Новости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ МЕТОДОМ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Работа добавлена:






ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ МЕТОДОМ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА на http://mirrorref.ru

«Никогда не начинай вычислений, пока не знаешь ответа. Каждому вычислению

предпосылай оценочный расчет: привлеки простые физические соображения

(симметрию! инвариантность!) до того как начинать подробный вывод; продумай

возможные ответы на каждую загадку. Будь смелее…удачные предположения

укрепляют интуицию.»Джон Арчибальд Уиллер (известный физик-теоретик)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ МЕТОДОМ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Оборотный маятник используется для точного определения ускорения свободного падения. В основе этого метода определения ускорения свободного падения лежиттеорема Гюйгенса:если физический маятник подвесить за центр качания О1, то его период не изменится, а прежняя точка подвеса О сделается новым центром качания[2, с.211] (рис.1).Оборотный маятник позволяет с точностью до 0,5% определить положение точки подвеса и центра качания. Расстояние между этими точками называетсяприведенной длиной физического маятника (оборотный маятник это частный случая физического маятника). Так как период колебаний физического маятника равен периоду колебаний математического маятника, если его приведенная длина равна длине математического маятника, то для определения ускорения свободного падения можно воспользоваться формулой математического маятника:

,                                                                (1)

здесь Т – период колебаний физического маятника,l0 его приведенная длина,g– ускорение свободного падения. Таким образом, определение ускорения свободного падения сводится к определению периода колебаний физического маятника и его приведенной длины.

Получим выражение (1), зная основной закон динамики вращения твердого тела относительно неподвижной оси вращения О:

I0ε0=M0,                                                                   (2)

здесьI0момент инерции твердого тела относительно данной оси О,ε0угловое ускорение относительно той же оси вращения,M0результирующий момент внешних сил относительно осиО. Все кинематические и динамические характеристики вращения твердого тела относительно неподвижной оси выбираются с надлежащим знаком [2,c.173]. Условимся величины, определяющие повороты по часовой стрелке выбирать со знаком «-»,против часовой стрелки со знаком «+».

Физическим маятником называют любое твёрдое тело, имеющее неподвижную ось вращения О, не совпадающую с центром масс тела (рис. 1). При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает возвращающий момент силы тяжести относительно этой оси

,                                                             (3)

гдеm— масса тела,l — расстояние между осью вращенияО и центром массС(«-» свидетельствует о том, что φ иN имеют противоположные знаки). В этом случае уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно оси запишется в виде:

,                                                        (4)

гдеI — момент инерции тела относительно оси вращения,  — угловое ускорение. При малых углах отклонения , тогда

.                                                           (5)

Сравнивая полученное уравнение с известным общим уравнением гармонических колебаний

,                                                           (6)

приходим к выводу, что физический маятник совершает свободные гармонические колебания с частотой и периодом соответственно

 и   .                                         (7)

По теореме ШтейнераI =Ic+ml2,                                                                        (8)

гдеIc — момент инерции тела относительно оси, проходящей через цент массC,l — расстояние между центром масс и действительной осью вращения.

,

Обозначив

        ,(9) (20)

после подстановки (9) в (7) получаем интересующую нас формулу (1)

                                                  (1) (21)

Как уже отмечалось, величинаl0 называется приведенной длиной физического маятника. Поскольку (1) совпадает с периодом свободных колебаний математического маятника длинойl0, то подприведенной длиной физического маятника понимается длина такого математического маятника, период свободных колебаний которого совпадает с периодом свободных колебаний данного физического маятника.

Если отложить от точки подвеса О вдоль прямой ОС отрезок ОО1, длина которого равна приведенной длине физического маятникаl0,тоточкаО1 станетцентром качания. Центр качания можно определить как математическую точку, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался без изменений. Легко доказать (сделайте это самостоятельно), во-первых, чтоl0>l,т.е. точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра масс С, во-вторых, всем точкам подвеса одинаково удаленным от центра масс маятника С соответствует одна и та же приведенная длина, а следовательно один и тот же период колебаний Т. Точка подвеса и центр качания являютсявзаимными или сопряженными точками в том смысле, что если маятник подвесить за ту или другую точку, то в соответствии с теоремой Гюйгенса периоды колебаний совпадут (докажите это самостоятельно). Точка подвеса и центр качания находятся по разные стороны от центра масс и расположены асимметрично относительного него (доказательство см. в[2, с.213]). Физический маятник, который можно подвешивать за любую из сопряженных точек называется оборотным. Существуют разнообразные конструкции оборотных маятников.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Оборотный маятник в данной лабораторная установка показана на рис.2. Правый и левый болты с резцами треугольного сечения закрепляются на одинаковой высоте так, чтобы масса маятника распределялась равномерно по обеим точкам приложения нагрузки, и маятник находился в строго вертикальном положении. Для точного измерения ускорения свободного падения стол должен находиться в устойчивом положении.

Опорные втулки (А иВ соответственно) прикрепляются по краям цилиндрического стержня.

Рис. 2 Экспериментальная установка «Оборотный маятник»

Период колебаний маятника определяется для малых амплитуд колебаний при помощи светового барьера. Переключатель на световомбарьере должен быть установлен в крайнее правое положение .

Идея метода

Метод основан на определении приведенной длины физического маятника и соответствующих ей  периодов колебаний, что позволяет рассчитать ускорение свободного падения по формуле (1).

Оборотный маятник (рис.3) состоит из длинного цилиндрического стержня, на котором закрепляются две подвижные опорные втулки А и В. Колебания маятника осуществляются поочередно вокруг осей, проходящих через вырезы этих втулок.

Обозначим расстояние от выреза опорной втулкиА до центра массС череза; расстояние от выреза опорной втулки

В до центра масс С черезb; расстояние между осямиl.

Рис. 3  Оборотный маятник

Пусть ТА и ТВ – периоды колебаний маятника относительно осей, проходящих соответственно через вырезы опорных втулокА иВ. В соответствии с формулой (7) можно записать:

   (10)

гдеIA иIB – моменты инерции маятника относительно осей, проходящих через вырезы опорных втулок.

Возведем каждое из выражений (10) в квадрат, умножим первое наа, второе – наb и вычтем второе уравнение из первого:

   (11)

Моменты инерцииIA иIB можно определить, воспользовавшись еще одной теоремой Штейнера: «Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме двух слагаемых: момента инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр массIC, и произведения массы тела на квадрат расстояния между центром масс и рассматриваемой произвольной осью».

Таким образом,

   (12)

Подставив соотношение (12) в (11), получим:

    (13)

Если подобрать положения опорных втулокА иВ таким образом, чтобы выполнялось соотношение ТА = ТВ = Т0, то формула (13) значительно упрощается, что позволяет получитьрабочую формулу для определения ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника:

или уже знакомая нам формула (1), преобразованная относительноg

                                                                 (14)

гдеl =a +b – расстояние между вырезами опорных втулок в случае равенства периодов колебаний относительно каждой из осей (ТА = ТВ = Т0) и есть приведенная длина оборотного маятника. Знаяlи Т0, по формуле (14) можно рассчитать ускорение свободного паденияg.

Технические характеристики измерительных приборов установки

Таблица 1

№п.п.

Название прибора

Пределы

измерений

Число

делений

Цена

деления

Абсолютная

погрешность

1

Счетчик колебаний

0.01с

2

Измерительная

рулетка

1 мм

3. Выполнение работы

  1. Опорные втулкиА иВ закрепите симметрично на расстоянии 7—10 см от концов стержня.
  2. Установите маятник так, чтобы опорная втулкаА служила осьюкачания. Отклоните маятник от положения равновесия на угол, не превышающий 20. Проведите 5—7 измерений периода колебаний ТА. Найдите среднее значение периода ТА.
  3. Переверните маятник так, чтобы опорная втулкаВ стала осью качания оборотного маятника. При этом, не меняя положения втулки А,  опорную втулкуВ установите на расстоянииl = 60 см от неё. Проведите 2—3 измерений периода колебаний ТВ. Найдите среднее значение периода ТВ. Результат занесите в таблицу  2.

Таблица 2

l, см

60

58

34

ТВ, с

  1. Каждый раз, уменьшая расстояние между втулками на 2 см, проведите измерения ТВ и результаты измерений занесите в таблицу 2. Рекомендуемый диапазон расстояний между опорными втулкамиl: 60 - 34 см. Постройте график зависимости ТВ(l). Графически определите расстоянияl1 иl2, для которых ТВ = ТА(см. пример рис.4).
  2. Перемещения опорной втулкиВ приводят к изменению момента инерции маятника и положения его центра масс. Следовательно, и меняется значение периода колебаний относительно втулки А. Чтобы учесть эти изменения, необходимо провести измерение периодов колебаний ТА и ТВ при одинаковых значенияхl. Для этого установите между втулками расстояниеl =l1– 3 см (положение втулкиАне меняем). Определите поочередно  периоды ТА и ТВна выбранном расстоянии.

Рис. 4  Пример графика зависимости TВ(l)

  1. Повторите п. 5, изменяя расстояниеl в интервале от (l1– 3) см до (l1+ 3) см с шагом в 1 см. Результаты занесите в таблицу 3.

Таблица 3

l, см

l1– 3 см

l1– 2 см

l1+ 3 см

ТА, с

ТВ, с

  1. Постройте графики зависимостей ТА =f(l) и ТВ =f (l) на одном листе миллиметровой бумаги (рис.5). Приведенная длина маятника соответствует точке пересечения кривых (см. рис.5)l, по этому графику определяют и период Т0, соответствующий этому расстоянию между втулками А и В. Установите опорную втулку  В на расстоянииlот втулки А, по-прежнему не меняя положения втулки А. Убедитесь, что период колебаний маятника на каждой опорной втулке   соответствует  Т0.

Рис. 5оборотного маятника графическим способом

  1. По формуле (14) рассчитайте ускорение свободного падения. Оцените погрешность, учитывая погрешности измерительных приборов, приведенные в таблице1.
  2. Сравните периоды колебаний для физического и математического маятников, если длина математического маятника равна приведенной длине физического .

Контрольные вопросы

1. От чего зависит ускорение свободного падения?

2. Получите зависимость ускорения свободного падения от широты.

3. Дайте определение математического и физического маятников.

4. Запишите основное уравнение динамики вращательного движения для физического маятника. Поясните смысл величин, входящих в него.

5. Сформулируйте теорему Штейнера.

  1. Получите рабочую формулу для определения ускорения свободного падения при помощи оборотного маятника.
  2. Что такое приведенная длина физического маятника? Для чего вводится это понятие?
  3. Почему максимальный угол отклонения маятника не должен превышать 2°? Как будет двигаться математический маятник при больших углах отклонения?

ЛИТЕРАТУРА

  1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Молекулярная физика. М.:«Наука», 1977. С. 416.
  2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. М.:«Наука», 1979. С.519.
  3. Физический практикум. Механика и молекулярная физика. Под ред. Ивероновой В.И.. Изд-во «Наука», 1967. С.352

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ МЕТОДОМ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Реферат Определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника и моментов инерции маятника

2. Реферат ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

3. Реферат ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

4. Реферат Измерение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника

5. Реферат ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

6. Реферат Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

7. Реферат Определение ускорения свободного падения при помощи универсального маятника

8. Реферат Изучение гармонических колебаний математического маятника и определение ускорения свободного падения тел

9. Реферат Определение ускорения свободного падения по кривой зависимости периода колебаний от положения подвеса маятника стержня

10. Реферат Изучение колебаний математического маятника: измерение периода его колебаний и определение ускорения свободного падения