. Видимость фронтальной проекции прямойd : от точкиА2 до22 - не видна.

Задача №73

Построить проекции линии пересечения:

АВС DEF = MN (прямая) 2 ГПЗ, 3 алгоритм.

MN - прямая, для построения которой необходимо иметь две точки, поэтому возьмём две плоскости-посредника:Г2 иГ2, которые выгодно провести через две стороны любого из треугольников. ПроведёмГ(Г2) через сторонуDF(D2F2).

Алгоритм построения

1.Г АВС = 1,2 (прямая) 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

Г П2 12,22 = Г2

11, 21 АВС.

Там, где 11, 21 D1F1 = M1M2D2F2

Определили первую точкуМ(М12)

2. Нахождение второй точки N(N1, N2)

Г’(Г2’) = ЕF(E2F2);

Г’ АВС = 3,4 (прямая)

2 ГПЗ, 2 алгоритм

Г’ П2 32, 42 = Г2

3141 АBC.

Там, где31,41E1F1=N1N2E2F2

Линия пересечения фигурMN - построена. Следующий этап решения - видимость пересекающихся плоскостей. Возьмём фронтально конкурирующие точки1 и5 и определим видимостьD2M2. НаП1 точка51 расположена ближе точки11, следовательно,D2M2 - видимая, а также виднаE2N2

Для определения видимости наП1 отрезковЕ1N1 и скрещивающегося с нимА1С1 достаточно посмотреть наП2 по стрелкеЛ: прямаяЕ2N2 выше, чем прямаяА2С2, следовательно, отрезокЕ1N1, а также и отрезокD1М1 - видимые.

Задача №76

Построить проекции линии пересечения поверхностей вращения:= m,n.

Алгоритм построения

= m,n (2 плоские кривые-эллипсы) (по теореме Монжа)

АиВ - точки двойного соприкосновения.

1. Построение горизонтальной проекции эллипса –n1. НаП2 на линииn2 возьмем несколько точек и найдем их горизонтальные проекции по принадлежности конусу.

С учетом видимости соединим точки плавной кривойn1.

2. Построение горизонтальной проекции эллипса –m1. Возьмём наm2 несколько точек и найдем их горизонтальные проекции по принадлежности конусу. Соединяя их с учетом видимости,построимm1

Внимание! Построение эллипсов на конусе подробно описано в М3, стр. М3-10, М3-11.

Задача №78

Построить три проекции конуса с призматическим вырезом, на виде слева совместить половину вида с половиной разреза.

Модуль №4

Метрические задачи

Задачи в рабочей тетради на странице 37 графически решаются просто. Такие задачи приводятся для того, чтобы Вы обратили особое внимание на их решение, т.к. в дальнейших сложных (конструктивных) задачах эти решения будут определять "решающее положение оригинала" (Модуль 4, ст. 23).

Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами (Модуль 4, стр. 8)

К таким задачам относятся: задачи на определение расстояний от точки до прямой, до плоскости, до поверхности; между параллельными и скрещивающимися прямыми; между параллельными плоскостями и т. п.

Все эти задачи объединяют три обстоятельства:

во-первых, поскольку кратчайшим расстоянием между такими фигурами является перпендикуляр, то все они сводятся к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

во-вторых, в каждой из этих задач необходимо определять натуральную длину отрезка, то есть решать вторую основную метрическую задачу.

в-третьих, это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов, и на каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.

Задача №81

Определить расстояние между прямыми. Прямыеа ив занимают положение горизонтально проецирующих прямых

Расстояние между прямыми - это перпендикулярn(n1,n2).

n - горизонталь, т.к.а ив П1, ноn а ив, значитn П1.

Решающее положение для определения расстояния между параллельными прямыми.

Горизонтальная проекцияnn1 есть искомая величина, т.к. перпендикуляр занимает положение горизонтали.

Задача №82

Определить расстояние между прямыми. Прямыес иdпараллельны и занимают положение фронталей.

Расстояние между прямыми - это перпендикулярn(n1,n2).

Начинаем построение сn2 (теорема о проецировании прямого угла),n2с2,d2n1

Натуральной величины на чертеже нет, т.к.n(n1,n2) – прямая общего положения

Определяемn методом прямоугольного треугольника.

Задача №83

Определить расстояние между прямыми. Прямые:l - горизонтально проецирующая,m - общего положения.

Расстояние между прямыми - это перпендикулярn(n1,n2).

Т.к. l П1, то перпендикуляр к ней - есть горизонталь, и по теореме о проецировании прямого угла проводимn1m1,nm 1(11).

Решающее положение для определения расстояния между прямыми.

Горизонтальная проекцияnn1 есть искомая величина.

Задача №84

Определить расстояние от точки до прямой:

Расстояние между точкой и прямой - это перпендикулярn(n1,n2).

Решающее положение для определения расстояния между точкой и прямой.

Горизонтальная проекцияnn1 есть искомая величина, т.к. перпендикуляр занимает положение горизонтали (аналогично заданию №81)

Задача №85

Определить расстояние от точки до прямой

Расстояние между прямыми - это перпендикулярn(n1,n2).

Начинаем построение сn2,т.к.f П1,n2 f2 (теорема о проецировании прямого угла).

На чертеже нет натуральной величиныn, т.к.n(n1,n2) – прямая общего положения

Определяемn методом прямоугольного треугольника.

Просмотрите решенные задачи, назовите номера задач, в которых сразу получается "решающее положение", без дополнительных построений. Алгоритм решения написать самостоятельно (Модуль 4).

Задача №86

Построить сферу с центром в точкеО, касательную к прямойh.

Если найти точку касания сферы с прямойh(h1,h2) и соединить ее с центромО(О12), то этот отрезок определит радиусR(R1,R2) сферы. Кратчайшее расстояние определяется перпендикуляром, следовательно, проводимR h (R1 h1).

OK =R - прямая общего положения, поэтому наП1 иП2 радиус спроецировался с искажением

Методом прямоугольного треугольника определяем натуральную величинуR(ОК) О1К0.

Построить проекции сферы, замерив полученное значениеR(О1К0).

Задача №87

Через точкуМ провести прямуюn(h k)

Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости подробно рассмотрена в Модуле 4, стр. 2,3,4.

n n1 h1; n2 f2

- плоскость общего положения, но задана двумя параллельными горизонталями, поэтому сразу можно построить через точкуМ1n1,n1 h1.

В любом месте построитьf(f1,f2), принадлежащую плоскости, затем черезМ2n2 провестиn2 f2

Задача №88

Задачу решить самостоятельно, построив сначалаh и f, затемn1h1,n2f2

Задача №89

Определить расстояние от точкиМ до плоскости(h f).

Как уже отмечалось (М4 -8), это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов, и на каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.

В данном случае, эта графически сложная задача состоит из трех задач, которые встречались Вам раньше:

1) Из точкиМ построитьn (задания №87, 88);

2) Найти точку пересеченияn К(первая ГПЗ по 3 алгоритму);

3) - плоскость общего положения, следовательно,n - прямая общего положения (М4-2,3).

Методом прямоугольного треугольника найтиn (задания №82,85,86)

Из точкиМ провести перпендикуляр к плоскости: т.е.n1h1;n2f2

Построить точку пересеченияn К, 1 ГПЗ 3алгоритм.

Г - плоскость посредник,Г П2,n Г Г2 =n2

Г = 1,2 (прямая) 2 ГПЗ 2 алгоритм,

1121n1 К1, Кn К2.

МК - искомый отрезок.

МК - отрезок общего положения.МК = М2К0 - натуральная величина.

Задача №90

Определить расстояние от точкиМ до плоскости(2).

Если плоскость занимает проецирующее положение, то прямая, перпендикулярная ей, является линией уровня (М4-3).

Т.к. П2, тоn - фронтальn22;n1 линии связи.

Построитьh,f (задача №27)

Решающее положение для определения расстояния между точкой и плоскостью.

Построитьn1 h1,n2 f2

МК = М2К2 - натуральная величина расстояния от точки до плоскости.

Задача №91

Построить все множество точек, одинаково удаленных от точекА иВ.

Все множество точек, равноудаленных от двух точек (А иВ), это плоскость, например, (MND), проведенная через середину (точкаС АС = СВ) расстояния между ними, АВ

Соединим точкиА иВ, разделим пополам графически (циркулем).

Построим через точкуС плоскость(h f), h1 А1В1, f2 A2B2.

Задача №92

Определить расстояние от точкиВ до прямойа.

В этой задаче нужно построить перпендикуляр к прямой общего положения. (М4 - 4. Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения).

Этапы решения:

1) Из точкиВ построить(h f) а (задание №91);

2) Найти точку пересеченияа К (первая ГПЗ по 3 алгоритму) (задание №89);

3)а - прямая общего положения, следовательно,n (ВК) - прямая общего (М4-4) положения. Методом прямоугольного треугольника найтиВК (задания №82,85,86)

Построим плоскость(h f) а, причемh1 а1;f2a2.

Решить задачу:

а = К 1 ГПЗ, 3 алгоритм, см. задачу № 89.

ВК - отрезок общего положения.ВК = В1К0 - натуральная величина.

Задача №93

Через прямуюm провести плоскостьГ, перпендикулярную заданной плоскости.

Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них лежит прямая, перпендикулярная другой плоскости. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости (М4-5).

В плоскости построить в любом месте фронталь и горизонталь - h,f в)

ПостроитьГ, Г =mn = K. Через точкуК провестиnn1 h1, n2 f2.

Задача №95

Построить конус вращения, еслиS - его вершина, а точкаМ принадлежит основанию, расположенному в плоскости.

Чтобы решить задачу, сначала нужно построить ось вращения конусаi(i1i2) перпендикулярно основанию. Но основание принадлежит, значитi, но П1, то осьi - прямая уровня (См. задание №90), в данном случае - горизонталь. Следовательноi11;i2 линиям связиО1 иО2.

Провестиi точкаО. Полученное графическое решение соответствует графическому условию задачи №25, поэтому подробности дальнейшего решения не приводятся.

Метод введения новой плоскости проекций

Задача №100

Определить расстояние от точки до прямой.

Вы могли убедиться в графической сложности решения подобной задачи - № 92. Применение способов преобразования комплексного чертежа упрощает решение (М4 -23).

Такое положение оригинала относительно некоторой плоскости проекций, при котором по проекции можно непосредственно определить нужную метрическую характеристику, называется "решающим положением" оригинала.

Решающее положение для определения расстояния между точкой и прямой. Горизонтальная проекцияnn1 есть искомая величина, т.к. перпендикуляр занимает положение горизонтали в системеП1- П2.

Прямаяа занимает общее положение, чтобы добиться решающего положения, нужно решить первую и вторую задачи преобразования комплексного чертежа.

Решение первой задачи преобразования к.ч.

1) Фиксируем системуП1 –П2 проводим осьХ12

2) П2 П4,

П4П1,П4ax14a4

а(а4) - заняла положение прямой уровня в системеП1 – П4, при этом расстояниеКМ будет перпендикулярноа (К4М4 а4)n4

Решение второй задачи преобразования к.ч., т.е. поставить прямуюа в системеП4 –П5 в проецирующее положение.

П1 П5

П4 П5,П5a x45 a4

Закончить решение задачи - это значит построить проекции точкиК наП1 и наП2, т.е. сделать возврат отК5 К4 К1 К2. ПостроитьМК (прямая общего положения) в системеП1П2.

Задача №101

Определить расстояние между прямыми.

а в - прямые общего положения.

Чтобы решить задачу, т.е. добиться решающего положения, нужно решить первую и вторую задачу преобразования комплексного чертежа. Подробности см. М4-23 (рис. 4 - 52, 53)

Решающее положение для прямыха ив в системеП1 –П2.

Задача №102

Определить расстояние между прямыми.

c,d - скрещивающиеся прямые, занимают общее положение.

Чтобы решить задачу, т.е. добиться решающего положения, нужно решить первую и вторую задачу преобразования комплексного чертежа, т.е. одну из прямых поставить в проецирующее положение.

Решающее положение для прямыхс иdв системеП1 – П2, как в задаче №83

Решение первой задачи преобразования к.ч., чтобы прямая общего положенияd заняла положение прямой уровня в системеП1 – П4.

П2 П4

П1 П4,П4d x14 d1

Решение второй задачи преобразования к.ч., т.е. поставить прямую d в системе П -П в проецирующее положение.

П1 П5,

П4 П5, П5 dx45d4

КМ (К5М5 с5) - натуральная величина расстояния между скрещивающимися прямымис иd.

Возвращение точекК иМ наП1 иП2.

Кd, М с, М4К4d4, т.к.d4 - натуральная величинаd, далееКМ строится по линиям связи.

Задача №103

Определить угол наклона плоскости в) к плоскостиП2

Такие задачи требуют сложного графического решения, например: задачи № 22, 23, 24. Применение способов преобразования к.ч. значительно упрощает решение. В данной задаче достаточно решить третью задачу преобразования к.ч., заменитьП1 П4, т.е.П4 П2, Решающее положение: наП4плоскость(4) вырождается в прямую, угол междух244 = искомый.

Решить самостоятельно.

Задача №104

Определить расстояние от т. М до плоскости (АВС)

Расстояние от точки до плоскости - есть перпендикуляр (МК). Чтобы добиться решающего положения, необходимо решить третью задачу преобразования к. ч. (М4-16), при этом отрезокМК займет положение прямой уровня.

Решающее положение.

МеняемП2 наП4, П4 П1

П4; П4hx14h

М4К44,MK(M4K4) - натуральная величина расстояния от точкиМ до плоскости(АВС).

Проводимn1 h1, из точкиК4 проводим линию связи до пересечения сn1 К1.К2 находим черезП4(как показано на чертеже), можно через построениеf(f1,f2) АВСn2 f2.

Возвращение построенияК, т.е. отрезкаМК в системуП1 П2:К4 К1 К2.

Задача №105

Определить истинную величину двугранного угла.

Если две плоскости, напримерФ Г АВ, поворачивать до тех пор, пока они не займут проецирующего положения относительно какой - либо плоскости проекций, то угол между ними спроецируется без искажения, для этого нужно решить первую и вторую задачи преобразования комплексного чертежа.

Решающее положение в системеП1- П2

В данной задаче, чтобы обе плоскости оказались одновременно в проецирующем положении, нужно в проецирующее положение поставить прямуюАВ.

Решение первой задачи преобразования к.ч.,

чтобы прямая общего положенияАВ заняла положение прямой уровня в системеП1 – П4.

1) Осьх12 проведем через точкуВ2

2)П2 П4,

П1 П4; П4 АВx14A1B1

3) ТочкиС иD переносим наП4 аналогично т.А.

Решение второй задачи преобразования к.ч.,т.е. поставить прямуюАВ в системеП4 – П5 в проецирующее положение.

П1 П5

П4 П5; П5ABx45AB

Угол - истинная величина.

Задача №106

Построить все множество точек, равноудаленных от плоскости(h f) на 20 мм.

Множеством точек, равноудаленных от плоскости, будут две плоскости параллельные заданной. Построим только одну плоскостьФ, т.к. другая будет строиться идентично, по другую сторону от.

Решающее положение в системеП1 –П2.

П2 П4,

П1 П4; П4 hx14h1

n44= 20мм;4 Ф4

Для построения плоскостиФ наП1 – П2 достаточно построить:

n1h1; n2 f2 и вернуть только одну точку3 в системуП1 – П2

ЗадатьФ(h,f)h1h1,h2h2,f1f1,f2f2

Задача №107

Построить все множество точек, равноудаленных от трех заданных точек.

Все множество точек, равноудаленных от трех заданных, является перпендикуляр, восстановленный в центре описанной, вокругАВС, окружности. Центр окружности будут находиться на пересечении проведенных через середины сторон треугольникаАВС перпендикуляров. Решающее положение - истинная величина фигурыАВС, чтобы добиться такого положения, нужно решить третью и четвертую задачи преобразования к.ч.

ПлоскостьАВС - общего положения в системеП1 – П4 сделать проецирующей.

1) осьх12 проведем через точкуА2

2) МеняемП2 наП4,П4 П1

3) П4ABC; П4h x14 h1

В системеП4 – П5 плоскостьАВС станет плоскостью уровня:А5В5С5 - натуральная величина.

МеняемП1наП5

П5 П4; П5ABCx45A4B4C4

А5В5С5 - натуральная величинаАВС. СтороныАВС А5С5 иС5В5 разделить пополам (точкиM5, N5), на пересечении перпендикуляров их этих точек (M5, N5) отметить центр окружностиО5,О5 =n5 - проекция искомого перпендикуляра. Сначала построим проекцию перпендикуляра –n4 наП4 в точкеО4 по линиям связи,n4 А4В4С4, т.к. плоскостьА4В4С4 - проецирующая.

Задача №107

Возвращение перпендикуляраn в системуП1 – П2.

1 - способ:

Вернем точкуО по линиям связи наП1 иП2 О1 О2

Х14О1 = Х45О5;Х12О2 = Х14О4.

Через точкуО1 проведемn1 h1. Построимf (f1,f2) АВС, проведемn2 f2.

2 - способ:

На перпендикуляреn4 взять произвольно точкуК4 и построить ее по аналогии с точкойО:

Х14К1 = Х45К5; Х12К2 = Х14К4.

3-способ:

ТочкуО в системеП1 – П2 можно построить и через свойство принадлежности точки прямой данной плоскости:

О5 А515 А414 А111 А212

С помощью конкурирующих точек определим видимостьn1 иn2.

Задача №109

Построить проекции линии пересечения поверхности

конуса с плоскостью (АВС).

= в (плоская кривая) 2ГПЗ, 3 алгоритм, такая задача графически сложна; применяя

способы преобразования к.ч., упрощаем решение. Если плоскость (АВС) поставить в частное

положение, то можно перейти к решению данной задачи по 2 алгоритму.

Решающее положение в системеП1 –П2

ОсьХ12 проводим через основание конуса. ЗаменимП2 П4, П4П1

П4ABC; П4hx14h1

= в (плоская кривая) 2ГПЗ, 2 алгоритм.

4 - для построения достаточно и двух точек, например,А4 иВ4.

Способ решения: каждая точка строится сразу наП1 иП2.

ЗаменимП2 П4, П4 П1

П4ABC; П4hx14h1

Способ решения. Кривая простраивается по точкам сначала наП1 затем наП2

Система координатП4- П1:

ABC = в(эллипс)

2 ГПЗ, 2 алгоритм

ABC П4A4B4C4= в4

Построить в1(см. М-27)

Заключительным этапом будет построение фронтальной проекции кривойв2. Высоту каждой точки (аппликаты) берут наП4 и переносят наП2. Проекцию кривой в вычерчивают с учетом видимости.

Задача №110

Построить проекции линии пересечения поверхности тора с(h f).

Г = в (плоская кривая) 2ГПЗ, 3 алгоритм: такая задача графически сложна. Применяя способы преобразования к.ч., упрощаем решение. Если плоскость(h f) поставить в частное положение, то можно перейти к решению данной задачи по 2 алгоритму.

Решающее положение в системеП1 – П2

1) ОсьХ12 проходит через основание тора.

2) ЗаменимП2 П4, П4 П1

3)П4, П4hx14h1

Дальше решение продолжить самостоятельно (см. задачу №109), при решении размеры не проставлять.

Метод вращения вокруг проецирующей оси

Задача №115

На поверхности сферы построить точку, наиболее близко расположенную к точкеВ.

Для решения задачи применим метод вращения вокруг проецирующих осей.

ВО - прямая общего положения, на которой и находится точкаА, наиболее близко расположенная к точкеВ.

1. ПрямуюВО повернем так, чтобы она стала прямой уровня.

Ось вращенияi П2

В1’О1- натуральная величина.

Задача №116

Вращением вокруг осиi совместить точкуА с плоскостью(h f).

Задача №117

Определить натуральную величину сечения пирамиды плоскостьюГметодом вращения вокруг проецирующей оси.

Ось вращенияi П2.

Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия» Методические указания по решению задач в рабочей тетради на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Реферат НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

2. Реферат Начертательная геометрия. Сборник задач

3. Реферат МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ

4. Реферат Методические указания к лабораторным работам по курсу Информационные системы в бухгалтерском учете и аудите

5. Реферат Начертательная геометрия: шпаргалка

6. Реферат Курс лекций Начертательная геометрия

7. Реферат Начертательная геометрия. Сборник тестов

8. Реферат Основные подходы к разработке рабочей тетради как одного из средств обучения

9. Реферат Использование рабочей тетради по информатике для изучения раздела текстовых редакторов в школе

10. Реферат Аналитический подход к решению логистических задач