Новости

Электрическое поле и электрический ток. Магнитное поле

Работа добавлена:






Электрическое поле и электрический ток. Магнитное поле на http://mirrorref.ru

СОДЕРЖАНИЕ

1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

2

§1.1. Начальные сведения об электрическом поле

2

§1.2. Проводники и диэлектрики в электрическом поле.

8

2.ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.

12

§2.1. Электрическая цепь – основные понятия. Параметры электрической цепи.

12

§2.2. Электрическое сопротивление. Закон Ома для замкнутой цепи.

14

§2.3. Электрическая энергия. Мощность электрического тока.

17

§2.4. Режимы работы электрической цепи. Режимы работы источников тока.

18

§2.5. Потенциальная диаграмма. Законы Кирхгоффа.

22

§2.6. Соединения резисторов.

25

§2.7.Расчет электрических цепей постоянного тока.

29

§2.8.Анализ и расчет электрических цепей постоянного тока с нелинейными элементами.

40

Справочные материалы (Опорный конспект)

44

3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

48

§3.1. Параметры магнитного поля и их расчет.

48

§3.2. Магнитные цепи и их расчет.

55

§3.3. Электромагнитная индукция.

61

4.ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

67

§4.1.Линейные цепи переменного тока. Основные сведения.

67

§4.2.Источники электрической энергии синусоидального тока.

68

§4.3.Синусоидально изменяющийся ток.

72

§4.4. Индуктивность в цепи переменного синусоидального тока.

74

§4.5. Ёмкость в цепи переменного синусоидального тока.

76

§4.6.Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами.

81

5.ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ.

87

§5.1. Элементы трехфазной цепи.

87

§5.2.Способы соединения фаз генератора и токоприемника.

90

§5.3. Мощность трехфазной цепи, ее расчет и измерение.

96

Использованная литература.

99

1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

§1.1. Начальные сведения об электрическом поле

В состав атома любого вещества входят элементарные частицы, часть которых обладает электрическим зарядом. Протоны, сосредоточенные в ядре атома, и электроны, вращающиеся по определенным орбитам вокруг ядра, в электрически нейтральном атоме имеют равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку заряды.Протон имеет положительный, а электрон – отрицательный заряд. Если в силу каких-либо причин атом потеряет один или несколько электронов, то в нем нарушится равенство зарядов и такой атом становится положительным ионом, так как в нем преобладает положительный заряд протонов ядра. Если атом приобретает один или несколько электронов, то он становится отрицательным, так как в нем преобладает отрицательный заряд электронов.

Материя (твердое тело, жидкость, газ) считается электрически нейтральной, если количество положительных и отрицательных зарядов в ней одинаковое. Если же в ней преобладают положительные или отрицательные заряды, то она считается соответственно положительно или отрицательно заряженной.

В пространстве вокруг заряженного тела создается электрическое поле. Обнаружить электрическое поле можно пробным зарядом. Пробным называется заряд, внесение которого в исследуемое поле не приводит к перераспределению сил в нем. Каждая точка электрического поля характеризуется напряженностью.

Если в точкуАэлектрического поля (рис. 1.1), созданного зарядом , внести пробный зарядq,то на него будет действовать силаF.

Если зарядыиqимеют одинаковые знаки, то они отталкиваются, а если разные, то притягиваются.

Величина силыF,действующей на пробный зарядq,помещенный в точкуАэлектрического поля, прямо пропорциональна величине зарядаqи интенсивности электрического поля, созданного зарядом в точкеА,

FА-q,(1.1)

Рис. 1.1

гдеЕАнапряженность электрического поля, характеризующая интенсивность поля в точкеА.

Из (1.1) видно, что

(1.2)

т. е.напряженность каждой точки электрического поля характеризуется силой, с которой поле действует на единицу заряда, помещенного в эту точку.

Напряженность является силовой характеристикой каждой точки электрического поля. Измеряется напряженность электрического поля в вольтах на метр, т. е. |Е|=В/м.

Напряженность электрического поля - векторная величина. Направление вектора напряженности в любой точке электрического поля совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд, помещенный в эту точку поля (как показано на рис. 1.1).

Для наглядности электрическое поле изображают электрическими линиями, которые иногда называют линиями напряженности или силовыми линиями. Электрические линии направлены от положительного заряда к отрицательному. Электрическая линия проводится так, чтобы вектор напряженности поля в данной точке являлся касательной к ней в этой же точке (рис. 1.2).

Электрическое поле называется однородным, если напряженность его во всех точках одинакова по величине и направлению. Однородное поле изображается параллельными, расположенными на одинаковом расстоянии друг от друга электрическими линиями.

Однородное поле, например, существует между пластинами плоского конденсатора (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Точечным считается заряд, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием, на котором рассматривается его действие.

Сила взаимодействияFдвух точечных зарядовиq(см. рис. 1.1) определяется позакону Кулона:

,                                             (1.3)

гдеr – расстояние между зарядами;  – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, в которой взаимодействуют заряды.

Из (1.3) видно, что напряженность электрического поля заряда в точкеА(см. рис. 1.1) равна:

                                        (1.4)

Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума (Ф/м) называется электрической постоянной.

 или                                   (1.5)

Абсолютную диэлектрическую проницаемость любой средыудобно выражать через электрическую постояннуюо и диэлектрическую проницаемостьтабличная величина.

Диэлектрическая проницаемость,которую иногда называют относительной, показывает, во сколько раз абсолютная диэлектрическая проницаемость среды больше, чем электрическая постоянная, т. е.

.                                                (1.6)

Из (1.6) следует:

                                                  (1.7)

Следовательно,напряженность электрического поля, созданного зарядомQна расстояниеr от него, определяется выражением:

                                             (1.8)

Напряженность электрического поля, созданного несколькими зарядами в какой-либо точкеАэтого поля, определяется геометрической суммой напряженностей, созданных в этой точке каждым точечным зарядом, т. е.

Пример 1.1.Расстояние точечными зарядамии , равноr=5см. Вычислить величину напряженности в точкеА,удаленной от заряда , на расстояние , а от зарядаQна расстояние  (рис 1.3), если: Кл;=Кл;

r1= 4 см = м;r2= 3 см = м; .

Рис. 1.3

Решение.       Напряженность созданная зарядом в точкеA:

В/м.

Напряженность, созданная зарядомQ2 в точкеA:

В/м.

Направление векторов напряженности, созданных зарядами)и ,и результирующего вектора напряженности в точкеА (ЕА)изображены на рис. 1.3.

Между векторами напряженности в данном примере угол равен 90°(т.е.5= справедливо только для прямоугольного треугольника), следовательно, результирующий вектор напряженности в точкеАопределяется выражением:

В/м.

Теорема Гаусса.Произведение напряженности электрического поляЕи площадкиS, перпендикулярной к ней, в однородном электрическом поле называют потоком вектора напряженности поляNсквозь эту площадку (рис. 1.4):

гденормальная (перпендикулярная) составляющая вектора напряженности Е электрического поля. Как следует из рис. 1.4, а:

Единица измеренияпотока вектора напряженности:

а)б)

Рис. 1.4

Для неоднородного электрического поля площадкуS разбивают на элементарные, бесконечно малые площадки , для каждой из которых поле можно считать однородным. Тогда элементарный поток=.

Для определения потока вектора напряженности сквозь всю площадкуS элементарные потоки  суммируют (интегрируют) по всей площадиS:

.                                        (1.10)

Если, например, точечный зарядQрасположен в центре сферической (шаровой) поверхности радиусом  (рис. 1.4, б), то напряженность во всех точках этой поверхности (1.8) равна:

и вектора напряженности перпендикулярны этой поверхности, т. е.Ея=Е, иодинаковы во всех точках этой поверхности. Тогда поток вектора напряженности поля сквозь эту поверхность:

,

где - площадь шаровой поверхности радиусом.

Следовательно, поток вектора напряженности:

,(1.11)

т. е. поток вектора напряженностиNне зависит ни от формы поверхности, ни от места расположения зарядов внутри нее.

Таким образом,поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность определяется отношением суммы зарядов, расположенных внутри этой поверхности к абсолютной диэлектрической проницаемости среды()

Формула (1.11) является математическим выражением теоремы Гаусса, которая нашла применение для расчета электрического поля.

Потенциал и напряжение в электрическом поле. Для энергетической характеристики каждой точки электрического поля вводится понятие «потенциал».

Потенциал в каждой точке электрического поля характеризуется энергиейW, которая затрачивается (или может быть затрачена) полем на перемещение единицы положительного заряда  из данной точки за пределы поля (если поле создано положительным зарядом) или из-за пределов поля в данную точку (если поле создано отрицательным зарядом)т. е. (рис. 1.5):

;  ;  .

Измеряется потенциал в Вольтах (В).

Величина потенциала в каждой точке электрического поля определяется выражением:

.                                           (1.12)

Так как (рис. 1.5),то из (1.12) следует, что— если поле создано положительным зарядом.

Потенциалне векторная величина. Если электрическое поле создано несколькими зарядами, то потенциал в каждой точке такого поля определяется алгебраической суммой потенциалов, созданных в этой точке каждым зарядом.

Если в точкуА(см. рис. 1.5) электрического поля поместить положительный заряд,то под действием сил поля он будет перемещаться из точкиАв точкуВ,а затем в точкуС –в направлении поля, т. е. положительный пробный заряд перемещается из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом. Между двумя точками с равными потенциалами заряд перемещаться не будет. Следовательно, для перемещения заряда между двумя точками электрического поля должна быть разность потенциалов этих точек.

Разность потенциалов двух точек электрического поля характеризует напряжениеU между этими точками, т. е. ; ; .

Напряжение между двумя точками электрического поля характеризуется энергией, затраченной на перемещение единицы положительного заряда между этими точками,т. е

                                               (1.13)

Измеряется напряжение в Вольтах (В).

Рис. 1.5Рис. 1.6

Между напряжением и напряженностью в однородном электрическом поле (рис. 1.6) существует зависимость:

,

откуда

.                                               (1.14)

Из (1.14) видно, что напряженность однородного электрического поля определяется отношением напряжения между двумя точками поля к расстоянию между этими точками.

Пример 1.2. Точечный зарядКлпомещен в центре плоского воздушного конденсатора, расстояние между пластинами которого равно 4,5 см. Напряжение между пластинамиU =225В. Определить напряженностьЕэлектрического поля в точках, находящихся на расстоянии + 0,5 см от зарядаQи лежащих на электрической линии, проходящей через зарядQ(рис. 1.7).

Рис. 1.7

Решение.Напряженность однородного электрического поля между пластинами конденсатора:

B/м.

Напряженности, созданные зарядомQв точкахАиB:

B/м.

Напряженности, созданные в точкахАи Воднородным электрическим полем конденсатора и зарядомQ, определяются геометрической суммой векторов напряженностейиЕ'.

В точкеВвекторы напряженностей  иЕ' совпадают по направлению, а в точкеА векторы  и Е'   направлены в разные стороны. Следовательно:

B/м.

B/м.

Конденсатор. Электрическая емкость

Заряд проводника пропорционален его потенциалу:

q = C ·j                                                   (1.15)

Коэффициент пропорциональностиС называетсяэлектрической емкостью или простоемкостью проводника:

C = q /j .                                                (1.16)

Конденсатор представляет собой два разноименно заряженных проводящих тела (обкладки), находящихся на небольшом расстоянии друг от друга. Подзарядом конденсатора понимается заряд, расположенный на одной из внутренних, обращенных друг к другу, поверхностей этих обкладок. Заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку.

Емкость конденсатора равна отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:

C = q / U.                                                 (1.17)

Емкость не зависит от заряда конденсатора и определяется его формой и размерами. По форме проводящих поверхностей различают плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы.

Емкостьплоского конденсатора:

C =e0 ·e·S / d,                                        (1.16)

гдеS – площадь поверхности одной пластины;

d – расстояние между пластинами;

e – диэлектрическая проницаемость материала, находящегося между обкладками;e0 = 8.854· 10 -12 Ф/м – электрическая постоянная.

Емкость цилиндрического конденсатора и коаксиального кабеля:

C = 2p ·e ·e0·l / ln(b/a),

гдеb иa – радиусы внешнего и внутреннего цилиндров;

l – длина конденсатора.

Емкость сферического конденсатора:

C = 4p ·e ·e0 / (1/a – 1/b),

гдеb иa – радиусы внешней и внутренней сфер.

§1.2. Проводники и диэлектрики в электрическом поле.

Способность вещества пропускать электрический ток характеризует электропроводность данного вещества.

По электропроводности все вещества делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники.

Проводники.Проводники обладают высокой электропроводностью.Различают проводники первого и второго рода.

К проводникам первого рода относятся все металлы, некоторые сплавы и уголь. В этих проводниках связь между электронами и ядром атома слаба, в результате чего электроны легко покидают пределы атома и становятся свободными. Направленное перемещение свободных электронов и обусловливает электропроводность проводников первого рода, т. е. проводники первого рода обладают электронной проводимостью.

К проводникам второго рода относятся электролиты, в которых под действием электролитической диссоциации происходит разделение молекул на положительные и отрицательные ионы (ионизация). Направленное перемещение этих ионов и обусловливает электропроводность проводников второго рода, т. е. в проводниках второго рода имеет место ионная проводимость.

В проводниках отсутствует электростатическое поле. Электростатическим называется поле неподвижных зарядов. Если проводник поместить в электростатическое поле, то под действием сил этого поля происходит разделение зарядов в проводнике (положительных в направлении внешнего поля, а отрицательных – в противоположном направлении, рис. 1.8,а).Такое разделение зарядов в проводнике под действием внешнего поля называется электростатической индукцией. Разделенные внутри проводника заряды создают свое электрическое поле, направленное от положительных зарядов к отрицательным, т. е. против внешнего поля (рис. 1.8, а).

Очевидно разделение зарядов в проводнике прекратится тогда, когда напряженность поля разделенных зарядов (Евнутр) станет равной напряженности внешнего поля в проводникевнешн),т. е.Евнутрвнешн.Таким образом результирующее поле внутри проводника станет равным нулю (рис. 1.8,б).На этом принципе работает электростатический экран.

а              б

Рис. 1.8

Диэлектрики.Электропроводность диэлектриков практически равна нулю в силу весьма сильной связи между электронами и ядром атомов диэлектрика.

Если диэлектрик поместить в электростатическое поле, то в нем произойдет поляризация атомов, т. е. смещение разноименных зарядов в атоме (но не разделение их, рис. 1.9). Поляризованный атом (молекула) может рассматриваться как диполь.

Поляризованные атомы создают свое электрическое поле, напряженность которогоЕвнутр  направлена против внешнего поля. В результате поляризации результирующее поле внутри диэлектрикавнутрЕвнешн) ослабляется.

Интенсивность поляризации диэлектрика зависит от его диэлектрической проницаемостие,(Приложение 2). Чем больше диэлектрическая проницаемость, тем интенсивней поляризация в диэлектрике и тем слабее электрическое поле в нем:

E = ЕвнутрЕвнешн

Этим еще раз подтверждается справедливость формулы:

.

Если диэлектрик поместить в сильное электрическое поле, напряженность которого можно увеличивать, то при какой-то напряженности произойдет пробой диэлектрика, при котором электроны отрываются от атома, т. е. происходит ионизация диэлектрика. Таким образом диэлектрик становится проводником.

Напряженность внешнего поля, при которой происходит пробой диэлектрика, называетсяпробивной напряженностью» Епp. А напряжение, при котором происходит  пробои диэлектрика, называютпробивным напряжением илиэлектрической прочностью диэлектрика

Рис. 1.9

Епp=Uпp/d,

гдеUпp – пробивное напряжение, т. е. напряжение, при котором происходит пробой диэлектрика;dтолщина диэлектрика.

Напряженность электрического поля, которая допускается в диэлектрике при использовании его в электрических установках, называетсядопустимой напряженностью.Допустимая напряженность должна быть в несколько раз меньше электрической прочности. Электрическая прочность некоторых диэлектриков приведена в таблице.

Полупроводники.К полупроводникам относятся материалы, которые по своим электрическим свойствам занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками.

Широкое применение в полупроводниковой технике получили германий, кремний, селен, окислы металлов, соединения металлов с серой (карбид кремния, сульфид кадмия и др.).

Электропроводность и концентрация носителей зарядов в них зависит от температуры, освещенности, примесей и др.

Кроме электронной проводимости полупроводники обладают еще и так называемой дырочной электропроводностью. Дырочная проводимость вызвана перемещением «дырок» под действием электрического поля. Дырки образуются за счет перемещения от атома к атому валентных электронов, т. е. электронов, находящихся на внешних орбитах атома, которые легко становятся «свободными». При освобождении электрона с орбиты возникает как бы свободное место, обладающее элементарным положительным зарядом, равным по абсолютной величине заряду электрона. Такое освободившееся место условно назвали «дыркой».

Если на полупроводник действует электрическое поле, движение дырок и электронов становится упорядоченным и в полупроводнике возникает электрический ток.

Односторонняя проводимость, малые габариты, работа в любом положении и другие свойства полупроводников используются в разнообразных приборах и устройствах (выпрямители, усилители и др.). Полупроводники являются основным «строительным» материалом современных диодов, транзисторов, микропроцессоров и другой электронной техники.

Вопросы для самопроверки

  1. Чем отличается заряженное тело от незаряженного?
  2. Чем создается и чем характеризуется электрическое поле?
  3. Что такое напряженность, как направлен вектор напряженности и чему равна величина напряженности в каждой точке?
  4. Что такое потенциал и напряжение электрического поля и каково соотношение между напряженностью и напряжением?
  5. Что такое электропроводность и чем характеризуется электропроводность проводников, диэлектриков и полупроводников?
  6. Охарактеризуйте электропроводность проводников первого и второго рода.
  7. Охарактеризуйте электропроводность диэлектриков.
  8. Как ведут себя проводники и диэлектрики в электрическом поле?
  9. Что такое поляризация диэлектрика и от чего зависит ее интенсивность?
  10. Что такое пробой и электрическая прочность диэлектрика?
  11. Охарактеризуйте электропроводность полупроводников.

2.ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.

§2.1. Электрическая цепь – основные понятия. Параметры электрической цепи.

Электрическая цепь состоит из трех основных элементов: источника, потребителя (приемника) и проводников.

В источнике электрической энергии механическая, тепловая или другие виды энергии преобразуются в электрическую энергию. В потребителях происходит преобразование электрической энергии в световую, тепловую или другие виды энергии.

Проводники осуществляют электрическую связь потребителей с источником.

Кроме основных в электрической цепи могут быть вспомогательные элементы: предохранители, выключатели, электроизмерительные приборы и др.

Графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов, называетсясхемой электрической цепи.Все основные и вспомогательные элементы в схемах электрических цепей имеют условные графические обозначения. Схема электрической цепи показана на рис. 1.1.

В электрической цепи различают два участка: внутренний и внешний. Источник является внутренним участком электрической цепи. Все остальные элементы относятся к внешнему участку электрической цепи.

Источник электрической энергии осуществляет направленное перемещение электрических зарядов по всей замкнутой цепи.

Рис. 2.1.

Энергия, которую затрачивает или может затратить источник на перемещение единицы положительного заряда по всей замкнутой цепи, характеризует электродвижущую силу источнике (ЭДС),т. е.

.

Энергия, затраченная на перемещение единицы положительного заряда на каком-либо участке замкнутой цепи, характеризует напряжение или падение напряжения на этом участке (внутреннем или внешнем)

/.

Для замкнутой электрической цепи условие равновесия напряжений (ЭДС):

.                                             (2.1)

Таким образом, ЭДС источника(Е)можно рассматривать сумму падений напряжения на внутреннем (U0) и на внешнем (U) участках замкнутой цепи.

Электрический ток проводимости –это явление упорядоченного (направленного) перемещения заряженных частиц в проводнике под действием электрического поля.

Способность вещества проводить электрический ток характеризует электропроводность этого вещества.

Электрический ток может существовать только в замкнутой, электрической цепи.

Интенсивность направленного перемещения зарядов характеризует величину тока (ток). Величина тока измеряется количеством электричества, проходящего через поперечное сечение проводника в единицу времени, т. е.

,                                                         (2.2)

гдеIвеличина тока;tвремя.

Измеряется ток в Амперах (А).

Принято направление тока в замкнутой электрической цепи от положительной клеммы источника к его отрицательной клеммепо внешней цепи, т. е. направление, противоположное движении электронов (см. рис.2.1.).

Величина тока на всех участках неразветвленной электричек кой цепи имеет одинаковое значение.

Отношение величины тока в проводнике (I) к площади поперечного сечения этого проводника (S) характеризуетплотность тока (j)(А/мм2) в этом проводнике:

.                                                       (2.3)

Плотность тока определяет способность проводника определенного сечения выдерживать ту или иную токовую нагрузку Очевидно, плотность тока в проводнике пропорциональна напряженности однородного электрического поля, силы которого направленно перемещают заряды в этом проводнике, т. е.

,                                                      (2.4)

гдекоэффициент пропорциональности, характеризующий способность данного проводника проводить электрический ток называетсяудельной проводимостью данного проводника.

Напряженность однородного электрического поляЕв проводнике длинойl, к которому приложено напряжениеU,определяется выражением (1.10). На основании (1.10), (1.11) и (2.4) получаем:

   или(2.5)

Знаменатель этого выражения представляет собой электрическое сопротивление проводникаR, т. е.

.                                                        (2.6)

Тогда

                                                         (2.7)

Выражение (2.7) представляет собой закон Ома для участка цепи.По закону Оматок (I) на данном участке электрической цепи прямо пропорционален напряжению (U), приложенному к данному участку, и обратно пропорционален сопротивлению данного участка (R).

Закон Ома позволяет определить напряжение на каком-либо участке цепи

U=I/R(2.8)

и вычислить сопротивление данного участка

.                                                          (2.9)

§2.2. Электрическое сопротивление. Закон Ома для замкнутой цепи.

Электрическое сопротивление проводника (R) представляет противодействие, которое атомы и молекулы проводника оказывают направленному перемещению зарядов в нем при столкновении;оно зависит от длины проводника (l), площади поперечного сечения (S) и материала проводника (2.6):

,                                                        (2.10)

гдеρ =  —удельное сопротивление проводника, характеризуетсвойство материала проводника.

Измеряется сопротивление в Омах (Ом).

Удельное сопротивление –это сопротивление проводника и: данного материала длиной 1 м, площадью поперечного сечения 1 мм2 при температуре + 20° С. Удельное сопротивление проводника определяет его применение.

Величину, обратную сопротивлению, называютпроводимостью:

.                                                     (2.11)

Элементы электрической цепи, характеризующиеся сопротивлением (R), называютрезистивными,а промышленные изделия, предназначенные для выполнения роли сопротивления электрическому току, называютсярезисторами.Резисторы бывают регулируемые и нерегулируемые, проволочные и непроволочные, пленочные, композиционные и т. д.

Сопротивление проводников зависит от температуры:

,                                  (2.12)

гдеR2сопротивление проводника при конечной температуре ;

сопротивление проводника при начальной температуре ;

αтемпературный коэффициент сопротивления, определяющий относительное изменение сопротивления из данного материала при изменении температуры на .

Для различных проводников температурный коэффициент противления (α) имеет различное значение. Температурный коэффициент сопротивления проводника определяет его применение.

Для металлических проводников температурный коэффициент сопротивления (α) положителен, т. е. с увеличением температуры их сопротивление увеличивается (увеличивается подвижность атомов и молекул, обуславливающих увеличение сопротивления). А сопротивление таких сплавов, как константан, манганин, почти не изменяется с изменением температуры ( очень маленький).

Для проводников второго рода (электролитов) и угля температурный коэффициент сопротивления (α) отрицателен, т. е. с увеличением температуры их сопротивления уменьшается (увеличивается ионизация и увеличивается проводимость). Для большинства электролитов α = 0,002 С-1. Для угля α = 0,0005 С-1

Для замкнутой электрической цепи (рис. 2.2.) ЭДС источника, согласно (2.1), можно определить выражением

,                                (2.13)

гдеR0 – сопротивление источника;R – сопротивление потребителя.

Из (2.13) видно, что ток в замкнутой цепи равен

,                                                    (2.14)

Рис. 2.2.

Выражение представляет собой закон Ома для замкнутой цепи.

Из выражения (2.14) можно определить напряжение на внешнем участке цепи, т. е. напряжение на клеммах источника(U)между точкамиАи В(см. рис. 2.2.)

.                                     (2.15)

Из (1.14) следует, чтонапряжение на клеммах источникаэлектрической энергии (U) меньше, чем ЭДС источника (Е) навеличину падения напряжения на внутреннем сопротивлении этогоисточника(IR0).

Отсутствие нагрузки, т. е. ключ (К) разомкнут, соответствует режиму холостого хода. При холостом ходеIR0= 0. Вольтметр, подключенный к клеммам источникаАиВпри отсутствии нагрузки (ток равен нулю), показывает ЭДС источника (Е).Если же ключ (К) замкнут (I0), то вольтметр, подключенный к клеммам источникаАи В(рис.2.2.), покажет напряжение (U)на клеммах этого источника, которое меньше чем ЭДС на величинуU0=IR0

Из (2.2.5) следует, что с увеличением нагрузки, т. е. с увеличением тока (I)напряжение на клеммах источника уменьшается, что можно показать на внешней характеристике источника (рис. 3).

Рис. 2.3.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называют удельным сопротивление проводника?
  2. Как зависит сопротивление проводника от его длины?
  3. По какой формуле можно рассчитать удельное сопротивление проводника?
  4. В каких единицах измеряется удельное сопротивление проводника?
  5. Как формулируется закон Ома для участка цепи?
  6. Какими формулами определяются зависимости между током и напряжением в цепи постоянного тока.
  7. Дайте определение вольт – амперной характеристике.
  8. Изобразите вольт – амперной характеристику закона Ома для участка цепи.
  9. Как формулируется закон Ома для замкнутой цепи?
  10. Изобразите вольт – амперной характеристику закона Ома для замкнутой цепи.

§2.3. Электрическая энергия. Мощность электрического тока.

Как указывалось выше, энергия, затраченная источником (WИСТ) на перемещение заряда (q) по всей замкнутой цепи (см.рис. 2.), равна:

.(2.16)

Эта энергия расходуется на потребителе (полезная энергия):

(2.17)

и на внутреннем сопротивлении источника (потери):

,                                                   (2.18)

По закону сохранения энергии можно записать:

.                                                 (2.19)

В элементах электрической цепи происходит преобразование одного вида энергии в другой. Скорость такого преобразования энергии определяетэлектрическую мощность(Р)

.                                                     (2.20)

Измеряется мощность в Ваттах (Вт), а энергия в Вт • с. Мощность источника электрической энергии

                                                   (2.21)

Мощность потребителя или полезная мощность (с использованием закона Ома)

                                       (2.22)

Потери мощности на внутреннем сопротивлении источника

                                            (2.23)

Для любой замкнутой цепи должен сохраняться баланс мощностей:

                                                  (2.24)

Коэффициент полезного действия (КПД) цепи определяется отношением полезной мощности (мощности потребителя) ко всей затраченной мощности (мощности источника)

(2.25)

Ток (I),протекая по проводнику с сопротивлением (R), нагревает этот проводник. За времяtв этом проводнике выделяется тепло, количество которого определяется электрической энергией, выделенной в этом проводнике, т. е.

(2.26)

гдеQ – количество тепла.

Приведенная зависимость (2.3.11) является математическим выражениемзакона Джоуля – Ленца.

Преобразование электрической энергии в тепловую широкого используется в промышленности. Однако иногда тепловые потеривызывают непроизводительные расходы энергии в электрическихмашинах, трансформаторах и других элементах электрической цепи и снижают их КПД().

Вопросы для самопроверки

  1. Что называют мощностью электрического тока?
  2. В каких единицах измеряется электрическая мощность?
  3. По какой формуле мощностью электрического тока?
  4. В каких единицах измеряется величина электрической энергии?
  5. Какими формулами определяется величина электрической энергии?
  6. Какими формулами определяются зависимости между током и напряжением в цепи постоянного тока.
  7. Отчего зависит нагревание проводника при протекании тока?
  8. Как формулируется закон Джоуля – Ленца?
  9. Какими формулами определяются зависимости закона Джоуля – Ленца.
  10. Дайте определение коэффициента полезного действия.
  11. Отчего зависит коэффициента полезного действия цепи при протекании тока?
  12. По каким формулам рассчитывают коэффициент полезного действия.

§2.4. Режимы работы электрической цепи. Режимы работы источников тока.

Параметры, характеризующие работу электрической цепи (см. рис. 2.3.) в различных режимах, определяются выражениями (2.13), (2.14) и (2.15).

Ток в замкнутой цепи:

Напряжение на клеммах источника:U=Е –IR0.

Падение напряжения на сопротивлении источника:U0=IR0.

Полезная мощность, т. е. мощность потребителя

Исследуем изменение этих величин при изменении сопротивления (R) от бесконечности (режим холостого хода) до нуля (режим короткого замыкания).

1. В режиме холостого хода (ключК разомкнут)

R= ,I= 0;U = Е;U0 = 0 и Р = 0.

2. В режиме короткого замыканияR= 0

Как видно, полезная мощность (Р) при холостом ходе и коротком замыкании равна нулю. Следовательно, при каком-то значении сопротивления (R) она имеет максимальное значение.

Максимальное значение полезная мощность имеет тогда, когда сопротивление потребителя (R) станет равным внутреннему сопротивлению источника(R0),т. е.R =R0.Это и есть условие максимальной отдачи мощности источником.При максимальной отдаче мощности ток в цепи:

а коэффициент полезного действия

(так как ).

К 100% КПД цепи приближается в режиме, близком к холостому ходу.

Изменение напряжений и полезной мощности от нагрузки (токаI)можно иллюстрировать графиком (рис. 2.4).

Рис. 2.4.

Режим короткого замыкания в электрических установках нежелателен, так как он приводит к большому току (больше номинального), т. е. к резкому увеличению выделения тепла и порче установки.

Нормальным (рабочим)называется режим работы цепи, при котором ток, напряжение и мощность не превышают номинальных значений, т. е. значений, на которые источник и приемники энергии рассчитаны заводом – изготовителем.

Пример 1.К источнику электрической энергии с ЭДСЕ = 30 Ви внутренним сопротивлениемR0 = 1Ом подключен резистор (R) сопротивление которого можно изменять (см. рис. 2.2.2). Определить ток цепи(I),напряжение на клеммах источника (U), мощность потребителя (Р), мощность источникаИСТ)и КПД цепи () при следующих значениях сопротивлений резистора:R= 0,5 Ом; 1Oм; 2 Ом.

Решение. 1. При сопротивлении резистораR= 0,5 Ом:

2. При сопротивлении резистораR=1 Ом (R=R0 – максимальная отдача мощности);

3. При сопротивлении резистораR=2Ом:

В электрической цепи различают активные и пассивные элементы (участки). Активными считаются элементы, в которых преобразование энергии сопровождается возникновением ЭДС (аккумуляторы, генераторы). Пассивными считаются элементы (сопротивления), в которых ЭДС не возникает.

Величина тока в неразветвленной электрической цепи с несколькими источниками (рис. 2.2.5) определяется отношением алгебраической суммы ЭДС всех источников к полному сопротивлению цепи, т. е.

                                                    (2.27)

Для определения знаков ЭДС в алгебраической сумме условно задаются направлением обхода контура: по часовой или против часовой стрелки. ЭДС источника, направление которой совпадает с выбранным направлением обхода, учитывают со знаком « + ». ЭДС источника, направление которой не совпадает с выбранным направлением обхода со знаком « – ».

Например, (см. рис. 2.5) направление обхода выбрано но часовой стрелке, тогда:

.

Если в результате подсчета величина тока получится со знаком «+», то его направление совпадает с выбранным направлением обхода, если же со знаком «–», то направление тока цепи противоположно выбранному направлению обхода.

Определив таким образом величину и направление тока в цепи, можно заключить, что направление ЭДС источников не всегда совпадает с направлением тока.

Источники, ЭДС которых совпадает с направлением тока, работают в режиме генератора. Источники, ЭДС которых не совпадает с направлением тока, работают в режиме потребителя. Если, допустим, в результате расчета цепи, показанной на рис.5., окажется, что ток совпадает с выбранным направлением обхода по часовой стрелке, то источники с ЭДСЕ1иЕ3будут работать в режиме генератора, аЕ2иЕ4 – в режиме потребителя.

Рис. 2.5.

Напряжение на зажимах источника, работающего в режиме потребителя, больше, чем ЭДС самого источника на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении этого источника, т. е.

.                                          (2.28)

А напряжение на клеммах источника, работающего в режиме генератора (как было доказано выше), меньше, чем ЭДС источника на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении этого источника, т. е.

                                                 (2.29)

Таким образом, напряжение на любом участке цепи рис. 5. (показаны 4 участка АБ, БВ, ВГ, ГА) может быть определено следующим образом:

,                                           (2.30)

ГдеU – напряжение на участке между точкой с положительным потенциалом и точкой с отрицательным потенциалом;R – полное сопротивление участка.

В выражении (2.4.4.) знак « + » ставят для участка, на котором источник работает в режиме потребителя, а знак « – » для участка, на котором источник работает в режиме генератора.

При изучении и расчете некоторых цепей необходимо определить потенциалы отдельных точек электрической цепи и построить потенциальную диаграмму. Для этой цели можно воспользоваться выражением (2.4.4.). На участкеАБ(рис. 2.5.) точкаБимеет положительный потенциал,а точкаА –отрицательный потенциал , поэтому

,

так как источник работает в режиме генератора, т. е.

.

На участкеБВточкаБимеет положительный потенциал  а точкаВ –отрицательный,поэтому

,

так как источник2)работает в режиме потребителя, т. е.

.

Таким образом, потенциал точкиГможно записать:

– если обходить цепь по току, или

– если обходить цепь против тока.

Отсюда можно сделать следующий вывод:если обходить цепь по направлению тока, то потенциал в каждой точке определяется потенциалом предыдущей точки плюс ЭДС источника, работающего в режиме генератора, минус ЭДС источника, работающеговрежиме потребителя, и минус падение напряжения на участке между этими точками цепи. Если же обходить контур против тока, то знаки перед ЭДС и падением напряжения изменяются напротивоположные.

Как видим, этот вывод особенно удобно применять в тех случаях, когда в цепи имеются участки с несколькими источниками.

Вопросы для самопроверки

1. Назовите элементы электрической цепи и энергетические процессы, происходящие в основных элементах цепи.

2. Что такое ток, плотность тока, ЭДС в напряжение в электрической цепи?

3. Запишите математическое выражение закона Ома для участка цепи и замкнутой цепи и их производные.

4. Запишите зависимость электрического сопротивления от длины, сечения проводника и температуры.

5. Проанализируйте закон сохранения энергии для замкнутой электрической цепи и уравнение баланса мощностей для нее.

6.Охарактеризуйте режимы работы электрической цепи: холостой ход; короткое замыкание; режим максимальной отдачи мощности источником.

7. Дайте характеристику источников электрической энергии и потребителей Вашего предприятия (цеха, участка).

8. Какие защитные элементы (от короткого замыкания) используются в Вашем цехе, Вашей квартире?

9. Чем опасен режим короткого замыкания?

10. Охарактеризуйте активные и пассивные элементы электрической цепи.

§2.5. Потенциальная диаграмма. Законы Кирхгоффа.

Потенциальная диаграмма представляет собой график изменения потенциалов точек цепи от величины сопротивлений участков между этими точками. Для построения потенциальной диаграммы одну из точек электрической цепи условно заземляют (потенциал ее принимают равным нулю), а потенциал остальных точек равен напряжению между этими точками и заземленной точкой. Потенциальная диаграмма изображается в виде ломаной линии.

Рис. 2.6.

Пример 2. Для цепи, изображенной на рис. 2.6,дано:Е1=8 В; Е2=24В;Е3=9,5В;R1 = 0,5 Ом;R2 = 1 Ом;R3 = 1,5 Ом;R01= 0,15 Ом;R02= 0,1 Ом;R03= 0.

Определить: 1. Величину и направление тока в цепи.

2. Потенциалы точекБ, В, Г, Д, Ж,приняв потенциал точкиАравным нулю(=0).

3. Построить потенциальную диаграмму.

4. Составить и проверить баланс мощностей для цепи.

Решение.

1. Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке, тогда величина тока

.

Знак «–», полученный в результате вычисления тока, указывает на то, что ток направлен против выбранного направления обхода, т. е. против часовой стрелки (как показано на рис. 2.6). В дальнейших расчетах знак «–» не учитывается. Таким образомЕ2 – генератор,Е1иЕ3 – потребители.

2. Для определения потенциалов указанных точек обходи» контур по направлению тока. При этом получаем (=0 – по условию):

3. Для построения потенциальной диаграммы по оси ординат в масштабе откладываются потенциалы точек, а по оси абсцисс – сопротивления участков. Потенциальная диаграмма изображена на рис. 2.7.

Рис. .2.7.

4. Баланс мощностей в электрической цепи с несколькими источниками выполняется при условии, что сумма мощностей источников, работающих в режиме генераторов, равна сумме мощностей источников, работающих в режиме потребителей, и потерям мощностей на всех сопротивлениях цепи, включая внутренние сопротивления источников, т.е.

42 Вт = 42 Вт

Элементы электрической цепи.В схемах электрических цепей можно выделить характерные элементы: ветвь, узел, контур.

Ветвьюэлектрической цепи называется ее участок, на всем протяжении которого величина тока имеет одинаковое значение.

Узломэлектрической цепи (узловой точкой) называется место соединения ветвей. В узловой точке сходятся минимум три ветви (проводника) (рис. 2.8,а).

Контуромэлектрической цепи называют замкнутый путь, в который могут входить несколько ветвей (рис. 2.8,б).

Ветви, содержащие источник электрической энергии, называютсяактивными;а ветви, не содержащие источников, называютсяпассивными.

Первый закон Кирхгофа В разветвленной цепи ток в различных ветвях может иметь различное значение. Сумма токов, входящих в узловую точку разветвленной цепи, должна быть равна сумме токов, выходящих из этой точки.

На рис. 8,апоказана узловая точкаАцепи, для которой можно записать:

I1+I3+I5=I2+I4или I1-I2+I3- I4+I5=0,т.е.= 0.                           (2.31)

Выражение (2.7.1.) представляет собой математическую запись первого закона (правила) Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа формулируется:алгебраическая сумма токов в ветвях, соединенныхв один узел, равна нулю.Токи, входящие в узел, принято считать положительными, а выходящие из узла – отрицательными.

а)б)

Рис. 2.8.

Второй закон Кирхгофа устанавливает зависимость между ЭДС и падениями напряжения в замкнутом контуре любой электрической цепи. Согласно второму закону Кирхгофаалгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме падений напряжений на всех участках этой цепи,т. е.

E = ∑IR                                                 (2.32)

Выражение (2.32.) представляет собой математическую запись второго закона (правила) Кирхгофа.

Для определения знаков в алгебраической сумме произвольно задаются направлением обхода контура: по часовой или против часовой стрелки.

ЭДС источника, совпадающая с выбранным направлением обхода контура, считаетсяположительной,а не совпадающаяотрицательной.

Падение напряжения на сопротивлении резистора считается положительным, если ток, протекающий через резистор, совпадает с выбранным направлением обхода контура, или отрицательным – если не совпадает.

Для электрической цепи, изображенной на рис. 2.8, б, второй закон Кирхгофа записывается так:

Направление обхода выбрано по часовой стрелке. ТочкиА, Б, Ви Г – узловые.

§2.6. Соединения резисторов.

Законы Кирхгофа позволяют анализировать и рассчитывать электрические цепи с одним источником при различных соединениях резисторов.

Последовательным соединением участков электрической называют соединение, при котором через все участки цепи проходит один и тот же ток(рис. 2.9). Напряжение на каждом последовательно включенном участке пропорционально величине сопротивления этого участка.

Рис. 2.9.

При последовательном соединении потребителей с сопротивлениямиR1,R2 иR3 напряжение на их зажимах равно:

Воспользовавшись вторым законом Кирхгофа для рассматриваемой цепи (рис.9.), можно записать:

Или

Откуда

                                       (2.33)

т. е. общее (эквивалентное) сопротивление последовательно включенных потребителей равно сумме сопротивлений этих потребителей.

Ток в цепи последовательно включенных потребителей (рис. 2.9.) определяется выражением:

Из этого выражения следует, что при изменении сопротивления хотя бы одного потребителя изменяется ток цепи, а следовательно, и режим работы (напряжение) всех последовательно включенных потребителей (резисторов).

Характерно, что при последовательном соединении потребителей на большем сопротивлении тратится большая мощность:

Распределение напряжений, пропорциональное сопротивлениям последовательно соединенных резисторов, используется в работе потенциометра (делителя напряжения). В качестве потенциометра можно использовать реостат с подвижным контактом, 'Включенным как показано на рис. 2.10.

Меняя сопротивление реостата, можно плавно изменять напряжениеU2 на потребителе от величины входного напряженияU2 (движок реостата в точкеА)до нуля (движок реостата в точкеБ).Потребитель подключается к клеммам 2'-2".

Рис. 2.10.                                              Рис.2.11.

Делитель напряжения может состоять из нескольких резисторов с постоянными сопротивлениями, соединенными последовательно. Напряжение можно снимать с каждого резистора или группы резисторов.

В линиях электропередачи (ЛЭП) электрической энергии на, расстояние соединительные провода включаются последовательно с потребителями (рис. 2.11).

Так как провода линии электропередачи обладают сопротивлением (двухпроводная линия), то при прохождениитока по проводам происходит потеря напряжения  на них.За счет этой потери напряжение в конце линии электропередачиU2меньше, чем напряжение в начале линииU1. Величина потери напряжения в проводах

U=U1U2 =IRпр.                                             (2.34)

Как видно из (2.6.2.), потеря напряжения в проводах зависит тока потребителяI (нагрузки).

Для того чтобы увеличение тока в линии не приводило к значительной потере напряжения в ней и к ощутимому уменьшению напряжения на потребителеU2, расчет сечений проводов ЛЭП производят с учетом допустимой потери напряжения

е% =                                                     (2.35)

Допустимая потеря напряжения в длинных ЛЭП – до 10%.

Расчет сечения проводов (двухпроводной линии) по допустимой потере напряжения производят по следующему выражению!

                              (2.36)

гдеS – сечение проводов ЛЭП, мм2;рудельное сопротивление материала проводов;l – длина ЛЭП, м;Р2 – мощность потребителя, Вт;U2 – напряжение на потребителе.

Выбранное по допустимой потере напряжения сечение проводов ЛЭП должно быть проверено по допустимому току.

Из выражения (2.36) видно, что сечение проводов зависит от напряжения на потребителеU2.Так как эта зависимость квадратичная, то для уменьшения сечения проводов рационально увеличивать напряжение ЛЭП. В настоящее время напряжение ЛЭП переменного тока увеличено до 1150 кВ, постоянного тока до 1500 кВ.

КПД линии электропередачи определяется выражением:

,                                            (2.37)

гдеР2 – мощность потребителя;Р1 – мощность источника.

Как видно из формулы, чем больше потеря напряжения в проводах , тем меньше КПД линии электропередачи. КПД длинных линий электропередачи от 90 до 98%.

Параллельным соединением участков электрической цепи называют соединение, при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, т. е. находятся под действием одного и того же напряжения(рис. 2.12). Токи параллельно включенных участков обратно пропорциональны сопротивлениям этих участков.

При параллельном соединении потребителей с сопротивлениями

R1,R2иR3токи потребителей равны:

Воспользовавшись первым законом Кирхгофа для рассматриваемой цепи, можно определить ток (I) в неразветвленной части цепи:

I = I1 + I2 + I3или

тогда

(2.38)

Т.е. обратная величина общего (эквивалентного) сопротивления (R) параллельно включенных потребителей равна сумме обратных величин сопротивлений этих   потребителей.

Рис. 2.12.

Величина обратная сопротивлению, определяет проводимость потребителя (g). Общая (эквивалентная) проводимость цепи при параллельном соединении потребителей определяется выражением:

                                             (2.39)

Если параллельно включеныn одинаковых потребителей с сопротивлениемR'каждое, то эквивалентное сопротивление этих потребителей. Если параллельно включены два потребителя с сопротивлениямиR1 иR2, то общее (эквивалентное) их сопротивление по (2.6.6.):

                                              (2.40)

Если параллельно включены три потребителя с сопротивлениямиR1,R2иR3, то общее их сопротивление (8.9):

                               (2.41)

Изменение сопротивления какого-либо из параллельно соединенных потребителей не влияет на режим работы (напряжение) всех потребителей, включая изменяемый. Поэтому параллельное соединение потребителей нашло широкое практическое применение.

При параллельном соединении потребителей на большем сопротивлении тратится меньшая мощность:

Вопросы для самопроверки

  1. Как формулируется первый закон Кирхгофа?
  2. Какими формулами описывается первый закон Кирхгофа?
  3. Дайте определение элементов электрической цепи.
  4. Как формулируется второй закон Кирхгофа?
  5. Какие параметры электрической цепи связывает второй закон Кирхгофа?
  6. Какими формулами определяются зависимости второго закона Кирхгофа?
  7. Может ли сопротивление участка двух параллельно соединенных проводников быть больше (меньше) любого из них? Объясните ответ.
  8. Какие законы сохранения используются для вывода формул сопротивления параллельного и последовательного соединения проводников?
  9. Проанализируйте аналогию между приводимыми здесь формулами и формулой для расчета сопротивления одного проводника через его геометрические параметры: . В чем заключается эта аналогия?
  10. Дайте определение электрической проводимости. Приведите формулы расчёта проводимости последовательного и параллельного участка цепи.

§2.7.Расчет электрических цепей постоянного тока.

Метод эквивалентных преобразований

В ряде случаев расчет сложной электрической цепи упрощается, если в ее схеме замещения заменить группу резистивных элементов другой эквивалентной группой, в которой резистивные элементы соединены иначе. Взаимная эквивалентность заключается в том, что после замены режим работы остальной части цепи не изменится.

А. Смешанное соединение резистивных элементов. При наличии в цепи одного источника внешнюю по отношению к нему часть схемы можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно - параллельное) соединение резистивных элементов.

Для расчета такой цепи удобно преобразовать ее схему замещения в эквивалентную схему с последовательным соединением резистивных элементов. Например, в цепи на рис. 1, а между узлами а и b включены три резистивных элемента с сопротивлениями r2, r 3 и r 4, т.е. проводимостями

, , ;

эквивалентная проводимость:

,

После замены параллельного соединения резистивных элементов эквивалентным резистивным элементом с сопротивлением  получается эквивалентная схема с последовательным соединением двух резистивных элементов г1, и rэ (рис. 1,б).

Рис. 2.13.

Ток в неразветвленной части

и токи в параллельных ветвях

где   ,   ,   .

Б. Соединение резистивных элементов по схеме звезды и треугольника. В общем случае схему замещения цепи по схеме n-лучевой звезды из резистивных элементов можно заменить эквивалентной схемой в виде n-стороннего многоугольника. Обратное преобразование возможно в ограниченном числе случаев. В частности, преобразования в обоих направлениях возможны для случая треугольника и трехлучевой звезды.

Эквивалентность схем в виде треугольника и звезды (рис.2.13) получается приравниванием значений сопротивлений или проводимостей между одноименными узлами этих схем, отсоединенных от остальной части цепи.

Найдем сопротивление между узлами А и В.

Проводимость между узлами А и В для схемы треугольника на рис. 2.13,а – gAB.

Сопротивление между узлами А и В - величина, обратная проводимости между этими узлами, т. е.

RAB = .

Рис. 2.14.

Для схемы звезда на рис.2.13,б сопротивление между теми же узлами А и В равно сумме сопротивлений двух ветвей: rA + rB.

Если заданы сопротивления R12, R23, R31 треугольника, то сопротивления каждого луча звезды определяются по формулам:

Наоборот, если заданы сопротивленияR1,R2,R3 звезды, то сопротивления каждой стороны треугольника определяются по формулам:

При совмещении треугольника и звезды сопротивлениилегко запомнить графическое правило для «звезды»:

сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму сопротивлений трех сторон треугольника

и правило для «треугольника»:

сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений прилегающих луней звезды и их произведения, разделенного на сопротивление третьего луча.

Пример 3.Вэлектрической цепи (рис.2.14,а)известны ЭДСЕ= 30 В и сопротивленияR12 =8 Ом;R23=R31 = 12 Ом;R4 =5,5 Ом;R5= 7 Ом;R6 =2 Ом. Определить ток в ветви с источникомЕ.

Решение.Заменив треугольник сопротивлений 1-2-3 звездойR1-R2-R3(рис.2.14,б), получаем:R1 =R2 =3Ом;R3= 4,5 Ом

Сопротивление между точками 1 и 4:

ток в ветви с источникомЕ:I =E/(R6 +R14)= 3 А.

Вывод:эквивалентное преобразование схем с соединениями сопротивлений в виде треугольника и звезды позволяет получить простую схему, где сопротивления соединены только последовательно(рис.2.14,а).и параллельно(рис.2.14,б).

Рис. 2.15.

Мостовая схема резисторов(а)и ее эквивалентное представление (б)

Задание:

Рассчитайте все токи в цепи

Рис. 2.16.

при условии, что E = 0,5(N = № варианта), r1= 0,1N, r2 = 0,2N, r3 = 0,3N, r4=0,4N.

Пример 4.Для цепи постоянного тока, приведенной на рис. 2.16, определить общий ток I и токи I1, I2, I3, I4 в ветвях резисторов R1 – R4. К цепи подведено напряжениеU = 240 В, сопротивления резисторов R1 = 20 Ом; R2 = 15 Ом;

R3 = 10 Ом; R4= 5 Ом.

Рис. 2.17.

Решение:

Эквивалентное сопротивление участка электрической цепи с резисторами R1 и R2:

,

откуда Rэк = 60/7 Ом.

Эквивалентное сопротивление участка электрической цепи с резисторами R3 и R4:

,

откуда Rэк = 10/3 Ом.

Общее сопротивление

R = Rэк + Rэк = 60/7 + 10/3= 11,9 Ом.

Общий ток в цепи:

I = U/R = 240/11,9 = 20,2 А.

Падения напряжений на параллельных участках цепи:

U1 =RэкI = 60/720,2 = 173,1 В

U2 =RэкI =10/320,2 = 67,3 В

Токи в ветвях соответствующих резисторов:

I1 = U1/R1 = 173/20 = 8,7 A

I2 = U1/R2 = 173/15 = 11,5 A

I3 = U2/R3 = 67,3/10 = 6,7 A

I4 =U2/R4 = 67,3/5 = 13,5A

Метод контурных токов .

Для расчета сложных электрических цепей широко используют метод контурных токов, в основу которого положены расчетные (условные) контурные токи, замыкающиеся по смежным контурам разветвленных электрических цепей.

Метод контурных токов позволяет при составлении системы уравнений для расчета электрических цепей не записывать уравнения по первому закону Кирхгофа и тем самым уменьшить общее количество уравнений, необходимых для расчета. Истинные значения токов в ветвях электрической цепи определяются направлениями контурных токов. При этом  во всех замкнутых контурах для упрощения процесса расчета целесообразно задавать контурным токам одинаковые положительные направления. Число уравнений при расчете по методу контурных токов равно числу контурных токов.

При составлении контурных уравнений по второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров ЭДС источников питания принимаются положительными, если их направления совпадают с направлениями контурных токов, при несовпадении с контурным током их записывают со знаком « – ». Со знаком « – » записывают напряжения, а также падения напряжений, направленные против контурного тока, а со знаком « + », если они совпадают с ним.

При этом величины контурных токов во внешних (не смежных) ветвях оказываются равными по значению токам в ветвях, которые нанесены на электрическую схему. Токи смежных ветвей равны разности контурных токов соседних контуров. Со знаком « + » записывается контурный ток, совпадающий с направлением тока в смежной ветви.

Применительно к электрической цепи (рис.2.18) в соответствии с заданным направлением ЭДС, напряжения, токов

Рис. 2.18.

в ветвях и контурных токов уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров, записывают в следующем виде:

E1+E2 = (R01+R02+R1+R2)I11 – (R02+R2)I22.

E2 = ( R02+R2+R3)I22 – (R02+R2)I11+U

В результате решения полученной системы уравнений определяют контурные токи I11 и I22. При этом токи во внешних (несмежных) ветвях электрической цепи оказываются численно равными соответствующим контурным токам: I1=I11, I3=I22.

Ток в смежной ветви определяют из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для точки разветвления электрической цепи: I1 – I2 – I3=0, откуда I2=I1 – I3=I11 – I22.

Расчёт электрических цепей постоянного тока методом контурных токов.

Пример 5.Определить токи в цепи. Самостоятельно выбрать направления токов и найти их численное значение. Указать, возможно ли реальное существование цепи с такими характеристиками. Обосновать свой ответ.

Дано:  Определить:

Решение:

1. Выбираем направление токов  в цепи через каждое сопротивление. Численное значение токов определим методом контурных токов.

Выделим четыре независимых контура с токами

Токи внешних ветвей равны контурным токам:

Остальные токи определяем через соответствующие контурные токи.

2. Составляем систему уравнений:

3. Определитель системы

4. Определяем контурные токи

5. Определяем токи ветвей

6. Проверяем решение по первому закону Кирхгофа для каждого узла.

7. Реально существовать цепи с такими характеристиками не могут, так как источники тока обязательно обладают внутренним сопротивлением.

Задача. Определить общий ток I и токи I1 – I5 в ветвях электрической цепи постоянного тока (рис. 18). ЭДС источников питания: E1=32 B, E2=120 B, E3=10 B, внутреннее сопротивление источника E1: R0 = 2 Ом (внутренним сопротивлением других источников пренебречь). Сопротивление резисторов: R1 = 10 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 6 Ом, R4=5 Ом, R5 = 8 Ом.

Рис. 2.19.

Задача.Электрическая цепь постоянного тока (рис. 20) содержит источники питания: E1 = 50 B, E2 = 20 B, E3 = 45 B и резисторы с сопротивлением: R1 = 10 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 50 Ом, R4 = 20 Ом, R5 = 1 Ом, R6 =20 Ом, R7 = 10 Ом. Напряжение, приложенное к цепи U = 80 В. Внутренние сопротивления источников R0 = 0. Определить токи I1 – I6 в ветвях электрической цепи и напряжение U14, действующее между точками 1 и 4 цепи (Ответ: I1 = 4A, I2 = 3A, I3 = 1A, , I4 = 2A, I5 = 5A, I6 = 1A).

Рис. 2.20.

Метод узлового напряжения .

Используется для расчета электрических цепей, содержащих несколько параллельных ветвей, присоединенных к паре узлов. Определение узлового напряжения позволяет достаточно просто определять токи в параллельных ветвях и другие величины, характеризующие подобные цепи.

Узловое напряжение между двумя узлами определяют по выражению:

, где

– алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей;

– алгебраическая сумма произведений напряжений на проводимости соответствующих ветвей;

– алгебраическая сумма токов источников токов в ветвях;

– сумма проводимостей всех ветвей.

Алгоритм расчета цепей по методу узлового напряжения в цепи с источниками тока:

  • определить проводимости всех ветвей, выбрав условные положительные направления токов в ветвях;
  • задать положительное направление указанного напряжения, рассчитывая его по соответствующей формуле;
  • выбрать направления обходов контуров и составить уравнения по второму закону Кирхгофа, затем (при необходимости) – по первому закону Кирхгофа.

Значения ЭДС, напряжения и токи источников тока положительны, если они направлены по направлению обхода контура, и наоборот.

Алгоритм расчета цепей по методу узлового напряжения в цепи без источников тока упрощается, т.к. выражение для определения узлового напряжения приводится к виду:

Пример 6.Два источника постоянного тока с ЭДС E1=E2=115 B и внутренними сопротивлениями R01=0,2 Ом и R02=0,4 Ом включены параллельно на нагрузку Rн=5 Ом (рис. 21). Определить токи I, I1, I2 в ветвях электрической цепи.

Рис. 2.21.

Решение:

Вычислим проводимости ветвей цепи:

G1=1/R01=1/0,2=5 См; Gн=1/Rн=1/5=0,2 См; G2=1/R02=1/0,4=2,5 См.

Тогда узловое напряжение, действующее между узлами 1 и 2 цепи:

= 112,0 В

Положительные направления токов в ветвях показаны на рис.1. По второму закону Кирхгофа для ветви с ЭДС E1 получаем:

U12+R01 I1=E1,откуда

= (E1 – U12)G1 =(115 – 112)5= 15 A.

Аналогично для ветви с ЭДС E2:

= (E2 – U12)G2 =(115 – 112)2,5= 7,5 A.

Ток для резистора Rн найдем по закону Ома:

I = U12/Rн = 112/5 = 22,4А.

Ответ: I1 =15 A, I2 = 7,5 A, I = 22,4А.

Задача:

ЭДС аккумуляторной батареи E1 = 8 B, ЭДС источника питания E2 = 10 B, его внутреннее сопротивление R02 = 0,5 Ом, сопротивление резистора

R1 = 0,5 Ом, Rн = 5 В. Определить токи в ветвях в цепи постоянного тока.

Рис. 2.22.

Метод наложения токов (метод суперпозиции) .

Применяется для расчета электрических цепей с несколькими источниками тока. Удобен в случаях, когда не нужен полный расчет цепи, а достаточно определить токи на участках с источниками питания.

Заключается в том, что в каждой из ветвей электрической цепи ток определяется как алгебраическая сумма токов, вызываемых в ней воздействием каждого из источников. Рассматриваемая цепь с несколькими источниками ЭДС и напряжений заменяется расчетными цепями с одним источником, число которых равно числу источников, действующих в исходной цепи. В результате определяются частичные токи от действия данного источника. Значение действительных токов определяются как алгебраическая сумма частичных токов в этих ветвях.

Пример 7. Определить ток I в электрической цепи постоянного тока (рисунок 23). Сопротивление резистора R = 4 Ом, ЭДС Е1 = 36 В, R01 = 0,3 Ом ЭДС аккумуляторной батареи E2 = 12 В, ее внутреннее сопротивление R02 = 0,01 Ом.

Рис. 2. 23.

Решение:

Ток в цепи при ЭДС E2=0 (рис. а) по закону Ома для всей цепи:

А

а).                                             б).

Рис. 2.24.

Ток в цепи при ЭДС E1 = 0 (рис. б):

А.

Ток в цепи при ЭДС E2 = 0 (рис.а) по закону Ома для всей цепи:

Ток при наличии обоих источников питания:

I =I-I=8,35 – 2,78 = 5,57 A.

Ответ: I= 5,57 A.

Задача:

Два источника постоянного тока с ЭДС E1 = 8 В, E2 = 10 B и внутренними сопротивлениями R01 = 0,6 Ом и R02 = 0,5 Ом включены параллельно на нагрузку Rн = 2 Ом (рис. 25). Определить общий ток I в цепи, токи I1 и I2 в ветвях. (Ответ: I = 4,15 А, I1 = 0,15 А, I2 = 4А.)

Рис. 2.25.

§2.8.Анализ и расчет электрических цепей постоянного тока с нелинейными элементами

К нелинейным электрическим цепям постоянного тока относятся электрические цепи, содержащие нелинейные сопротивления, обладающие нелинейными вольтамперными характеристикамиI(U), т. е. нелинейной зависимостью тока от приложенного к нелинейному сопротивлению напряжения.

Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока обычно осуществляютграфоаналитическим методом. При этом можно использовать и аналитический метод расчета, который, однако, достаточно сложен. Для выполнения расчета нелинейных электрических цепей должна быть известна вольтамперная характеристика соответствующего нелинейного сопротивления, представленная в виде графика или таблицы.

При расчете электрических цепей споследовательным включением нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений R1 и R2 (рис.2.26) вольтамперные характеристики соответствующих сопротивленийI1(U) иI2(U) представляются в общей координатной системе и по ним строится общая вольтамперная характеристикаI(U) всей нелинейной электрической цепи (рис.2.26), абсцисса (x) каждой из точек которой при заданном токеI (заданной ординате –y) находится как сумма соответствующих падений напряжения (U =U1 +U2) на этих сопротивлениях R1 и R2, поскольку при последовательном соединении по сопротивлениям протекает один и тот же токI цепи. Таким образом, по общей вольтамперной характеристикеI(U)нелинейной цепи при заданном значении напряженияU и последовательном соединении сопротивлений легко определяют токI в нелинейной цепи, а по заданному токуI находят напряжениеU, подводимое к нелинейной цепи, и напряженияU1 и U2 на каждом из последовательно соединенных сопротивлений.

Рис. 2.26.                                                                Рис. 2.27.

Припараллельном соединении нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений R1 и R2 (рис.2.28) также строят общую вольтамперную характеристикуI(U) нелинейной электрической цепи (рис.2.29). При этом ординату (y) каждой из точек общей вольтамперной характеристики при заданном подводимом к цепи напряженииU (заданной абсциссе –x) определяют как сумму токов в цепях соответствующих сопротивлений

(I =I1 +I2), так как при параллельном соединении на всех сопротивлениях действует одно и то же напряжение U. Следовательно, при параллельном включении сопротивлений по общей вольтамперной характеристикеI(U) и заданном значении напряжения U можно определить и токI в нелинейной электрической цепи. При заданном общем токеI определяют напряжениеU, подводимое к данной нелинейной электрической цепи, и токиI1 иI2, протекающие в цепи каждого из параллельно соединенных сопротивлений.

Рис. 2.28.                                                                           Рис. 2.29.

Графоаналитический метод расчета нелинейных электрических цепей при последовательном и параллельном соединении сопротивлений справедлив для любого числа сопротивлений, включенных в цепь последовательно или параллельно.

При расчете нелинейных электрических цепей сосмешанным (последовательно-параллельным) соединением нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений (рис.2.30) сначала строят вольтамперную характеристикуI(U1) параллельного участка цепи. При этом образуется нелинейная электрическая цепь с последовательным соединением сопротивлений, для которой строится общая вольтамперная характеристикаI(U) с учетом того, что подводимое к цепи напряжениеU при данном токе цепиI равно сумме напряжений на параллельномU1 и на последовательномU2 участках цепи (U =U1 +U2).

Рис. 2.30.

Пример 8.: Нелинейные сопротивления R1 и R2, включенные последовательно в электрическую цепь постоянного тока (рис.2.31,а) имеют ВАХI и II,приведенные на рис.2.31,б). Определить токI в цепи и напряжениеU1 иU2на этих сопротивлениях, если приложенное напряжениеU= 60 В.

Решение:

Строят общую ВАХIII указанных двух последовательно соединенных нелинейных элементов (рис.2.31,б) исходя из условия, что подводимое к цепи напряжениеU при данном токеI нагрузки равно сумме напряжений на сопротивлениях R1 и R2, т.е.U=U1+U2.

Ток в цепи при напряженииU= 60 B согласно зависимостиIII определяется ординатой 0 – 5, соответствующейI2= 170 мА.

Пример 9.: Нелинейные сопротивления R1 и R2, включенные последовательно в электрическую цепь постоянного тока (рис.2.26) имеют ВАХI и II,приведенные на рис. 25. Определить токI в цепи и напряжениеU1 иU2на этих сопротивлениях, если приложенное напряжениеU= 30 В.

Решение: Общая вольтамперная характеристика IV (рис.2.31) при параллельном соединении нелинейных сопротивлений построена сложением токов (ординат) зависимостей I и II при соответствующем напряжении.

Ток нелинейного сопротивления R1 (рис.2.31) при заданном напряжении U = 30 В равен ординате 6 – 7:I1= 200 мА.

Ток нелинейного сопротивления R2 при том же напряженииU = 30 В равен ординате 6 – 8:I2= 100 мА.

Общий ток в неразветвленной части цепи равен ординате 6 – 9:

I=I1+I2 = 200 + 100 = 300 мА.

Напряжение на участках цепи находят из графических зависимостей. При токеI2=170 mA напряжение, подводимое к цепи,U1=20 B (абсцисса 4), U2=40 В (абсцисса 5-3).

а)б)в)

Рис. 2.31.

Задача: Определить токиI1I3 и напряженияU1 иU23 на нелинейных сопротивлениях R1, R2и R3 при смешанном соединении их в электрической цепи постоянного тока (рис. 32,а), если приложенное напряжениеU = 40 В. Вольтамперные характеристики I, II и III нелинейных сопротивлений даны на рис. 28,б.

а)б)

Рис. 2.32.

Справочные материалы (Опорный конспект)

Электрический ток и электродвижущая сила

Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов. За направление электрического тока принято направление движенияположительных зарядов. Электрический ток возникает в проводниках под действием электрического поля.

Отношение зарядаDq, проходящего через поперечное сечение проводника за времяDt, к этому интервалу времени называетсясилой тока I:

I =D q /D t.

Сила тока измеряется в Амперах. Если сила тока не изменяется со временем, электрический ток называютпостоянным током.

Электрический ток в проводниках вызывают так называемые источники постоянного тока. Силы, вызывающие перемещение электрических зарядов внутри источника постоянного тока против направления действия сил электростатического поля, называютсясторонними силами. Сторонние силы в гальваническом элементе или аккумуляторе возникают в результате электрохимических процессов, происходящих на границе электрод - электролит. В динамо-машине постоянного тока сторонней силой является сила Лоренца. Отношение работыАст , совершаемой сторонними силами по перемещению зарядаDq вдоль цепи, к значению этого заряда называетсяэлектродвижущей силойe источника (ЭДС):

e = Аст /D q.

Электродвижущая сила выражается в тех же единицах, что и напряжение или разность потенциалов, т.е. в Вольтах.

Наиболее распространенные источники постоянного тока и батареи, применяемые в различных бытовых приборах (электронных часах, портативных приемниках и магнитофонах, фонариках и т.д.) имеют Э.Д.С. 1.5В, 4.5В, 9В. В автомобилях применяются аккумуляторы с Э.Д.С. 12В (для легковых) и 24В (у некоторых грузовиков).

Закон Ома для участка цепи.

Немецкий физик Георг Ом (1787-1854) в 1826 году обнаружил, что отношение напряженияU между концами металлического проводника, являющегося участком электрической цепи, к силе токаI в цепи есть величина постоянная:

= const.

Эту величинуR называютэлектрическим сопротивлениемпроводника. Электрическое сопротивление измеряется в Омах. Электрическим сопротивлением 1 Ом обладает такой участок цепи, на котором при силе тока 1 А напряжение равно 1 В:

1 Ом =1 В /1 А.

Опыт показывает, что электрическое сопротивление проводника прямо пропорционально его длинеlи обратно пропорционально площадиS поперечного сечения проводника:

R .

Постоянный для данного вещества параметрr называетсяудельным электрическим сопротивлением вещества. Удельное сопротивление измеряется в Ом · м.

В таблице приводятся значения удельного электрического сопротивления для некоторых материалов и сплавов:

Таблица 1. Удельное сопротивление проводников.

Материал

Удельное сопротивление (Ом · м)

Удельное сопротивление (Ом · мм2/м)

Алюминий

2,82 · 10-8

0,0282

Висмут

1,2 · 10-6

1,2

Вольфрам

5,5 · 10-8

0,055

Железо

9,8 · 10-8

0,098

Золото

2,42 · 10-8

0,0242

Константан

4,9 · 10-7

0,49

Латунь

8 · 10-8

0,08

Манганин

4,4 · 10-7

0,44

Медь

1,72 · 10-8

0,0172

Молибден

5,6 · 10-8

0,056

Никель

7,24 · 10-8

0,0724

Нихром

1 · 10-6

1

Олово

1,14 · 10-7

0,114

Платина

1,05 · 10-7

0,105

Свинец

2,06 · 10-7

0,206

Серебро

1,62 · 10-8

0,0162

Цинк

5,92 · 10-8

0,0592

Экспериментально установленную зависимость силы токаI от напряженияU и электрического сопротивленияR участка цепи называютзаконом Ома для участка цепи:

.

Последовательное и параллельное соединение проводников

При последовательном соединенииk проводников их общее электрическое сопротивление равно сумме электрических сопротивлений всех проводников:

R = R1 + R2 + ... + Rk .

При параллельном соединенииk проводников величина, обратная общему электрическому сопротивлению цепи, равна сумме обратных величин электрических сопротивлений всех параллельно включенных проводников:

1 / R =1 / R1 +1 / R2 + ... +1 / Rk .

Работа и мощность постоянного электрического тока

РаботаА электрического тока на участке цепи с электрическим сопротивлениемR за времяDtравна:

A = I · U ·D t = I2 ·R ·D t

МощностьP электрического тока равна отношению работыА тока ко времени

Dt, за которое эта работа совершена:

P = A /D t = I · U = I2R = U2 / R.

РаботаА электрического тока равна количеству теплотыQ, выделяемому проводником (если не совершается механическая работа и не происходят химические реакции):

Q = I2RD t

Этот закон был экспериментально установлен английским ученым Джеймсом Джоулем (1818-1889) и русским ученым Эмилем Ленцем (1804-1865) и поэтому носит названиезакона Джоуля - Ленца.

Закон Ома для полной цепи

Для замкнутой цепи работа сторонних сил источника тока равна количеству теплоты, выделившейся на внешнем и внутреннем участках цепи, поэтому:

D qe = I2 ·(R + r) ·D t,

откуда

e = I · (R + r),

или

I =e /(R + r)

Последнее выражение называется законом Ома для полной цепи.

Внутреннее сопротивление источника тока.

В электрической цепи, состоящей из источника тока и проводников с электрическим сопротивлениемR, ток совершает работу не только на внешнем, но и на внутреннем участке цепи. Электрическое сопротивление источника тока называетсявнутренним сопротивлением. На внутреннем участке цепи выделяется количество теплотыQвн, равное:

Qвн = I2 ·r ·D t,

гдеr - внутреннее сопротивление источника тока.

Полное количество теплотыQполн, выделяющееся при протекании постоянного тока в замкнутой цепи, внешний и внутренний участки которой имеют сопротивления, соответственно равныеR иr, равно:

Qполн =I2 ·R ·Dt +I2 ·r ·Dt =I2 ·(R +r)Dt

3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

§1. Параметры магнитного поля и их расчет.

Магнитным полем называют пространство, созданное электрическим током, в котором обнаруживается действие сил на магнитную стрелку или ток.Магнитное поле и электрический ток неразрывно связаны. Магнитное поле изображается магнитными линиями, которые, в отличие от электрических линий, всегда замкнуты. Направление магнитного поля (магнитных линий) указывает северный конец магнитной стрелки, помещенной в этом поле.

Направление магнитного поля и электрического тока, создающего это поле, связаны правилом буравчика. Для прямого тока правило буравчика формулируется так: если поступательное движение буравчика совпадает с направлением прямого тока, товращательное движение рукоятки буравчика при этом указывает направление магнитного поля. Для кругового тока: если вращательное движение буравчика совпадает с направлением кругового тока, то поступательное движение буравчика при этом указывав направление магнитного поля. Легко обнар – ужить, что магнитное поле кругового тока и тока катушки полярно, т. е. имеет северный и южный полюса. Следовательно, магнитное поле атома любого вещества, созданное направленным движением электронов вокруг ядра (круговой ток), также полярно, т. е. атом каждого вещества можно рассматривать как элементарный магнит (домен) с северным и южным полюсами. Если домены веществ расположены хаотически, то такое вещество не создает магнитное поле. Если же домены вещества сориентированы в одном направлении, то такое вещество считается намагниченным издает магнитное поле.

Магнитная индукция – векторная величина, характеризующая магнитное поле и определяющая силу, действующую надвижущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля.

Магнитная индукция обозначаетсяВ,измеряется в теслах (Тл). Согласно закона Био-Савара, величина магнитной индукции в каждой точке магнитного поля пропорциональна величине тока, создающего это поле, и зависит от среды, в которой создается поле.

Магнитная индукция величина векторная. Вектор магнитной индукции в каждой точке магнитного поля проводится так, чтобы магнитная линия в этой точке была касательной к нему. Магнитное поле, индукция в каждой точке которого имеет одинаковое значение, и магнитные линии параллельны друг другу, называетсяоднородным.

Величина, характеризующая магнитные свойства среды, т.е.способность среды намагничиваться, называетсямагнитной проницаемостью.

Абсолютная магнитная проницаемость вакуума – величина постоянная и называетсямагнитной постоянной(Гн/м)

                                        (3.1)

Абсолютную магнитную проницаемость любой средыудобно выражать через магнитную постояннуюи магнитную проницаемость , которая показывает, во сколько раз абсолютная магнитная проницаемость среды больше или меньше, чем магнитная постоянная, т. е.

, тогда                                      (3.2)

Иногдаиrназывают относительной магнитной проницаемостью.

В зависимости от магнитной проницаемостивсе вещества делятся на диамагнитные, парамагнитные и ферромагнитные.

1. Магнитная проницаемость диамагнитных (противомагнитных) веществ<1. Так, например, для меди  = 0,999995.

2. Магнитная проницаемость парамагнитных веществиr>1.Так, например, для воздуха=1,0000031.

Магнитная проницаемость диамагнитных и парамагнитных материалов – величина постоянная и в технических расчетах принимается равной единице.

3. Магнитная проницаемость ферромагнитных материалов во много раз больше единицы>>1. Так, например:

для чугуна ,

для стали ,

для пермаллоя .

Магнитная проницаемость ферромагнитных материалов зависит от интенсивности магнитного поля и температуры, поэтому значения ее даны приближенно.

Произведение магнитной индукцииВоднородного магнитного поля и величины площадиS, перпендикулярной вектору индукции, называют магнитным потокомФ,т. е.

Ф =BS.(3.3)

Измеряется магнитный поток в веберах (Вб).

Расчетная величина, характеризующая интенсивность магнитного поля в каждой его точке без учета среды, называется напряженностью магнитного поляН.Магнитная индукция и напряженность связаны выражением:

,                                                (3.4)

откуда

.                                                (3.5)

Измеряется напряженность магнитного поля в Амперах на метр (а/м). Напряженность магнитного поля – величина векторная. Вектор напряженности в каждой точке поля направлен так же, как и вектор индукции.

Если магнитное поле создано несколькими проводниками с током, то напряженность в каждой точке этого поля определяется геометрической суммой напряженностей, созданных в этой точке каждым током.

Если какую-либо площадь, пронизываемую несколькими токами, ограничить замкнутым контуром (рис. 3.1), то сумма произведений элементов длины этого контураdlи продольных составляющих векторов напряженностиHl в каждой точке этого контура, взятая по всему контуру, называетсямагнитным напряжениемUмили намагничивающей силойF,т. е.

Рис. 3.1

.(3.6)

Алгебраическая сумма токов, пронизывающих площадь ограниченную замкнутым контуром называется потоком сквозь эту площадь. Для поля, изображенного на рис. 3.1, полный ток

.                                          (3.7)

Установлено, что намагничивающая сила вдоль замкнутого контураFравна полному току, который проходит сквозь поверхность, ограниченную этим контуром. В этом и заключается закон полного тока, математическое выражение которого можно представить в виде

.                                            (3.8)

Воспользовавшись законом полного тока, можно определить интенсивность магнитного поляи В) влюбой точкеАмагнитного поля, расположенной на расстоянииrот центра проводника радиусома,по которому проходит токI (рис. 3.2).Если точкаАмагнитного поля находится за пределами проводника, т. е.r(рис. 3.2,а),то напряженность поля в этой точке

,                                                  (3.9)

а индукция

,                                            (3.10)

Если же точкаАмагнитного поля находится внутри проводника, т. е.r(рис. 3.2,б),то напряженность поля в этой точке

,                                             (3.11)

а индукция

,                                          (3.12)

a)  б)    в)

Рис. 3.2

Таким образом, с увеличением расстояния от центра проводникаr, внутри проводника интенсивность магнитного поля увеличивается, а за пределами проводника уменьшается.

Зависимость напряженности магнитного поля, созданного проводником с током от расстояния до центра проводника, можно иллюстрировать графиком (рис. 3.2, в). Как видим, самая большая напряженность магнитного поля на поверхности проводника с током.

Закон полного тока позволяет определить напряженность магнитного поля в каждой точке кольцевой (рис. 3.3,а)и цилиндрической (рис. 3.3,б)катушек с током.

Напряженность магнитного поля внутри катушки определяется намагничивающей силой (ампер-витками), приходящейся на единицу длины этой катушки

,(3.13)

Более точным для определения напряженности поля в точкеАна осевой линии цилиндрической катушки (рис. 3.3,б)является выражение

.                                   (3.14)

Электромагнитная сила. Если проводник с токомI поместить в магнитное поле с индукциейВ,то, благодаря взаимодействию магнитных полей (рис. 3.4), на проводник будет действовать силаFм,которая вытесняет этот проводник из магнитного поля. Сила взаимодействия тока с магнитным полемFмназываетсяэлектромагнитной силой.Направление электромагнитной силы определяется правилом левой руки. (Левую руку располагают так, чтобы магнитные линии входили в ладонь, вытянутые четыре пальца совпадали с направлением тока в проводнике, тогда отогнутый большой палец укажет направление электромагнитной силы.)

Для однородного магнитного поля и прямолинейного проводника с током, расположенного в этом поле (рис. 3.5, а), величина электромагнитной силы определяется выражением:

,(3.15)

гдеl – активная длина проводника, т. е. часть длины проводника, которая находится в магнитном поле, — угол между током и магнитным полем.

а)б)

Рис. 3.3

Рис. 3.4

а)                                                                  б)

Рис. 3.5

а)                                                                      б)

Рис. 3.6

Два параллельно расположенных проводника с токомII2 (рис. 3.5, 6) взаимодействуют между собой с силой

,                                         (3.16)

гдеr – расстояние между проводниками;l — длина взаимодействующих частей параллельно расположенных проводников.

Формула(3.16) является математическим выражением закона Ампера для определения силы взаимодействия проводников с током.

По правилу левой руки определяем: при одинаковом направлении взаимодействующих токов проводники притягиваются (рис. 3.6,а),при различных направлениях отталкиваются (рис. 3.6,б).

Намагничивание. Если по кольцевой катушке (рис. 3.3, а) пропустить токI, то в катушке создается магнитное поле напряженностью . Это поле создает индукциюВ0 = ,еслив катушке отсутствует сердечник. Если в катушку поместить сердечник из ферромагнитного материала, то он намагничивается и появляется добавочная индукцияВа=М.ВеличинаМхарактеризует намагниченность ферромагнитного материала. Следовательно, индукция в катушке с ферромагнитным сердечником

.                                      (3.17)

Рис. 3.7

Изменение магнитных индукций0ДиВ)при изменении напряженностиНизображено на рис. 3.7 (1, 2и 3).

Характер изменений добавочной индукции  можно объяснить следующим образом:

участокОа –намагниченность сердечникаМувеличиваетсяпропорционально напряженностиН;

участокаб –рост намагниченности сердечникаМзамедляется, так как большинство доменов уже сориентировалось в направлении магнитного поля;

участокбв –рост намагниченности сердечникаМпрекращается, так как все домены сориентировались в направлении магнитного поля.

Участокбвхарактеризует режим магнитного насыщения, при котором изменение напряженностиНне вызывает изменения намагниченности сердечникаМ, так как все домены уже сориентированы в направлении намагничивающего поля.

Суммарная кривая зависимости магнитной индукции ферромагнитного материала от напряженности  называетсякривой намагничивания.

Кривые намагничивания некоторых ферромагнитных материалов даны в Приложении 5.

Используя кривые намагничивания, можно определить магнитную проницаемость ферромагнитного материала при заданной величинеНилиВ.

Из (3.5)

(3.18)

Изменение тока в катушке (рис. 3.3, а) и соответственно напряженностиНмагнитного поля в ней не только по величине, но и по направлению приводит также к изменению индукции в ферромагнитном сердечнике катушки по величине и направлению (рис. 3.8).

КриваяО1(рис. 3.8) соответствует кривой3(рис. 3.7) и называется кривой начального намагничивания. Замкнутая кривая1–2–3–4–5–6–1(рис. 38) зависимости  называется кривой циклического перемагничивания илипетлей гистерезиса.

Из петли гистерезиса видно, что при уменьшении напряженности поляНдо нуля в сердечнике остается магнитная индукция(0–2и 05). Магнитная индукция при значении напряженности, равной нулю, называетсяостаточной индукцией.

Остаточная индукцияв ферромагнитном сердечнике имеет место в результате того, что при уменьшении напряженности поляНдо нуля не все элементарные магнитики дезориентировались.

На петле гистерезиса точки3и 6соответствуют значению магнитной индукцииВ,равной нулю, т. е. полному размагничиванию материала. Величина напряженностиНс (0 – 3иО – 6),необходимая для полного размагничивания ферромагнитного материала, т. е. для уничтожения остаточной индукции в нем, называется коэрцитивой или задерживающей силой.

Рис. 3.8

При циклическом перемагничивании ферромагнитный сердечник нагревается, что свидетельствует о затрате энергии на перемагничивание. Величина затраченной энергии на перемагничивание пропорциональна площади, ограниченной петлей гистерезиса. Затраченную на перемагничивание энергию называютпотерями энергии на перемагничиваниеили на гистерезис.

Циклическое перемагничивание и потери энергии на гистерезис наблюдается в сердечниках трансформаторов, дросселей, электрических машин при прохождении переменного тока по их обмоткам.

Различают магнитно-мягкие и магнитно-твердые ферромагнитные материалы.

Магнитно-мягкие материалы обладают высокой магнитной проницаемостью, но низким значением коэрцитивной силы(ниже 400 А/м)и малыми потерями на гистерезис (узкая петля гистерезиса).

Магнитно-мягкие материалы применяются в качестве сердечников устройств и приборов, использующих их положительные качества. К магнитно-мягким материалам относятся электротехнические стали, их сплавы с кремнием, с никелем (пермаллой), ферриты, магнитодиэлектрики и др.

Магнитно–твердые материалы обладают сравнительно низкой магнитной проницаемостью, но высокими значениями коэрцитивной силы –(500045000) А/ми остаточной индукции –(0,41,25) Тл. Они предназначены для изготовления постоянных магнитов. К магнитно-твердым материалам относятся сплавы альни, альниси, альнико, а также углеродистые, вольфрамовые, хромистые и кобальтовые стали.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое магнитное поле и сак оно связано с электрическим током по величине и направлению?

2. Что такое магнитная индукция, и от чего она зависит?

3. Что такое магнитный поток?

4. Чем характеризуются диа-, пара- и ферромагнитные материалы?

5. Что такое напряженность магнитного поля, и как она связана с индукцией (соотношение)?

6. Сформулируйте и запишите закон полного тока.

7. Как определяется напряженность внутри и за пределами проводника с током?

8. Как определяется напряженность внутри кольцевой и цилиндрической катушек?

9. Что такое электромагнитная сила, и как определяется ее величина и направление?

10. Как определяется величина и направление силы взаимодействия двух параллельных проводников с током?

11.Охарактеризуйте кривые намагничивания ферромагнитных материалов.

12. Что представляет собой петля гистерезиса?

13. Что такое остаточная индукция и коэрцитивная сила?

14. Что такое потери на перемагничивание, и от чего они зависят?

15. Чем характеризуются магнитномягкие и магнитнотвердые ферромагнитные материалы? Где они применяются?

§3.2. Магнитные цепи и их расчет

Часть электротехнического устройства, отдельные участки которого выполнены из ферромагнитных материалов, по которым замыкается магнитный поток, называетсямагнитной цепью.Примером простой магнитной цепи может служить сердечник кольцевой катушки (см. рис. 3.3,а).Магнитные цепи трансформаторов, электрических машин и других аппаратов и приборов имеют более сложную форму.

Магнитная цепь, которая выполнена из одного материала и по всей длине имеет одинаковое сечение, называется однородной(см. рис. 3.3,а).

Неоднородная магнитная цепь состоит из нескольких однородных участков, отличающихся длиной, сечением и материалом. Наиболее часто встречаются магнитные цепи, в которых кроме ферромагнитных участков имеются воздушные зазоры. Неоднородная цепь, изображенная на рис. 3.9,а,имеет 3 участка, одним из которых является воздушный зазор.

Магнитные цепи, как и электрические, бывают неразветвленными (рис. 3.9,а)и разветвленными (рис 3.9,б).

Характерной особенностью неразветвленной магнитной цепи является неизменный магнитный поток Ф во всех участках цепи(рис. 3.9, а).

Для разветвленной цепи характерно то, что алгебраическая сумма магнитных потоков в точке разветвления равна нулю, т. е. ∑Ф = 0 –первый закон Кирхгофа для магнитной цепи. Для разветвленной цепи (рис. 3.9,б)можно записатьФ Ф1 Ф2 = 0илиФ = Ф1 + Ф2.

Разветвленные магнитные цепи бывают симметричными и несимметричными. На рис. 3.9,бизображена симметричная цепь, так как левая и правая ее части имеют одинаковые размеры и выполнены из одного материала.

Магнитный поток в сердечнике кольцевой катушки (рис. 3.3, а)определяется  выражением:Ф=В ∙S=,НS=или

а)                                                  б)

Рис. 3.9

иначе:

,                                            (3.19)

гдеIWнамагничивающая сила или магнитное напряжениеUм;lиS параметры сердечника;– магнитное сопротивление сердечника.

Тогда

.                                          (3.20)

Выражение (3.20) математическая запись закона Ома для магнитной цепи.

Для неоднородной, неразветвленной магнитной цепи, изображенной на рис. 3.9, а, магнитный поток, созданный в магнитной цепи двумя обмотками по закону Ома, определяется формулой:

,                           (3.21)

гдеIWнамагничивающая сила (ампер–витки) или магнитное напряжениеUм.

Между ампер–витками обеих обмоток стоит, знак « + » (3.21), если обмотки включены согласно, т. е. создают магнитные потоки в сердечнике одного направления, или знак « –», если они включены встречно, т. е. создают магнитные потоки в сердечнике, направленные в противоположные стороны. Знаменатель выражения (3.21) представляет собой сумму магнитных сопротивлений однородных участков магнитной цепи (рис. 3.9, а). Очевидно, самым большим будет сопротивление воздушного зазора, так как магнитная проницаемость егово много раз меньше магнитной проницаемости ферромагнитных участков, которые обычно выполняются из магнитно-мягких материалов.

Закон Ома для расчета магнитных цепей практически не используется, так как магнитная цепь нелинейна, т. е. магнитное сопротивление ферромагнитных участков цепи зависит от намагничивающей силы.

Закон Ома решает качественную задачу расчета магнитной цепи, т. е. задачу зависимости одних величин от других.

Для расчета магнитных цепей можно воспользоваться законом полного тока. При этом решается одна из двух задач:

1.Прямая задача, в которой по заданному магнитному потоку Ф в магнитной цепи определяют намагничивающую силуIW

2.Обратная задача, в которой по заданной намагничивающей силе 1№ определяют магнитный поток Ф.

Для однородной магнитной цепи прямая задача решается в следующей последовательности:

а) по заданному магнитному потоку и габаритам цепи определяют магнитную индукцию;

б) по кривой намагничивания материала сердечника определяют напряженностьНпо вычисленной индукцииВ;

в) по закону полного тока определяют намагничивающую силуIW = Н1,

гдеSсечение магнитопровода;l длина средней линии магнитопровода.

Обратная задача для однородной цепи решается в обратной последовательности, т. е.:

а) по закону полного тока определяют напряженность полямагнитной цепи

Н=;

б) по кривой намагничивания материала сердечника определяют магнитную индукциюВ,по вычисленному значению напряженностиH;

в) определяют магнитный поток цепиФ =.

Для неоднородной неразветвленной магнитной цепи (см. рис. 3.9,а)прямая задача решается в следующей последовательности:

а) по заданному магнитному потоку Ф, который для всех участков неразветвленной цепи имеет одинаковое значение, определяют магнитную индукциюВкаждого однородного участка

;;  ,

гдеS площадь сечения участка.

Для прямоугольного сеченияпсР(рис. 3.9,а)S = ав;для круглого сечения (рис. 3.3, а) .

Если задана магнитная индукция какого-либо участкаВуч,то находят магнитный поток этого участка Фуч =BучSуч, который для всех участков неразветвленной цепи имеет одинаковое значение. Затем определяют магнитную индукцию остальных участков, как показано выше;

б) по кривым намагничивания материалов определяют напряженности ферромагнитных участковH1 иH2.

Напряженность в воздушном зазоре вычисляют по выражению

;

в) определив длину средней линии каждого участка, по закону полного тока (второй закон Кирхгофа для магнитной цепи), вычисляют намагничивающую силу рассчитываемой магнитной цепи, или токI, или виткиW.

Пример 3.1.Определить число витков обмотки, расположенной на сердечнике из электротехнической листовой стали, размеры которого указаны на рис. 3.10 в см, если по обмотке проходит токI= 5 А, который создает в магнитной цепи магнитный поток Ф= Вб.

Решение. Магнитная цепь состоит из 3-х однородных участков сечением:

и (воздушный зазор).

1. По заданному магнитному потоку определяется магнитная индукция в каждом однородном участке:

Тл;  Тл;

Тл.

2. По кривой намагничивания для листовой электротехнической стали (Приложение 6) определяем напряженности первого –Н1 = 1000А/м и второго –H2 = 500 А/м участков. Напряженность в воздушном зазоре

А/м.

3. Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для магнитной цепиIW111212 + Н313,из которого определяем искомое число витков обмотки витков.

Длина средней линии каждого участка:

l1 =20 + 3 + 9 + 3+19,5 = 54,5 см=0,545 м;

l2=4+9 + 4=17 см=0,17 м;l3 = 0,5 см=м.

Обратная задача расчета неоднородной неразветвленной магнитной цепи – определение магнитного потока по заданной намагничивающей силе, может быть решена методом последовательных приближений. Для этого задаются несколькими значениями магнитного потока, и для каждого из них решают прямую задачу расчета магнитной цепи. По результатам расчетов намагничивающих сил для разных магнитных потоков строят кривую зависимости по которой и определяют искомый магнитный поток ФИС по

                             Рис. 3.10                                                  Рис. 3.11

заданной намагничивающей силе (ампер–витками)IWзад, (рис. 3.11).

Расчет симметричной разветвленной магнитной цепи (прямая задача) рассмотрим в примере.

Пример3.2. На среднем стержне Ш–образного симметричного сердечника, выполненного из электротехнической стали Э–21 (1311), расположена обмотка с числом витковW=515 (рис. 3.12). ЯкорьАэтой разветвленной магнитной цепи выполнен из стали Э–42 (1512). Между якоремАи сердечником находится воздушный зазорl3 = 0,2 мм. Размеры магнитной цепи на рис. 3.12 даны в мм.

Определить величину тока в обмотке, расположенной на среднем стержне, при котором в якореАсоздается магнитная индукцияВА=1,2 Тл.

Рис. 3.12

Решение. Разделим магнитную цепь по оси симметрии(ОО')на две равные части. Каждая часть рассчитывается отдельно, как неразветвленная неоднородная магнитная цепь. Магнитный поток Ф в каждой части определяется по заданной магнитной индукции в якореФ=ВАSА= Вб, гдеSA= м2.

В каждой части (половине) вычисленный магнитный поток замыкается через якорь, Ш–образный участок магнитопровода и два воздушных зазора.

1. По вычисленному потокуФопределяем магнитную индукцию в однородных участках:

на участке  Тл, где м2;

на участке  Тл, где  м2

в зазоре бокового стержня –В32 = В2=1,2 Тл;

в зазоре среднего стержня – В311 = 1,4Тл;

в якоре – ВА =1,2 Тл.

2. Напряженность магнитного поля для ферромагнитных участков (Приложение 5):

НA =540 А/м,Н1 = 1 580 А/м,H2 = 840 А/м.

Напряженность в воздушных зазорах:

А/м, А/м

3. Величину тока определяем из уравнения, составленного по закону полного тока:

Длина средней линии каждого участка:

lА = 35 +115 + 35=185 мм=18,5 м,l3 = 0,2 мм = 0,2м,l1=280 –70–35 = 175 мм = 17,5 м (длиной зазора пренебрегаем),l2 = 175 + 115 = 290 мм = 29 м (длиной зазора пренебрегаем).

Таким образом, индукцию = 1,2 Тл в якоре разветвленной магнитной цепи (рис. 3.12) создает токI =2А.

Расчет несимметричной разветвленной магнитной цепи осуществляется с использованием схем замещения или графоаналитическим методом, так как магнитная цепь нелинейна. Эти методы расчета и примеры расчета приведены в рекомендованной литературе.

Вопросы для самопроверки

1. Что представляют собой магнитные цепи, и как они классифицируются?

2. Запишите и проанализируйте закон Ома для магнитной цепи.

3. Охарактеризуйте согласное и встречное включение обмоток.

4. В какой последовательности решается прямая и обратная задачи расчета однородной магнитной цепи?

5. Как решается прямая задача расчета неоднородной неразветвленной магнитной цепи?

6. Как решается обратная задача расчета неоднородной неразветвленной магнитной цепи?

7. Как рассчитываются разветвленные магнитные цепи?

§3.3. Электромагнитная индукция

В проводнике, пересекающем магнитное поле, индуктируется Э.Д.С. электромагнитной индукции.Явление наведения Э.Д.С. в проводнике, пересекающем магнитное поле, называется электромагнитной индукцией.

Если проводник длинойl (рис. 3.13) со скоростьюVпересекает магнитное поле с индукциейВ,то вместе с проводником в этом поле перемещаются все заряды (положительные и отрицательные) находящиеся в нем. На каждый перемещающийся направленно в магнитном поле заряд (ток) действует электромагнитная сила, направление которой определяется правилом левой руки. Очевидно, положительные заряды (при заданных условиях) под действием электромагнитных сил будут перемещаться влево, а отрицательные  –вправо. В результате этого разделения зарядов на концах проводника создается разность потенциалов, т. е. Э.Д.С. и проводник становится источником электрической энергии.

Разделенные под действием электромагнитных сил заряды создают в проводнике свое электрическое поле, напряженность которого направлена от положительных зарядов к отрицательным, т. е. против напряженности, созданной электромагнитными силами. Очевидно, разделение зарядов в проводнике, пересекающем магнитное поле, прекратится тогда, когда напряженность разделенных зарядов станет равной напряженности созданной электромагнитными силами.

Направление Э.Д.С. электромагнитной индукции в проводнике определяется правилом правой руки (правую руку располагают так, чтобы магнитные линии поля входили в ладонь, а отогнутый большой палец показывал направление перемещения проводника, тогда вытянутые четыре пальца укажут направление индуктированной в проводнике Э.Д.С). А величина Э.Д.С. – выражением

Е=BVlsin,(3.22)

гдеВ индукция магнитного поля;V скорость пересечения проводником магнитного поля;l длина проводника в магнитном поле;  –угол, под которым проводник пересекает поле.

Если проводник, в котором индуктируется Э.Д.С., замкнуть, то в проводнике протекает ток, который называют индуктированным током. Направление индуктированного тока совпадает с направлением индуктированной Э.Д.С.

Механическая энергия перемещения проводника в магнитном поле (в рассмотренном примере) преобразовалась в электрическую энергию тока в замкнутом проводнике. На принципе такого преобразования механической энергии в электрическую работают электрические генераторы.

На рис. 3.14 видно, что на проводник с индуктированным током действует электромагнитная силаFм,направление которой определяется правилом левой руки. Т. е. электромагнитная силаFмнаправлена против скорости перемещения проводникаV,которая является причиной возникновения индуктированного тока. В этом и заключается так называемое правило Ленца, согласно которому:индуктированный ток всегда противодействует причине, вызвавшей его.

Если по проводнику, расположенному в магнитном поле, пропустить ток, то электрическая энергия тока в проводнике преобразуется в механическую энергию движения проводника под действием электромагнитной силы взаимодействия тока с магнитным полем. Такое преобразование электрической энергии в механическую имеет место в электрических двигателях. В перемещающемся под действием электромагнитной силы проводнике, расположенном в магнитном поле, появляется индуктированный ток (если цепь проводника замкнута), направленныйпротив тока, вызывающего перемещение проводника, т. е. опять подтверждается правило Ленца.

Рис. 3.13                                   Рис. 3.14Рис. 3.15

Если магнитное поле (даже неоднородное) с неравномерной скоростью пересекает замкнутый контур, то Э.Д.С.  электромагнитной индукции в этом контуре определяется по закону электромагнитной индукции

                                                    (3.23)

те. ЭДС электромагнитной индукции в замкнутом контуреравна скорости изменения магнитного потока , сцепленногос этим контуром, с отрицательным знаком. Знак «– » отражает правило Ленца.

Из выражения (3.23) следует, что ЭДС электромагнитной индукции возникает только при изменении магнитного потока (для постоянного потока).

Если переменный магнитный поток пронизывает катушку с числом витковW,то индуктированная в этой катушке ЭДС будет вWраз больше, чем ЭДС в каждом витке (контуре), т. е.

ЭДС в катушке  Произведениеназываютпотокосцеплением, тогда

                                                    (3.24)

т. е. ЭДС электромагнитной индукции в катушке равна скорости изменения потокосцепления со знаком « –». И здесь знак « –» отражает правило Ленца.

Если по катушке пропустить токI, то созданный током магнитный поток Ф в катушке пропорционален току, т. е. Ф. Следовательно, и потокосцеплениепропорционально току. Из этого вытекает, что для каждой катушки отношение /Iвеличина постоянная. Это отношение обозначается буквойL и называется индуктивностью, т. е.

                                                     (3.25)

Измеряется индуктивность в Генри (Гн).

Индуктивностьскалярная величина, равная отношению потокосцепления самоиндукции элемента электрической цепи к току в нем. Индуктивность – это параметр катушки, контура, проводника.

Индуктивность кольцевой катушки (рис. 3.3, а) может бытьопределена так:

,                                        (3.26)

где= μ0μrL, т. е. индуктивность катушки пропорциональнаквадрату числа витков этой катушки и зависит от габаритов и материала сердечника катушки.

Если по катушке с индуктивностьюLпропустить переменный токi (рис. 3.15), то он создает в катушке переменный магнитный поток, который пронизывает витки катушки и индуктирует в них Э.Д.С. самоиндукцииL). Явление наведения Э.Д.С. самоиндукции в проводнике, контуре или катушке, вызванное изменением тока в самом проводнике, контуре или катушке, называют явлением самоиндукции

.                                       (3.27)

Таким образом, ЭДС самоиндукцииеLв проводнике, контуре или катушке пропорциональна скорости изменения тока  в этом проводнике, контуре или катушке со знаком «– ». Знак «–» отражает правило Ленца.

Если по катушке с индуктивностьюLпроходит токI, то в магнитном поле этой катушки накапливается энергия, величина которой определяется формулой

.                                                  (3.28)

Если две или несколько катушек расположены так, что магнитный поток одной из них пронизывает витки остальных, то такие катушки называются магнитно-связанными.

Если по одной из магнитно-связанных катушек, например первойW1(рис. 3.16,а),пропустить токi1( то он создает в этой катушке магнитный потокФ1i1,часть которогоФ1,2i:пронизывает витки второй катушкиW2создавая потокосцепление1,2= Ф1,2i1. Часть магнитного потокаФ1 рассеиваетсяФР1.

Если по второй катушкеW2(рис. 3.16,а)проходит токi2то в ней магнитный потокФ2i2, часть которого2,1i2пронизывает витки первой катушкиW1создавая потокосцепление2,1Ф2,1W1i2

Следовательно, для двух магнитно-связанных катушек отношение

                                               (3.29)

величина постоянная, обозначается буквойМи называется взаимной индуктивностью этих катушек.

а)б)

Рис. 3.16

Взаимная индуктивность —скалярная величина, равная отношению потокосцепления взаимной индукции одного элемента электрической цепи к току в другом элементе, обусловливающему это потокосцепление. Взаимная индуктивностьМэто параметр магнитно–связанных проводников, контуров или катушек.

Если на магнитопроводе неразветвленной магнитной цепи (рис. 3.16,б)расположены две катушкиW1иW2,то при отсутствии рассеяния (магнитный поток каждой катушки полностью замыкается в магнитопроводе и пронизывает другую катушку) взаимная индуктивность этих катушек

,                                              (3.30)

гдеlобщая длина магнитопровода;Sсечение магнитопровода, а

.

Таким образом, взаимная индуктивность двух магнитно–связанных катушек пропорциональна произведению числа витков этих катушек и зависит от габаритов и материала магнитопровода, на котором расположены эти катушки.

Каждая из рассмотренных магнитно-связанных катушек (рис. 3.16,6)обладает индуктивностью:

и

Произведение этих индуктивностей:

.                             (см. (3.30))

Следовательно, при отсутствии рассеяния,

.

или в общем случае:

.(3.31)

КоэффициентКназывают коэффициентом связи двух магнитно-связанных катушек

.                                                 (3.32)

Он показывает, какая часть созданного катушками магнитного потока пронизывает одновременно обе магнитно–связанные катушки. Коэффициент связи может изменяться от нуля до единицы. При отсутствии рассеяния магнитного потокаК=1, а при отсутствии магнитной связиК = 0.

Если по одной из магнитно –связанных катушек (рис. 3.16), например первой, пропустить переменный токi1, то он создает в ней переменный магнитный потокФ1,часть которогоФ1,2пронизывает витки второй катушкиW2и индуктирует в них ЭДС взаимоиндукциием2 . Явление наведения ЭДС взаимоиндукции в одной из магнитно-связанных катушек, вызванное изменением тока в другой катушке, называется явлением взаимоиндукции.ЭДС взаимоиндукции во второй катушке:

                                       (3.33)

т. е. ЭДС взаимоиндукции в одной из магнитно-связанных катушек пропорциональна скорости изменения тока в другой катушке со знаком «–», следовательно:

.                                                    (3.34)

Знак « –» отражает правило Ленца.

Принцип работы электрических трансформаторов основан на явлении взаимоиндукции.

При прохождении переменного тока по обмоткам электрических машин, трансформаторов и других аппаратов в сердечниках этих аппаратов создается переменный магнитный поток. Этот магнитный поток в каждом слое сердечника индуктирует токи, которые называются вихревыми токами. Вихревые токи –электрические токи в проводящем теле, вызванные электромагнитной индукцией, замыкающиеся по контурам, в каждом слое сердечника. Вихревые токи нагревают сердечники и вызывают потери энергии. Потери энергии за счет вихревых токов называют потерями на вихревые токи. Для уменьшения этих потерь сердечникивыполняются из отдельных пластин, ленты или прессованного порошка с большим электрическим сопротивлением.

В индукционных печах вихревые токи используют для нагревания заготовок. Вихревые токи используются в электроизмерительных приборах. Принцип действия индукционных приборов (счетчики) базируется на вихревых токах. Вихревые токи используются в магнитно-индукционных успокоителях некоторых приборов.

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается явление электромагнитной индукции, и как определяется величина и направление ЭДС электромагнитной индукции в проводнике?

2. Сформулируйте и объясните правило Ленца.

3. Как определяются ЭДС электромагнитной индукции в замкнутом контуреи катушке?

4. Что такое индуктивность, и от чего она зависит для кольцевой нагрузки.

5. В чем заключается явление самоиндукции, и как определяется ЭДС самоиндукции?

6. Как определяется величина энергии магнитного поля.

7. Что такое взаимная индуктивность магнитно-связанных контуров или

катушек?

8. От чего зависит взаимная индуктивность двух магнитно-связанных катушек?

9. Что такое коэффициент связи, и в каких пределах он может изменяться?

10. В чем заключается явление взаимоиндукции, и как определяется ЭДС взаимоиндукции в каждой из магнитно-связанных катушек?

11. Что такое вихревые токи?

12. Как в электромагнитах уменьшают потери от вихревых токов?

13. Где используются вихревые токи?

4.ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

§4.1.Линейные цепи переменного тока. Основные сведения .

Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения.

До конца XIX в. использовались только источники постоянного тока – химические элементы и генераторы. Это ограничивало возможности передачи электрической энергии на большие расстояния. Как известно, для уменьшения потерь в линиях электропередачи необходимо использовать очень высокое напряжение. Однако получить достаточно высокое напряжение от генератора постоянного тока практически невозможно. Проблема передачи электрической энергии на большие расстояния была решена только при использовании переменного тока и трансформаторов. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

Переменный ток имеет ряд преимуществ по сравнению с постоянным:

  • генератор переменного тока значительно проще и дешевле генератора постоянного тока; переменный ток можно трансформировать;
  • переменный ток легко преобразуется в постоянный;
  • двигатели переменного тока значительно проще и дешевле, чем двигатели постоянного тока.

В принципе переменным током можно назвать всякий ток, который с течением времени изменяет свою величину, но в технике переменным токомназывают такой ток, который периодически изменяет и величину, и направление. Причем среднее значение силы такого тока за периодТравно нулю. Периодическим переменный ток называется потому, что через промежутки времени, кратныеТ,характеризующие его физические величины принимают одинаковые значения. Русское название «переменный» не вполне точно отражает это обстоятельство (более точен английский термин «alternating» – чередующийся). При изучении электричества и электротехники вам встретятся различные токи, которые изменяются (не периодически) по величине, а не по направлению - они переменными в указанном смысле не являются. Например, токи замыкания и размыкания цепей постоянного тока, содержащих индуктивности и (или) емкости, нельзя считать переменными.

В электротехнике наибольшее распространение получил синусоидальный переменный ток, т.е. ток, величина которого изменяется по закону синуса (или косинуса), обладающий рядом достоинств по сравнению с другими периодическими токами.

Переменный ток промышленной частоты получают на электростанциях с помощью генераторов переменного тока (трехфазных синхронных генераторов). Это довольно сложные электрические машины, которые мы будем изучать в конце курса электротехники. Сейчас мы рассмотрим только физические основы их действия, т.е. идею получения переменного тока.

§2.Источники электрической энергии синусоидального тока.

Промышленными источниками синусоидального тока являются электромеханические генераторы, в которых механическая энергия паровых или гидравлических турбин преобразуется в электрическую. Конструкция и работа промышленных электромеханических генераторов будут подробно рассмотрены в дальнейшем. Здесь ограничимся лишь анализом принципа работы такого генератора при упрощающих допущениях. Принципиальная конструкция двухполюсного электромеханического генератора содержит неподвижный, плоский разомкнутый виток с выводами и постоянный магнит, который вращается с постояннойчастотойf,т. е. с постояннойугловой скоростью = 2f рад/с, внутри витка.

Основная единица частоты в системе СИ – герц (Гц), 1 Гц = 1 с– 1. Величина, обратная частоте, называетсяпериодомТ =1/fс.

Пусть магнитный поток постоянного магнита равен Фт. Из пространственного распределения магнитного потока следует, что мгновенное значение составляющей магнитного потока, пронизывающей виток, т. е. направленной вдоль осих,равно:

Фх = Фтcos(t +) =Фтsin(t +ф), где

Фт – максимальное значение (амплитуда) магнитного потока, пронизывающего виток;  – начальный (т. е. в моментt =0 принятый за начало отсчета времени) угол пространственного расположения постоянного магнита относительно оси х;

ф =/2 + – начальная фаза магнитного потока;

(t +ф) – фаза магнитного потока.

Здесь и в дальнейшемначальная фазаопределяет значениесинусоидальнойфункции в момент времениt= 0.

Согласно закону электромагнитной индукции при изменении потокосцепления витка в нем индуктируется ЭДС, положительное направление которой (рис. 1) связывают с положительным направлением потока Фтправилом буравчика (положительное направление ЭДС совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика, ввинчивающегося в направлении магнитного потока Фх),

e = –dФx /dt =  –Фmcos(t +Ф) =Еmsin(t +e)

гдеЕт= Фт – амплитуда ЭДС;е=Ф/2 = – начальная фаза ЭДС.

Принято синусоидальные величины принято изображать графиками в виде зависимостей отt. Поэтому начальная фаза определяет смещение синусоидальной величины относительно начала координат, т. е.t = 0. Начальная фаза отсчитывается вдоль оси абсцисс от ближайшего к началу координат нулевого значения синусоидальной величины при ее переходе от отрицательных значений к положительным до начала координат. Если начальная фаза больше (меньше) нуля, то начало синусоидальной величины сдвинуто влево, как на рис. 2, (вправо) от начала координат. Если к выводамаиbгенератора подключить резистор с сопротивлением нагрузкиrн, то в полученной цепи возникает синусоидальный токi.

На рис. 3 приведена схема замещения электромеханического генератора, в которой резистивныйrвт ииндуктивныйLвтэлементы отображают внутренние параметры генератора: сопротивление проводов и индуктивность витка.

Если параметрами резистивного и индуктивного элементов в схеме замещения генератора можно при расчете в цепи пренебречь, то его схемой замещения будет идеальныйисточник синусоидальной ЭДСилиисточник синусоидального напряжения.Если ток в цепи генератора не зависит от параметров внешней цепи, то схемой замещения генератора будет идеальныйисточник синусоидального токаJ(t)(рис. 2),гдеJ(t)=Iк– ток генератора при коротком замыкании его выводоваиb.

Источники ЭДС и тока называютсяактивными элементами,а резистивные, индуктивные и емкостные элементы –пассивными элементамисхем замещения.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

Пусть в однородном магнитном поле постоянного магнита равномерно вращается с угловой скоростьюрамка площадьюS. Магнитный поток через рамку

Ф =BScos,(4.1)

гдеугол между нормалью к рамкеn и вектором магнитной индукцииВ

Поскольку при равномерном вращении рамкиугловая скорость

,

то уголбудет изменяться по закону

= t,

формула примет вид

Ф =BScos t.(4.2)

Величинутакже называюткруговой частотой.Поскольку при вращении рамки пересекающий ее магнитный поток все время меняется, то по закону электромагнитной индукции в ней будет наводиться ЭДС индукции

.

гдеЕ0 = BSамплитуда синусоидальной ЭДС, обозначаетсяЕm. Таким образом, в рамке возникнет синусоидальная ЭДС:

,(4.3)

а если замкнуть рамку на нагрузку, то в цепи потечет синусоидальный ток:

.(4.4)

Напряжение на полюсах генератора равно напряжению на нагрузке

.(4.5)

Значение переменной ЭДС (а также тока и напряжения) в данный момент времени называетсямгновенным значением.Величину

,(4.6)

стоящую под знакомсинуса или косинуса, называютфазой колебаний,описываемых этими функциями. Фаза определяет значение ЭДС в любой момент времениt.Фаза измеряется в градусах или в радианах. Величинаf называетсячастотойколебаний, и она связана с круговой частотой соотношением =2f .

ВремяТодного полного изменения Э.Д.С. (это время одного оборота рамки) называютпериодомЭ.Д.С.

Периодомназывается время, за которое переменная величина (Э. Д. С., ток, напряжение) совершает полное колебание, т. е. претерпевает полный цикл изменений. ПериодТизмеряется в секундах (с).

Изменение Э.Д.С. со временем может быть изображено на временной диаграмме(синусоида).

Частотойпеременного тока называется число периодов за единицу времени (за секунду). Частотаf измеряется в герцах (Гц). По смыслу определения период и частота переменного тока – величины обратные.Частота колебаний связана с периодом соотношением

.(4.7).

Если период измеряется в секундах,то частота вгерцах(Гц). В большинстве стран, включая Россию, промышленная частота переменного тока составляет 50 Гц (в США, Канаде и Японии – 60 Гц).

Величина промышленной частоты переменного тока обусловлена технико-экономическими соображениями. Если она слишком низка, то увеличиваются габариты электрических машин и, следовательно, расход материалов на их изготовление; заметным становится мигание света в электрических лампочках. При слишком высоких частотах увеличиваются потери энергии в сердечниках электрических машин и трансформаторах. Поэтому наиболее оптимальными оказались частоты 50-60 Гц. Однако в некоторых случаях используются переменные токи как с более высокой, так и с более низкой частотой. Например, в самолетах применяется частота 400 Гц. На этой частоте можно значительно уменьшить габариты и вес трансформаторов и электромоторов, что для авиации более существенно, чем увеличение потерь в сердечниках.

На железных дорогах используют переменный ток с частотой 25 Гц и даже 16,66 Гц.

Для получения токов высокой частоты (более 10 кГц) используются полупроводниковые и ламповые генераторы. Относительно невысокие частоты (до 10 кГц) генерируют специальные высокочастотные синхронные генераторы.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называютсяпериодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, -периодом Т. Для периодического тока имеем

i =F(t) =F(t +T)

Величина, обратная периоду, естьчастота,  измеряемая в герцах (Гц):

f =

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0,01–10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (свыше 10 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В Российской Федерации промышленная частотаf = 50 Гц.

Мгновенное значение переменной величины естьфункция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

i – мгновенное значение токаi(t);

u – мгновенное значение напряженияu(t);

е – мгновенное значение ЭДСe(t);

р – мгновенное значение мощностиp(t).

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называетсяамплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексомm).

Im – амплитуда тока;

Um – амплитуда напряжения;

Em – амплитуда ЭДС.

§4.3.Синусоидально изменяющийся ток

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получилсинусоидальный ток.

В линейной цепи при действии синусоидальной ЭДС токи также синусоидальные:

i=Imsin (t +),(4.8)

гдеугловая частота, – начальная фаза,Imмаксимальное значение (амплитуда) тока.

Средним значениемсинусоидальной величины считают ее среднее значение за положительный полупериод совпадающее со средним значением по модулю.

Среднее значение тока измеряется приборами магнитоэлектрической системы, измерительная цепь которых содержит выпрямитель тока.

Синусоидальный ток в резистивном элементе с сопротивлениемrвызывает нагрев этого элемента из-за выделения тепловой энергии. Такую же тепловую энергию в этом же резистивном элементе можно получить при некотором постоянном токе. Определенное посредством такого сравнения значение постоянного тока называетсядействующим значениемсоответствующего синусоидального тока.

Для описания характеристик переменного тока необходимо избрать определенные физические величины. Мгновенные и амплитудные значения для этих целей неудобны, а средние значения за период равны нулю. Поэтому вводят понятиедействующих значений тока и напряжения.Они основаны на тепловом действии тока, не зависящем от его направления.

Действующими значениями тока и напряжения называют соответствующие параметры такого постоянного тока, при котором в данном проводнике за данный промежуток времени выделяется столько же теплоты, что и при переменном токе.При изменении тока по синусоиде его действующее значение меньше его амплитудного значения в √2раз, т. е. для синусоидального тока действующее значение меньше максимального  раз:

(4.9)

гдеI – действующее значение тока.

Аналогична зависимость между действующим и максимальным значением для напряжения и ЭДС имеет вид:

;(4.10, 4.11)

Известно несколько способов представления синусоидально изменяющихся величин: а виде тригонометрических функций, в виде графиков изменений во времени, в виде вращающихся векторов.

Рассмотрим параметры сети переменного тока представленные в виде функций изменяющихся во времени.

Резистивный элемент в цепях переменного синусоидального тока.

Рассмотрим цепь синусоидального тока, в которую включен резистивный элемент.

Если ток в резистивном элементе синусоидальный:

ir=Irmsin (t  +),(4.12)

то по закону Ома напряжение, приложенное к элементу, равно:

иr =  rir= r Irm sin (t  +)=Urm sin (t  +)

где амплитуды тока и напряжения связаны соотношением

Urm =rIrm

а их начальные фазы одинаковы:u =i

т. е. ток и напряжение в резистивном элементе изменяются синфазно – совпадают по фазе. Разделив правую и левую части выражения на , получим соотношение для действующих значений напряжения и тока резистивного элемента:

Ur=rIr.

Построим векторную диаграмму действующих значений тока и напряжения для цепи с резистивным элементом. Для этого горизонтально построим вектор тока в выбранном масштабе. Т. к. в такой цепи ток и напряжение совпадают по фазе, вектор напряженияU откладываем по направлению вектора тока.

В любой момент времени мощность резистивного элемента (мгновенное значение мощности)

р=и i = U I sin2t = U rm I rm(1 –cos2at) /2.

Средняя за период мощность, т.е. активная мощность резистивного элемента

Pr = UrIr = rIr.2 =Ur2/r,

где ,  – действующие значения напряжения и тока.

В цепях синусоидального тока к резистивным элементам относятся лампы накаливания,

электронагревательные приборы, реостаты и прямолинейные проводники малой длины.

§4.4. Индуктивность в цепи переменного синусоидального тока.

Прохождение электрического тока по проводнику или катушке сопровождается появлением магнитного поля. Рассмотрим электрическую цепь переменного тока, в которую включена катушка индуктивности, имеющая небольшое количество витков проволоки сравнительно большого сечения, активное сопротивление которой можно считать практически равным нулю.

Под действием Э.Д.С. генератора в цепи протекает переменный ток, возбуждающий переменный магнитный поток. Этот поток пересекает «собственные» витки катушки и в ней возникает электродвижущая сила самоиндукции

ec=–L,гдеL – индуктивность катушки, –  скорость изменения тока в ней.

Электродвижущая сила самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда противодействует причине, вызывающей ее. Так как Э.Д.С. самоиндукции всегда противодействует изменениям переменного тока, вызываемым Э.Д.С. генератора, то она препятствует прохождению переменного тока. При расчетах это учитывается по индуктивному сопротивлению, которое обозначаетсяXL и измеряется в омах.

Рис.4.1. Цепь переменного тока с индуктивностью: а –  схема,б– векторная  диаграмма,в – волновая диаграмма.

Таким образом, индуктивное сопротивление катушкиXLзависит от величины э. д. с. самоиндукции, а следовательно, оно, как и э.д. с. самоиндукции, зависит от скорости изменения тока в катушке (от частоты) и от индуктивности катушкиL:

XL=L(4.13)

гдеXL– индуктивное сопротивление,Ом; – угловая частота переменного тока,рад/сек;

L– индуктивность катушки,гн.

Так как угловая частота переменного тока = 2, то индуктивное сопротивление

XL= 2L(4.14)

гдеf– частота переменного тока,гц.

Индуктивное сопротивление катушки повышается с увеличением частоты переменного тока, протекающего по ней. По мере уменьшения частоты тока индуктивное сопротивление убывает. Для постоянного тока, когда ток в катушке не изменяется и магнитный поток не пересекает ее витки, э. д. с. самоиндукции не возникает, индуктивное сопротивлений катушкиXLравно нулю. Катушка индуктивности для постоянного тока представляет собой лишь сопротивление

r=(4.15)

Выясним, как изменяется э. д. с. самоиндукции, когда по катушке индуктивности протекает переменный ток.

Известно, что при неизменной индуктивности катушки э. д. с. самоиндукции зависит от скорости изменения силы тока и она всегда направлена навстречу причине, вызвавшей ее.

Ток в цепи и Э.Д.С. самоиндукции не совпадают по фазе. Ток опережает Э.Д.С. самоиндукции по фазе на четверть периода или на угол = 90°. Необходимо также иметь в виду, что в цепи с индуктивностью, не содержащейr,в каждый момент времени электродвижущая сила самоиндукции направлена навстречу напряжению генератораU.В связи с этим напряжение и Э.Д.С. самоиндукцииес также сдвинуты по фазе друг относительно друга на 180°.

Из изложенного следует, что в цепи переменного тока, содержащей только индуктивность, ток отстает от напряжения, вырабатываемого генератором, на угол = 900 (на четверть периода) и опережает Э.Д.С. самоиндукции на 90°. Можно также сказать, что в индуктивной цепи напряжение опережает по фазе ток на 90°.

Построим векторную диаграмму тока и напряжения для цепи переменного тока с индуктивным сопротивлением. Для этого отложим вектор тока I по горизонтали в выбранном нами масштабе.Чтобы на векторной диаграмме показать, что напряжение опережает по фазе ток на угол = 90°, откладываем вектор напряженияU вверх под углом 90°.

Закон Ома для цепи с индуктивностью можно выразить так:

I =  илиI =  = .(4.16)

Следует подчеркнуть, что имеется существенное отличие между индуктивным и активным сопротивлением переменному току.

Когда к генератору переменного тока подключена активная нагрузка, то энергия безвозвратно потребляется активным сопротивлением.

Если же к источнику переменного тока присоединено индуктивное сопротивлениеr= 0, то его энергия, пока сила тока возрастает, расходуется на возбуждение магнитного поля. Изменение этого поля вызывает возникновение э. д. с. самоиндукции. При уменьшении силы тока энергия, запасенная в магнитном поле, вследствие возникающей при этом Э.Д.С. самоиндукции возвращается обратно генератору.

Под действием Э.Д.С. самоиндукции энергия магнитного поля возвращается к источнику энергии – генератору. Генератор в это время работает в режиме двигателя, преобразуя электрическую энергию в механическую.

В третью четверть периода сила тока в цепи под действием э. д. с. генератора увеличивается, и при этом ток протекает в противоположном направлении. В это время энергия генератора вновь накапливается в магнитном поле индуктивности.

В первую и третью четверть каждого периода генератор переменного тока расходует свою энергию в цепи с индуктивностью на создание магнитного поля, а во вторую и четвертую четверть каждого периода энергия, запасенная в магнитном поле катушки в результате возникающей Э.Д.С. самоиндукции, возвращается обратно генератору. Из этого следует, что индуктивная нагрузка в отличие от активной в среднем не потребляет энергию, которую вырабатывает генератор, а в цепи с индуктивностью происходит «перекачивание» энергии от генератора в индуктивную нагрузку и обратно, т. е. возникают колебания энергии.

Из сказанного следует, что индуктивное сопротивление является реактивным. В цепи, содержащей реактивное сопротивление, происходят колебания энергии от генератора к нагрузке и обратно.

§4.5. Ёмкость в цепи переменного синусоидального тока.

Рассмотрим цепь переменного тока в которую включена электрическая ёмкость (конденсатор). Активным сопротивлением цепи пренебрегаем (r = 0).

При заряде конденсатора по проводам, соединяющим генератор с пластинами, перемещаются электрические заряды, следовательно, протекает зарядный ток, измеряемый миллиамперметром, Через диэлектрик конденсатора ток не проходит. Как видно на волновой диаграмме что за один период изменения переменного напряжения дважды происходит процесс заряда и разряда конденсатора и при этом в его цепи протекает переменный ток. Кроме того, при заряде и разряде конденсатора ток в цепи и напряжение не совпадают по фазе. Ток опережает по фазе напряжение на четверть периода, т. е. на 90°.

Построим векторную диаграмму для цепи переменного тока с ёмкостью.

Метод векторных диаграмм, т. е. изображение величин, характеризующих переменный ток векторами, а не тригонометрическими функциями, чрезвычайно удобен. Поэтому кратко изложим его основы. Переменный ток в отличие от постоянного характеризуется двумя скалярными величинами - амплитудой и фазой. Поэтому для математического описания переменного тока необходим математический объект, также характеризуемый двумя скалярными величинами. Существуют два таких математических объекта (из известных вам) – это вектор на плоскости и комплексное число. В теории электрических цепей и те и другие используются для описания переменных токов.

Для этого отложим вектор тока I в выбранном масштабе по горизонтали. Чтобы на. векторной диаграмме показать, что напряжение отстает от тока на угол = 90°, откладываем вектор напряжения Uc вниз под углом 90°.

Выясним, от чего зависит сила тока в цепи с емкостью. Обозначим сопротивление цепи Хс и назовем его ёмкостным сопротивлением. Тогда закон Ома для цепи с емкостью можно выразить так:

I =(4.17)

гдеUнапряжение генератора, в; Хсёмкостное сопротивление,Ом; I– сила тока,А.

Известно, что сила тока в цепи определяется количеством электрических зарядов, проходящих через поперечное сечение проводника в единицу времени:

i =.

Если в единицу времени по проводам протекает большое количество зарядов, то сила тока будет большой, и наоборот, когда по проводам в каждую секунду протекает малое количество зарядов, то сила тока оказывается незначительной.

Допустим, что частота переменного тока, вырабатываемого генератором, большая. В этом случае в каждую секунду конденсатор много раз (часто) заряжается и разряжается. В проводах, идущих от генератора к пластинам конденсатора, будет перемещаться в каждую секунду большое количество электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что в рассматриваемой цепи возникает большая сила тока и в данном случае, согласно закону Ома, емкостное сопротивление цепи Хсоказывается малой величиной.

Если же частота переменного тока генератора будет мала, то конденсатор в каждую секунду зарядится и разрядится меньшее количество раз. В связи с этим по проводам цепи в каждую секунду пройдет незначительное количество зарядов и сила тока будет мала, а следовательно, емкостное сопротивление цепи, наоборот, будет большим.

Из сказанного можно сделать вывод, что емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте переменного тока.

Емкостное сопротивление зависит не только от частоты переменного тока, но и от величины емкости, включенной в цепь.

Допустим, что в цепь включен конденсатор большой емкости, Количество электричества, которое накапливает конденсатор при заряде и отдает при разряде, прямо пропорционально его емкости;

q =CU.

Чем больше емкость конденсатора, включенного в цепь переменного тока, тем большее количество электричества переместится при заряде и разряде по проводам, идущим от генератора к его пластинам. Поэтому в проводах возникает ток большой силы и в данном случае, согласно закону Ома, емкостное сопротивление цепи Хсбудет мало. Если же включенная в цепь емкость мала, то при заряде и разряде по проводам пройдет меньшее количество электрических зарядов и сила тока будет незначительной, следовательно, емкостное сопротивление цепи, наоборот, будет большим.

Из сказанного можно сделать вывод, что ёмкостное сопротивление обратно пропорционально ёмкости.

Таким образом, емкостное сопротивление:

Xc = (4.18)

где Хс – ёмкостное сопротивление,Ом; – угловая частота переменного тока,рад/сек;

С – емкость,ф.Известно, что угловая частота.= 2.

Поэтому емкостное сопротивление можно определить так:

Xc = , (4.19)

где – частота переменного тока,гц

Следует подчеркнуть, что имеется существенное различие между емкостным и активным сопротивлениями. Как известно, активная нагрузка безвозвратно потребляет энергию генератора переменного тока.

Если же к источнику переменного тока присоединена ёмкость, то, как было рассмотрено выше, энергия генератора расходуется при заряде конденсатора на создание электрического поля между пластинами и возвращается обратно генератору при разряде конденсатора.

Следовательно, емкостная нагрузка не потребляет энергию генератора, а в цепи с емкостью происходит «перекачивание» энергии из генератора в конденсатор и обратно. По этой причине емкостное сопротивление, как и индуктивное, называется реактивным.

Ранее уже применялись представления синусоидально изменяющихся величин в виде тригонометрических функций, и в виде графика изменений во времени.

Теперь рассмотрим представление синусоидально изменяющихся величин в виде вращающихся векторов.

При описании электрической цепи переменного тока с помощью векторных диаграмм каждому току и напряжению сопоставляется вектор на плоскости в полярных координатах, длина которого равна амплитуде тока или напряжения, а полярный угол равен соответствующей фазе.

Для представления синусоидально изменяющейся величины:

а=Amsin (t +),

с начальной фазой вращающимся вектором построим радиус-вектор Аmэтой величины длиной (в масштабе построения), равной амплитуде Аm,и под углом к горизонтальной оси. Это будет его исходное положение в момент начала отсчета времениt= 0.

Если радиус-вектор вращать с постоянной угловой скоростью против направления движения часовой стрелки, то его проекция на вертикальную ось будет равна

Amsin (t +).

Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты.

По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДСе1 ие2соответствуют уравнения:

e1=E1msin(ωt +Ψe1);e2=E2msin(ωt +Ψe2).

Рис. 4.2. Графиксинусоидальных ЭДСе1 ие2

Значения аргументов синусоидальных функций (ωt +Ψe1) и (ωt +Ψe2) называютсяфазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени (t = 0):Ψe1 иΨe2начальной фазойΨe1 > 0 иΨe2.< 0.

Величину, характеризующую скорость изменения фазового угла, называютугловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на 2 рад., то угловая частота есть

=2f, гдеf– частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называютуглом сдвига фаз.

Для синусоидальных ЭДС е1 и е2угол сдвига фаз:

α = (ωt +Ψe1) – (ωt +Ψe2) =Ψe1Ψe2.

Векторное изображение синусоидально изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДСе1 ие2(рис. 4.3а). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называютвекторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени (t = 0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4.3б). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Рис. 4.3. Векторные диаграммысинусоидальных ЭДСе1 ие2

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 4.4) общий токi3равен сумме токовi1 иi2двух ветвей:

i1 +i2 =i3

Рис. 4.4.

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

i1=I1m sin(ωt +Ψ1)иi2=I2m sin(ωt +Ψ2).

Результирующий ток также будет синусоидален:

i3=I1m sin(ωt +Ψ1) +I2m sin(ωt +Ψ2).=I3m sin(ωt +Ψ3).

Определение амплитудыI3m и начальной фазы3 этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

Рис. 4.5. Диаграмма токов

На рис. 4.5 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов дляt = 0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

.

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значенияI3m и3из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значенияi3путем формального учета угловой частоты:

i3=I3msin(ωt +Ψ3).

§4.6.Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами.

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Рис. 4.6. Изображение вектора на комплексной плоскости

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в:

показательнойå  =аеjΨ

тригонометрическойå =acos Ψ +asin Ψили

алгебраическойå =b +jc– формах.

Например, Э.Д.С.e=Emsin(ωt +Ψe), изображенной на рис. 4.6. вращающимся вектором, соответствует комплексное число

Emej(ωt + Ψe) =Em cos(ωt +Ψe) +j Em sin(ωt +Ψe) =e΄ +je.

Фазовый угол (ωt +Ψe) определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

tg(ωt +Ψe) =.

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

e =Em sin(ωt +Ψe) =Im {Emej(ωt + Ψe)}                                (4.20)

Комплексное числоEmej(ωt +Ψe) удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

Emej(ωt + Ψe) =Emej Ψeejωt =Ėmejωt                                   (4.21)

ПараметрĖm, соответствующий положению вектора дляt = 0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой:Ėm =Emejωt, а параметрĖmj(ωt +Ψe) – комплексом мгновенного значения.

Параметрejωtявляется оператором поворота вектора на уголwt относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворотаe±jα есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±α.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака « j » произведения комплекса амплитуды  и оператора поворотаejωt:

e =Emsin(ωt +Ψe) =Im {Emej(ωt +Ψe)}.

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

e = a cosα +a sin α                                   (4.22)

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

Ůmm +jŰm,

– то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу ΨU, т.е. угол, который образует вектор  с положительной полуосью +1:

tgΨU =.

Тогда мгновенное значение напряжения:

U = Im {Ůmejωt} =Um sin(ωt +ΨU).

гдеΨU =arctg

При записи выражения для определенности было принято, чтоÚm> 0, т.е. что изображающий вектор находится в первой или четвертой четвертях (первом или четвёртом квадрантах). ЕслиÚm< 0, то приŰ > 0 (второй квадрант), а приŰ < 0 (третий квадрант)

Если задано мгновенное значение тока в видеi =Imsin(ωt +Ψi), то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

İ = ImejΨi = Im cos Ψi +j Im sin Ψi = I'm + j I"m

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего токаi3 по рис. 4.4. получим:

İ3 =İ1m +İ2m = I1m + I2m = I1m(cos Ψ1 +j sin Ψ1) +I2m(cos Ψ2 +j sin Ψ2) =

=(I1m cos Ψ1 +I2m cos Ψ2) + j(I1m sin Ψ1 +I2m sin Ψ2) =I3m cos Ψ3 +j I3m sin Ψ3 =

= I3mejΨ3

где

;

tg Ψ3 =.

Методы расчёта электрических цепей переменного тока при помощи комплексных чисел основаны на изображении синусоидальных величин векторами, вместе с тем, каждому векторуāсоответствует комплексное числоz, которое можно выразить в форме:

  • алгебраической –z =a +bi;
  • тригонометрической –z =r(cos +isin);
  • показательной –z =rei,

где , – угол тангенс которого равен .

Это дает основание от графического (векторного) выражения синусоидальных напряжений и токов перейти к аналитическому выражению их комплексными числами, а операции с векторами заменить алгебраическими действиями.

При расчете электрических цепей переменного тока используют или определяют следующие величины: Э.Д.С., напряжения, токи,coпротивления и проводимости, мощность. Все эти величины должны быть выражены в символической форме, т. е. комплексными числами.

Подобно тому, как на векторных диаграммах длины векторов выражают действующие величины, комплексные выражения э. д. с., напряжений и токов записывают так, что модули их также равны действующим величинам.

Комплексы синусоидально изменяющихся величин принято отмечать точками над их буквенными обозначениями (например, комплексы напряжения , тока ). Комплексы величин, не зависящих от времени (например, сопротивлений, проводимостей), обозначают большими буквами без точек, но с чертой снизу, например . Вместо употребляющегося в математике обозначения мнимой единицыi в электротехнике принято обозначение , причём под углом понимается угол сдвига фаз, то есть угол между векторами тока и напряжения.

Рассмотрим несколько практических заданий с использованием символического метода

Задача 1.Два тока заданы уравнениями:

Определить: уравнение тока

Решение:

1. По заданным уравнениям запишем токи в комплексной показательной форме

2. Изображаем вектора токов на комплексной плоскости.

Выбираем масштаб по току

Вычитание векторов заменим сложением    с  вектором   равным по величине, но противоположно направленным вектору

Длина вектора :

3. Составляем уравнение вектора

Задача 2.Определить символическим методом напряжение на зажимахисточника, токи и мощность в цепи для которой известны

R1 = 8 Ом,R2 = 9 Ом,XL = 6 Ом,XС = 12 Ом,I1= 9A, гдеI1 – ток в первой ветви.

Решение.Выразим сопротивление ветвей в символической форме:

=R1 +jXL = 8 +j6 = 10ej 37

=R2jXC = 9 –j12 = 15ej 53.

Предположим, что комплекс токавыражается действительным числом (начальная фаза тока  = 0).

=9ej 0 = I1 = 9 (начальную фазу тока можно выбрать произвольно, т. е. считать угол не равным 0).

Напряжение в первой ветви равно напряжению на зажимах источника и напряжению во второй ветви, т. к. участки цепи параллельны:

U = 90B.

Ток во второй ветви

I2 = 6A.

Ток источника

I = 10,8A.

Мощность в цепи (ток по фазе отстаёт от напряжения):

P = 970 ВТ,Q = 46 ВАр,

ВА.

Вопросы для самопроверки

1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?

2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?

3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?

4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока.

e = 220sin (314 t + );i = 14,1sin (314 t – )

записать соответствующие им комплексы амплитуд.

5. На рисунке 4.4.i1 = 2,82sin (ωt – )A, аi2 = 14,1sin (ωt + )A. Определитьi3.

[Ответ:i3 = 15,08sin (ωt +34, 60)A].

5.ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

§5.1. Элементы трехфазной цепи

Трехфазный генератор.

В настоящее время электрическая энергия переменного тока вырабатывается, передается и распределяется между отдельными токоприемниками в системе трехфазных цепей.

Системой трехфазных цепей называют такую совокупность электрических цепей, в которой токоприемники получают питание от общего трехфазного генератора.

В настоящее время трёхфазные системы получили широкое распространение, что объясняется главным образом следующими причинами:

1) при одинаковых условиях питание трёхфазным током позволяет получить значительную экономию материала  проводов по сравнению с тремя однофазными линиями;

2) при прочих равных условиях трёхфазный генератор дешевле, легче и экономичнее, чем три однофазных генератора такой же общей мощности; то же относится к трёхфазным двигателям и трансформаторам;

3) трёхфазная система токов позволяет получить вращающееся магнитное поле с помощью трёх неподвижных катушек, что существенно упрощает производство и эксплуатацию трехфазных двигателей; при равномерной нагрузке трёхфазный генератор создаёт на валу приводного двигателя постоянный момент в отличие от однофазного генератора, у которого мощность и момент на валу пульсируют с двойной частотой тока.

Трехфазным называется такой генератор, который имеет обмотку, состоящую из трех частей. Каждая часть этой обмотки называется фазой. Поэтому эти генераторы и получили название трехфазных.

Рис.5.1. Схема трехфазного генератора

Термин«фаза» в электротехнике имеет два значения:

1) в смысле определенной стадии периодического колебательного процесса

2) как наименование части электрической цепи переменного тока (например, часть обмотки электрической машины).

Для уяснения принципа действия трехфазного генератора обратимся к модели, схематически изображенной на рисунке. Модель состоит из статора, изготовленного в виде стального кольца, и ротора – постоянного магнита. На кольце статора расположена трехфазная обмотка с одинаковым числом витков в каждой фазе. Фазы обмотки смещены в пространстве одна относительно другой на угол 120°.

Представим себе, что ротор модели генератора приведен во вращение с постоянной скоростью против движения часовой стрелки. Тогда, вследствие непрерывного движения полюсов постоянного магнита относительно проводников обмотки статора, в каждой ее фазе будет наводиться Э.Д.С.

Применяя правило правой руки, можно убедиться, что Э.Д.С., наводимая в фазе обмотки северным полюсом вращающегося магнита, будет действовать в одном направлении, а наводимая южным полюсом – в другом. Следовательно, Э.Д.С. фазы генератора будет переменной.

Крайние точки (зажимы) каждой фазы генератора всегда размечают: одну крайнюю точку фазы называют началом, а другую – концом. Начала фаз обозначают латинскими буквами A, B, C, а концы их соответственно – X, Y, Z. Наименования «начало» и «конец» фазы дают, руководствуясь следующим правилом: положительная Э.Д.С. генератора действует в направлении от конца фазы к ее началу.

Э.Д.С. генератора условимся считать положительной, если она наведена северным полюсом вращающегося магнита. Тогда разметка зажимов генератора для случая вращения его ротора против движения часовой стрелки должна быть такой, как показано на рисунке.

При постоянной скорости вращения полюсов ротора амплитуда и частота Э.Д.С., создаваемых в фазах обмотки статора, сохраняются неизменными. Однако в каждое мгновение величина и направление действия Э.Д.С. одной из фаз отличаются от величины и направления действия Э.Д.С. двух других фаз. Это объясняется пространственным смещением фаз. Все явления во второй фазе повторяют явления в первой фазе, но с опозданием. Говорят, что Э.Д.С. второй фазы отстает во времени от Э.Д.С. первой фазы. Они, например, в разное время достигают своих амплитудных значений. Действительно, наибольшее значение Э.Д.С., – наведенной в какой-либо фазе, будет в тот момент, когда центр полюса ротора проходит середину этой фазы. В частности, для момента времени, соответствующего расположению ротора, показанному на рисунке 5.1., электродвижущая сила первой фазы генератора будет положительной и максимальной. Положительное максимальное значение Э.Д.С. второй фазы наступит позже, когда ротор повернется на угол 120°. Поскольку за один оборот двухполюсного ротора генератора происходит полный цикл изменения Э.Д.С., то время T одного оборота является периодом изменения Э.Д.С. Очевидно, что для поворота ротора на 120° необходимо время, равное одной трети периода (T/3).

Следовательно, все стадии изменения Э.Д.С. второй фазы наступают позже соответствующих стадий изменения Э.Д.С. первой фазы на одну треть периода. Такое же отставание в периодическом изменении Э.Д.С. наблюдается в третьей фазе по отношению ко второй. Само собой разумеется, что по отношению к первой фазе периодические изменения Э.Д.С. третьей фазы совершаются с опозданием на две трети периода (2/3 T).

Путем придания соответствующей формы полюсам магнитов можно добиться изменения Э.Д.С. во времени по закону, близкому к синусоидальному.

Следовательно, если изменение Э.Д.С. первой фазы генератора происходит по закону синуса

e1 = Eмsinωt ,

то закон изменения э.д.с. второй фазы может быть записан формулой

e2 = Eм sinω (t − T/3) ,

а третьей – формулой

e3 = Eм sinω (t − 2/3 T) ,

Сказанное иллюстрирует график рисунка.

Рис. 5.2. Кривые мгновенных значений трехфазной системы Э.Д.С.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: при равномерном вращении полюсов ротора во всех трех фазах генератора наводятся переменные Э.Д.С. одинаковой частоты и амплитуды, периодические изменения которых по отношению друг к другу совершаются с запаздыванием на 1/3 периода.

Три синусоидальные ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутые по фазе на 1200, образуют трёхфазную симметричную систему. Аналогично получаются трёхфазные системы напряжений и токов.

e1 =EMsinωt

e2 = EMsinω(t – 1200)(5.1.)

e3 = EMsinω(t – 2400)

На электрических схемах трёхфазный генератор принято изображать в виде трёх обмоток, расположенных под углом 1200друг к другу. При соединении «звездой» концы этих обмоток объединяют в одну точку, которую называют нулевой точкой генератора и обозначают О. Начала обмоток обозначают буквами А, В, С.

Рис. 5.3. Соединение фаз генератора «звездой» и «треугольником»

При соединении «треугольником» конец первой обмотки генератора соединяют с началом второй, конец второй – с началом третьей, конец третьей – с началом первой. К точкам А, В, С подсоединяют провода соединительной линии.

Трехфазные токоприемники.

Трехфазный генератор служит источником питания как однофазных, так и трехфазных электрических устройств. Однофазные токоприемники, как известно, имеют два внешних зажима. К ним относятся, например, осветительные лампы, различные бытовые приборы, электросварочные аппараты, индукционные печи, электродвигатели с однофазной обмоткой.

Трехфазные устройства в общем случае имеют шесть внешних зажимов. Каждое такое устройство состоит из трех, обычно одинаковых, электрических цепей, которые называются фазами. Примерами трехфазных токоприемников могут служить электрические дуговые печи с тремя электродами или электродвигатели с трехфазной обмоткой.

§5.2.Способы соединения фаз генератора и токоприемника

Несвязанная и связанная трехфазные цепи.

Трехфазную цепь называют несвязанной, если каждая фаза генератора независимо от других соединена двумя проводами со своим токоприемником.

Рис. 5.4. Схема несвязной трехфазной цепи.

Основной недостаток несвязанной трехфазной цепи заключается в том, что для передачи энергии от генератора к приемникам нужно применять шесть проводов.

Рис. 5.5. Несвязная шестипроводная трехфазная цепь.

Число проводов может быть уменьшено до четырех или даже до трех, если фазы генератора и токоприемников соединить между собой соответствующим способом. В этом случае трехфазную цепь называют связанной трехфазной цепью.

На практике почти всегда применяют связанные трехфазные цепи, как более совершенные и экономичные. Существует два основных способа соединения фаз генератора и фаз приемников: соединение «звездой» и соединение «треугольником».

При соединении фаз генератора «звездой» все «концы» фазных обмоток X, Y, Z соединяют в одну общую точку 0, называемую нейтральной или нулевой точкой генератора.

На рисунке схематически показаны три фазы генератора в виде катушек, оси которых смещены в пространстве одна относительно другой на угол 120°.

Напряжение между началом и концом каждой фазы генератора называютфазным напряжением, а между началами фаз –линейным.

Поскольку фазные напряжения изменяются во времени по синусоидальному закону, то линейные напряжения также будут изменяться по синусоидальному закону. Условимся за положительное направление действия линейных напряжений считать то направление, когда они действуют: от зажима A первой фазы к зажиму B второй фазы; от зажима B второй фазы к зажиму C третьей фазы; от зажима C третьей фазы к зажиму A первой фазы. Эти три условно положительных направления действия линейных напряжений на рисунке показаны стрелками.

Рис. 5.6. Трехфазная обмотка соединенная «звездой»

Расчеты и измерения показывают, чтодействующее значение линейного напряжения генератора, три фазы которого соединены в «звезду», в  раз больше действующего значения фазного напряжения.

Соединение фаз токоприемников «зведой».

Для передачи энергии от генератора, соединенного звездой, к однофазным или трехфазным токоприемникам, в общем случае нужны четыре провода. Три провода присоединяют к началам фаз генератора (A, B, C). Эти провода называютлинейными проводами. Четвертый провод соединяют с нейтральной точкой (0) генератора и называютнейтральным (нулевым) проводом.

Линейнымназывается провод, соединяющий начала фаз обмотки генератора и приемника. Точка, в которой концы фаз соединяются в общий узел, называетсянейтральной(на рис. N иn – соответственно нейтральные точки генератора и нагрузки).

Провод, соединяющий нейтральные точки генератора и приемника, называетсянейтральным. Трехфазная система при соединении в звезду без нейтрального провода называетсятрехпроводной,с нейтральным проводом –четырехпроводной.

Трехфазная цепь с нейтральным проводом дает возможность использовать два напряжения генератора. Приемники в такой цепи можно включать между линейными проводами на линейное напряжение или между линейными проводами и нейтральным проводом на фазное напряжение.

Рис. 5.7. Четырехпроводная трехфазная цепь.

На рисунке показана схема включения токоприемников, рассчитанных на фазное напряжение генератора. В этом случае фазы токоприемников будут иметь общую точку соединения – нейтральную точкуn, а токи в линейных проводах (линейные токи) будут равны токам в соответствующих фазах нагрузки (фазным токам).

Каждая фаза нагрузки может быть образована как одним токоприемником, так и несколькими токоприемниками, включенными между собой параллельно.

Если фазные токи и углы сдвига фаз этих токов по отношению к фазным напряжениям одинаковы, то такая нагрузка называется симметричной. Если хотя бы одно из указанных условий не соблюдается, то нагрузка будет несимметричной.

Симметричная нагрузка может быть создана, например, лампами накаливания одинаковой мощности. Допустим, что каждая фаза нагрузки образована тремя одинаковыми лампами.

Рис. 5.8. Схема включения однофазных токоприемников

в четырехпроводную сеть.

Рис.5.9. Схема соединения симметричной нагрузки «звездой».

Путем непосредственных измерений можно убедиться, что при включении нагрузки звездой с нейтральным проводом напряжение на каждой фазе нагрузки Uф будет меньше линейного напряжения Uл в √3 раз, подобно тому, как это было при включении звездой фаз обмоток генератора

Uл = √3Uф.(5.2).

На практике широкое распространение получили трехфазные цепи с нейтральными проводами при напряжениях

Uл = 380 в; Uф = 220 в

или

Uл = 220 в; Uф = 127 в.

Из рисунка видно, что ток в линейном проводе (Iл) равен току в фазе (Iф)

Iл = Iф.(5.3).

Величина тока в нейтральном проводе при симметричной нагрузке равна нулю, в чем можно убедиться также путем непосредственного измерения.

Но если ток в нейтральном проводе отсутствует, то зачем же нужен этот провод?

Для выяснения роли нейтрального провода проделаем следующий опыт. Допустим, что в каждой фазе нагрузки имеется по три одинаковых лампы и одному вольтметру, а в нейтральный провод включен амперметр (см. рис.). Когда в каждой фазе включены по три лампы, то все они находятся под одним и тем же напряжением и горят с одинаковым накалом, а ток в нейтральном проводе равен нулю. Изменяя число включенных ламп в каждой фазе нагрузки, мы убедимся в том, что фазные напряжения не изменяются (все лампы будут гореть с прежним наклоном), но в нейтральном проводе появится ток.

Отключим нейтральный провод от нулевой точки приемников и повторим все изменения нагрузки в фазах. Теперь мы заметим, что большее напряжение будет приходиться на ту фазу, сопротивление которой больше других, то есть, где включено меньшее количество ламп. В этой фазе лампы будут гореть с наибольшим накалом и даже могут перегореть. Это объясняется тем, что в фазах нагрузки с большим сопротивлением происходит и большее падение напряжения.

Рис.5.9. Схема осветительной сети жилого дома при соединении фа нагрузки «звездой».

Следовательно,нейтральный провод необходим для выравнивания фазных напряжений нагрузки, когда сопротивления этих фаз различны.

Благодаря нейтральному проводу, каждая фаза нагрузки оказывается включенной на фазное напряжение генератора, которое практически не зависит от величины тока нагрузки, так как внутреннее падение напряжения в фазе генератора незначительно. Поэтому напряжение на каждой фазе нагрузки будет практически неизменным при изменениях нагрузки.

Если сопротивления фаз нагрузки будут равными по величине и однородными, то нейтральный провод не нужен (рис.). Примером такой нагрузки являются симметричные трехфазные токоприемники.

Обычно осветительная нагрузка не бывает симметричной, поэтому без нейтрального провода ее не соединяют «звездой» (рис.5.9.). Иначе это привело бы к неравномерному распределению напряжений на фазах нагрузки: на одних лампах напряжение было бы выше нормального и они могли бы перегореть, а другие, наоборот, находились бы под пониженным напряжением и горели бы тускло.

По этой же причине никогда не ставят предохранитель в нейтральный провод, так как перегорание предохранителя может вызвать недопустимые перенапряжения на отдельных фазах нагрузки (см. рис. 5.9.).

Соединение фаз токоприемников «треугольником».

Если три фазы нагрузки включить непосредственно между линейными проводами, то мы получим такое соединение фаз токоприемников, которое называется соединением треугольником (рис. 5.10.). Допустим, что первая фаза нагрузки R1 включена между первым и вторым линейными проводами; вторая R2 – между вторым и третьим проводами, а третья R3 – между третьим и первым проводами. Нетрудно видеть, что каждый линейный провод соединен с двумя различными фазами нагрузки.

Соединять треугольником можно любые нагрузки. На рисунке дана более общая схема соединения фаз нагрузки треугольником. Соединение треугольником осветительной нагрузки жилого дома показано на рисунке 5.11.

а)

б)

Рис. 5.10.Трехпроводная трехфазная цепь.

а) соединение «звездой»;б) соединение «треугольником».

При соединении фаз нагрузки треугольником напряжение на каждой фазе нагрузки равно линейному напряжению

Uл = Uф.(5.4).

Это соотношение сохраняется и при неравномерной нагрузке.

Линейный ток при симметричной нагрузке фаз, как показывают измерения, будет больше фазного тока в √3 раз

Iл = √3·Iф.(5.5).

Однако следует иметь в виду, что при несимметричной нагрузке фаз это соотношение между токами нарушается.

Принципиально можно соединять треугольником и фазы генератора, но обычно этого не делают. Дело в том, что для создания заданного линейного напряжения каждая фаза генератора при соединении треугольником должна быть рассчитана на напряжение, в √3 раз большее, чем в случае соединения звездой. Более высокое напряжение в фазе генератора требует увеличения числа витков и усиленной изоляции для обмоточного провода, что увеличивает размеры и стоимость машины. Именно поэтому фазы трехфазных генераторов почти всегда соединяют «звездой».

Рис.5.11.Схема включения однофазных

                                                                     токоприемников в трехпроводную сеть.

Рис. 5.12. Схема осветительной сети

жилого дома при соединении нагрузки

«треугольником».

Приемники электрической энергии независимо от способа соединения обмоток генератора могут быть включены либо звездой, либо треугольником. Выбор того или иного способа соединения определяется величиной напряжения сети и номинальным напряжением приемников.

Общие замечания к расчету трехфазных цепей

1. При расчете трехфазных цепей исходят из предположения, что генератор дает симметричную систему напряжений. На практике несимметрия нагрузки практически не влияет на систему напряжений генератора в том случае, если мощность нагрузки мала по сравнению с мощностью генератора или сети электроснабжения.

2. Схема соединения обмоток трехфазного генератора не предопределяет схему соединения нагрузки. Так, при соединении фаз генератора в звезду нагрузка может быть соединена в «звезду» с нейтральным проводом, в «звезду» без нейтрального провода или, наконец, в «треугольник».

§5.3.Мощность трехфазной цепи, ее расчет и измерение

В трехфазных цепях, так же как и в однофазных, пользуются понятиями активной, реактивной и полной мощностей.

Мощность несимметричных потребителей.

В общем случае несимметричной нагрузки активная мощность трехфазного приемника равна сумме активных мощностей отдельных фаз, при этом не имеет значения способ соединения фаз потребителя

P = PА + PВ + PС,                                                       (5.6)

где PА = UА IА cos φА; PВ = UВ IВ cos φВ; PС = UС IС cos φС;

UА, UВ, UС; IА, IВ, IС – фазные напряжения и токи; φА, φВ, φС – углы сдвига фаз между напряжением и током.

Реактивная мощность соответственно равна алгебраической сумме реактивных мощностей отдельных фаз

Q = QА + QВ + QС, ,                                                (5.7)

где Qa = UА IА sin φА; QВ = UВ IВ sin φВ; QС = UС IС sin φС.

Полная мощность трехфазного приемника равна сумме мощностей отдельных фаз

Q =SА +SВ +SС,                                                   (5.8)

гдеSА =UАIА;SВ =UВIВ;SС =UСIС.

Мощность симметричных потребителей.

При симметричной системе напряжений (UА = UА = UС = UФ) и симметричной нагрузке (IА = IВ = IС = IФ; φА = φВ = φС = φ) фазные мощности равны

PА = PВ = PС = PФ = UФ IФ cos φ; QА = QВ = QС = QФ = UФ IФ sin φ.             (5.9)

Активная мощность симметричного трехфазного приемника

P = 3 PФ = 3 UФ IФ cosφ. ,                                     (5.10).

Аналогично выражается и реактивная мощность

Q = 3 QФ = 3 UФ IФsin φ.                                       (5.11)

Полная мощность

S = 3 SФ = 3 UФ IФ.                                            (5.12)

Для соединения «звездой»

IФ =IЛ

Uл = √3Uф.

SҮ = 3SФ = 3UФIФ = √3UЛIЛ                             (5.13)

Для соединения «треугольником»

IЛ = √3IФ

Uл =Uф.

SΔ = 3SФ = 3UФIФ = √3UЛIЛ                             (5.14)

Мощность трехфазного симметричного потребителя не зависит от схемы соединения фаз.

Измерение мощности трехфазных потребителей.

При несимметричной нагрузке в четырехпроводной цепи активную мощность измеряют тремя ваттметрами, каждый из которых измеряет мощность одной фазы – фазную мощность.

В случае, если нейтральная точка приемника недоступна или зажимы фаз приемника, включенного треугольником не выведены, применяют схему с использованием искусственной нейтральной точки n'. В этой схеме дополнительно в две фазы включают резисторы с сопротивлением R = RV.

На рисунке показана одна из возможных схем включения ваттметров: здесь токовые катушки включены в линейные провода с токами IA и IB, а катушки напряжения – соответственно на линейные напряжения UAC и UBC

Вопросы для самопроверки

1.Какой принцип действия у трехфазного генератора?

2.В чем заключаются основные преимущества трехфазных систем?

3.Какие системы обладают свойством уравновешенности, в чем оно выражается?

4.Какие существуют схемы соединения в трехфазных цепях?

5.Какие соотношения между фазными и линейными величинами имеют место при соединении в звезду и в треугольник?

6.Что будет, если поменять местами начало и конец одной из фаз генератора при соединении в треугольник, и почему?

7.Определите комплексы линейных напряжений, если при соединении фаз генератора в звезду начало и конец обмотки фазы С поменяли местами.

8.Какие схемы соединения обеспечивают автономность работы фаз нагрузки?

Использованная литература

1. Евдокимов Ф.Е. Теоретические основы электротехники. -М.: Высшая школа, 2001,476 с.

2. Немцов М. В., Немцова М. Л. Электротехника и электроника.- М.: Академия, 2007, 432 с.

3. ПоповB.C. , Николаев С.А. Теоретическая электротехника: Для учащихся техникумов. -М.: 2000,518 с.

4. Евдокимов Ф.Е. Общая электротехника -М.: Высшая школа, 2002, 374 с

5. Данилов И., Иванов П., Общая электротехника с основами электроники, М, Высшая школа, 1998,752 с

Электрическое поле и электрический ток. Магнитное поле на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Реферат Постоянный электрический ток. Магнитное поле

2. Реферат Электрический заряд. Элементарный заряд. Электрическое поле

3. Реферат Электрическое поле, напряженность электрического поля, электростатическая индукция, электрическая постоянная, плотность поверхностного заряда, электрическое смещение, электростатический потенциал

4. Реферат Электрическое поле

5. Реферат Магнитное поле

6. Реферат МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

7. Реферат МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

8. Реферат Магнитное поле в веществе

9. Реферат Магнитное поле в вакууме

10. Реферат Магнитное поле катушки с током