Новости

Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Работа добавлена:






Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника на http://mirrorref.ru

Федеральное агентство по образованию

Дальневосточный государственный технический университет

(ДВПИ им. В.В. Куйбышева)

Измерение ускорения свободного падения с помощью

математического маятника

Методические указания к лабораторной работе № 1.1д

для студентов дневной и заочной форм обучения всех технических

 специальностей по курсу физики

Владивосток ∙2010

Одобрено научно – методическим советом университета

УДК 53.082.1;  531.76

И88

Измерение ускорения свободного падения с помощью  математического маятника:

метод. указания / сост. Н.П. Дымченко. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2010.– 8  с.

В методических указаниях приводятся краткие сведения по теории свободных  колебаний математического маятника, рассматривается метод определения ускорения свободного падения с помощью математического маятника.  Дано описание экспериментальной установки, приведены подробные рекомендации по проведению эксперимента и его обработке, а также вопросы для самоконтроля. Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения всех технических специальностей вуза.

Печатается с оригинал-макета, подготовленного автором

© Дымченко Н.П. , 2010

©     ДВГТУ, изд–во ДВГТУ, 2010

Лабораторная работа № 1.1д

Измерение ускорения свободного падения с помощью

математического маятника

Цель работы: Экспериментальная проверка закономерностей движения математического маятника, определение ускорения свободного падения.

Приборы: Установка с математическим маятником, секундомер, измерительная линейка.

Постановка задачи

Ускорением свободного падения  называют ускорение тела, обусловленное действием только силы тяжести . Оно показывает ускорение, приобретаемое телом единичной массы, под действием силы тяжести:

 .                                                           (1)

Сила тяжести приложена к данному телу и равна геометрической сумме силы тяготения , действующей между телом и Землей, и центробежной силы инерции . Центробежная сила  инерции обусловлена неинерциальностью системы отсчета, связанной с Землей вследствие ее суточного вращения. Смотри подробнее [1, § 6.3]. Отметим, что если в формуле (1) учесть действие только силы тяготения, то данное выражение будет определять вектор напряженности поля тяготения Земли. В силу малости центробежной силы инерции, действующей на тело в системе отсчета, связанной с Землей, в сравнении с силой тяготения числовые значения ускорения свободного падения и напряженности поля тяготения Земли будут иметь близкие значения.

Одним из простых и одновременно достаточно точных методов определения ускорения свободного падения телg является метод, основанный  на использовании математического маятника. Реально математический маятник  представляет собой систему, состоящую из  маленького шарика, который можно принять за материальную точку массойm,  и тонкой невесомой нерастяжимой нити длинойl, подвешенной к неподвижной точке О, рис. 1. При колебании шарика на нерастяжимой нити шарик все время движется по дуге окружности, радиус которой равенl.

В качестве координаты, определяющей положение мятника, совершающего колебания в одной плоскости, можно взять угол  между вертикальной линией, проходящей через точку подвеса и нитью маятника. Обозначим  этот угол буквой φ. Причем, условимся углы, отсчитываемые вправо от положения равновесия считать положительными, влево – отрицательными.

Для обоснования сущности данного метода воспользуемся вторым законом Ньютона.На маятникмассойm действуют две силы: сила тяжести  и сила упругости нити.Тогда уравнение движения маятника (второй закон Ньютона) будет иметь вид:

 (2)

Для установления характеристик маятника (определения зависимости силы натяжения от угла φ, зависимости угла φ от времени) следует спроецировать вектора, входящие в уравнение (1), на две оси. Одну, направленную вдоль нити подвеса, задаваемую единичным вектором,вторую по касательной к траектории, задаваемую единичным вектором , рис. 1. На этом рисунке отмечено мгновенное положение маятника при движении вправо. При смене направления движения маятника влево направление выбранных осей не изменяется в отличие от направления вектора скорости .

Для нашей цели достаточно спроектировать  вектора на направление .Определяя из рисунка 1 проекции сил и ускорения на ось , получим  скалярное уравнение:

                                                      (3)

Знак «–» в уравнении (3) справа обусловлен тем, что проекция силы тяжести на касательное направление отрицательна (), а угол φ для данного положения маятника по определению положителен.  При движении маятника влево от положения равновесия угол φ по определению отрицателен, а проекция силы тяжести на ось  положительна. Это означает, что знаки проекции силы тяжести на ось  и угла φ всегда противоположны.

Ограничиваясь малыми углами отклонения маятника, можноsinφ заменить значением угла φ, выраженным в радианах. Так для φ = 10о = 0,1745 рад получаем:sin(0,1745) ≈ 0,1736. Из этого примера видно, что разница между значением угла φ в радианах и значением синуса этого угла в радианах для угла в 10о не превышает 0,5%. При меньших значениях угла φ это различие будет еще меньшим, а предложенная замена будет более точной. Поэтому рекомендуется в экспериментах задавать отклонения угла маятника не более 10о.  При этом условии уравнение (3) примет вид:

                                                      (4)

Из школьного курса физики известна связь между линейной и угловой скоростями движения м.т. по окружности:

.                                                          (5)

С другой стороны угловая скорость равна первой производной угла поворота φ  по времени:

.                                                       (6)

По определению касательного ускорения имеем:

.                                      (7)

В формуле (7) мы учли определения (5) и (6). Тогда с учетом определений (7) уравнение (4) примет вид:

  или    .                                  (8)

Легко проверить, что размерность множителя  в формуле (8) имеет вид: , что соответствует размерности квадрата циклической частоты ωо. Поэтому обозначим данный множитель как ωо2. Тогда уравнение (8) примет окончательно вид:

.                                                  (9)

Решением данного уравнения будет гармоническая функция вида:

,                                            (10)

где φо – амплитуда колебаний, α – начальная фаза колебаний. Справедливость этого решения можно проверить его подстановкой в уравнение (9). Если решение (10) верно, то оно превращает уравнение (9) в тождество. Проверку этого решения рекомендуется выполнить студентам самостоятельно.

Циклическая частота колебаний математического маятника, как следует из вывода уравнения (9), определяется выражением: . Тогда дляпериода колебаний математического маятника, исходя  из его определения, как времени одного колебания, получим выражение:

                                                (11)

Возведем обе части уравнения (11) в квадрат, получим:

.                                                    (12)

Уравнение (12) подобно уравнению прямой вида:,если  в качестве углового коэффициентаk  взять

,                                                            (13)

а в качестве переменныхx  иy соответственноlиT2.

Строя график зависимости  квадрата периодаТ2 отдлины маятникаl мы должны получить линейную зависимость. Определяя тангенс угла наклона этого графика к оси абсцисс (осиl), и используя формулу (13), можем рассчитать ускорения свободного падения:

                                                            (14)

Лабораторная установка

Схема установки показана на рис. 2.  Металлический шар 6, подвешен на двух  нитях 5 одинаковой длины к перекладине 4 с помощью двух колец 3. Такой подвес называют бифилярным. Он обеспечивает движение маятника строго в одной плоскости. Обращаем внимание, что длина маятникаl определяется кратчайшим расстоянием от перекладины 4 до центра тяжести шарика 6 так, как указано на рис. 2 выносными стрелками. Через кольца 3 нити соединяются с подвижными зажимами 2. Перемещая одновременно эти зажимы вверх или вниз вдоль вертикальных стоек 7 установки, можно изменять длину маятникаl. Длина маятника измеряется по шкале 1. Для удобства и повышения точности отсчетов можно воспользоваться треугольником 8, прикладывая его к шкале 1 так, как указано на рис.2.

Порядок выполнения работы

1.  С помощью зажимов 2 установить  наибольшую длину маятникаllи по шкале 1 на вертикальной стойке определить длину  маятника.

2. Привести математический маятник в колебательное движение, отклонив металлический шарик на угол 5 – 6 градусов, после чего  с помощью секундомера определить значение времени 40 – 50 колебаний маятника. Определить среднее значение периода колебаний маятника по формуле , гдеtl – время, в течение которого совершаютсяN колебаний.

3. Уменьшая каждый раз длину маятника на 5 см, повторить измерения периода и длины маятника  согласно п.2. Рекомендуется провести 9 измерений.

Результаты измерений записать в  таблицу. В данной таблицеΔТо иΔlо есть соответственно инструментальные погрешности секундомера и измерительной линейки.

Таблица экспериментальных данных:

Номер опыта

N

t (c)

l (м)

Т(с)

Т22)

ΔTо(с)

Δlо(м)

1

∙∙∙

9

4. Построить график зависимости квадрата периода колебаний от длины маятника. При построении графика по экспериментальным точкам  прямую линию следует проводить так, чтобы число экспериментальных точек лежащих выше и ниже этой прямой было одинаковым. При этом удобно пользоваться прозрачной линейкой. Коэффициентk равен тангенсу угла наклонаα этого графика к оси абсцисс (осиl):

,

где ∆2) – изменение квадрата периода маятника, соответствующее изменению на графике длины маятника  ∆l. Зная коэффициентk, найти величину ускорения свободного падения по формуле (14).

5. Оценить погрешность вычисления ускорения свободного паденияg. Если разброс точек вокруг проведенной прямой малый, т.е. отклонение экспериментальных точек от усредненной прямой вдоль осиl не превышаетlо, а вдоль осиТ2, не больше (ΔТо)2 , это означает, что случайной погрешностью в измерении периода и длины маятника данном эксперименте можно пренебречь. Относительная погрешность измерения в этом случае определяется только инструментальной погрешностью, которую можно оценить на основе формулы:

.

Рассчитывая по этой формуле относительную погрешность εg, можно оценить стандартную, т.е. с надежностью 68%,  инструментальную погрешность измерения ускорения свободного падения σg: .

Если же разброс экспериментальных точек значительный, то разбивают вдоль оси абсцисс весь диапазон экспериментальных значенийl от 0 до наибольшегона три равные части. Затем следует провести через начало координат две прямые так, чтобы выше одной лежало 2/3 точек, а выше другой 1/3. Различие между этими прямыми определяетΔk . Тогда стандартная погрешность будет определяться по формуле: , гдеn – полное число точек на графике.

6. Рассчитать теоретическое значение ускорения свободного падения в случае пренебрежения центробежной силой инерции по формуле:

,

G = 6,672∙10-11 Н∙м2/кг2 – гравитационная постоянная,М = 5,976 ∙1024 кг – масса Земли,R = 6,378∙106 м – радиус Земли.

Сравните  экспериментальное и теоретическое значения ускорения свободного падения, объясните причины  их отличия.

Контрольные вопросы

  1. Что называется ускорением свободного падения? Как ускорение свободного паденияg зависит от широты местности и почему?
  2. Как изменяется ускорение свободного падения тела с увеличением его высоты над поверхностью Земли?
  3. Зависит ли ускорение свободного падения данного тела от его массы? Ответ обоснуйте.
  4. Какой физический смысл имеет напряженность поля тяготения и в чем заключается его отличие от ускорения свободного падения?
  5. Какой маятник называется математическим?
  6. Какие законы используются при выводе уравнения движения математического маятника?
  7. Почему при экспериментальном определенииg с помощью математического маятника необходимо отклонять маятник на угол не более 10о?
  8. Объясните методику определения ускорения свободного паденияg, используемую в данной работе.

Литература

  1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: Учеб. Пособие для втузов.– М.: Высш. шк., 2008.– 608 с. (§ 6.3)
  2. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие.– 15-е изд., стер. – М.:  Высш. шк. – 2008. §§ 22, 23, 24.

Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

2. ИЗУЧЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

3. ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА

4. ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

5. Измерение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника

6. Определение ускорения свободного падения с помощью физического и математического маятников

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ МЕТОДОМ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

9. Определение ускорения свободного падения при помощи универсального маятника

10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА