Новости

ИЗУЧЕНИЕ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПОМОЩИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Работа добавлена:






ИЗУЧЕНИЕ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПОМОЩИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА на http://mirrorref.ru

Лабораторная работа № 12

ИЗУЧЕНИЕ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПОМОЩИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Цель работы– на примере маятника Максвелла познакомиться с вычислением и экспериментальным измерением момента инерции цилиндрического твердого тела относительно оси симметрии.

Приборы и принадлежности

Маятник Максвелла с жестким закреплением диска на оси вращения с известной массой, съемные кольца с известной массой, линейка, секундомер.

Краткая теория

В работе изучается общее движение твердого тела. Любое сложное движение можно представить как сумму простых, при этом скорость общего движения определяется суммой скоростей простых движений.

В случае общего движения твердого тела оно может быть разделено на поступательное и вращательное. В то же время общее движение твердого тела можно рассматривать как вращательное движение относительно мгновенной оси (прямой, проходящей через точку твердого тела, которая в данный момент оказывается неподвижной). Мгновенная ось с течением времени непрерывно перемещается как в теле, так и в пространстве. Такое описание общего движения обосновывается теоремой Эйлера.

Рассмотрим оба случая на примере движения цилиндра по наклонной плоскости (рис. 1).

Если цилиндр радиусомr скатывается без скольжения, то составляющая силы тяжести вызывает два движения: ускоренное перемещение цилиндра вдоль плоскости как прямолинейное движение и ускоренное вращательное движение цилиндра относительно своей оси.

Рис. 1

Второй механизм описания предлагает рассматривать движение цилиндра как ускоренное вращение вокруг мгновенной оси, которая в данный момент проходит через точку А, так как она неподвижна (цилиндр скатывается без скольжения). В следующий момент времени точка касания сместится в другое место пространства.

Рассчитываем ускорение поступательного движения свободно скатывающегося цилиндра, используя закон вращательного движения

   (1)

гдеM = [rF]– момент силыF,r– плечо силы;I– момент инерции тела относительно выбранной оси; угловое ускорение; – угловая скорость.

Закон вращательного движения имеет форму написания в точности такую же, как и второй закон Ньютона для поступательного движения

.     (2)

Можно сказать, что изменяяFнаM,m наI иана мы перешли из поступательного движения к вращательному. Такой подход полезен тем, что опыт решения задач на поступательное движение формально полностью реализуется при анализе вращательного движения. В соответствии с рис. 1 момент силы будет

,   (3)

подставим (3) в (1) и получим

.   (4)

Обозначим черезлинейную скорость точки О относительно мгновенной оси А

,    (5)

дифференцируя поt, получим

,    (6)

выражая из формулы (4) значениеdw/dt и подставляя в (6) получим

.    (7)

Это соотношение хорошо используется в связи двух видов движения. Видно, что чем больше будет момент инерции, тем меньше будет ускорение поступательного движения скатывания при прочих неизменных условиях. Осуществить такой случай можно с помощью диска Максвелла, который представляет собой диск, посаженный на цилиндрическую ось, закрепленную на бифилярном подвесе. Такое движение полностью адекватно рассмотренному скатыванию по наклонной плоскости под углом = 90о. При таком движении изменяется только момент инерции дискаIo= (moR2)/2, а остальные параметры формулы (7) остаются постоянными.

Используя маятник Максвелла, можно экспериментально изучать законы общего движения твердого тела.

Конструкция установки "Маятник Максвелла"

Общий вид маятника Максвелла показан на рис. 2.

Рис. 2

Основание (11) оснащено регулируемыми ножками (12), которые позволяют произвести горизонтирование прибора.

В основании закреплена колонка (2), к которой прикреплен неподвижный верхний кронштейн (3) и подвижный нижний кронштейн (1), электронный секундомер (11). На верхнем кронштейне находится электромагнит (6), фотоэлектрический датчик (4) и вороток (5) для закрепления и регулирования длины бифилярной  подвески маятника.

Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком (9) можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно выбранном положении. Диск Максвелла (8), закрепленный бифулярным подвесом, позволяет менять его момент инерции при помощи сменных колец (7).

Диск с наложенным кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина маятника определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора (от нижней кромки кольца (7) в верхнем положении диска Максвелла, до нижней кромки кольца в нижнем положении диска). С целью облегчения этого измерения нижний кронштейн оснащен указателем.

Для подготовки прибора к работе необходимо:

  • проверить заземление прибора;
    • проверить вертикальность прибора;
      • включить сетевой шнур в питающую сеть;
      • нажать клавишу "сеть", проверяя, произошло ли высвечивание цифровыми индикаторами нулей и засветились ли лампочки фотоэлектрических датчиков.

Прибор готов к работе непосредственно после подключения к питающей цепи.

Порядок выполнения работы

Задание 1.1. Определение момента инерции диска Максвелла

Используя установку маятника Максвелла можно экспериментально определить момент инерции диска Максвелла.

Снабдив диск выбранным кольцом, измеряют время падения диска из положения покоя с высотыh. В соответствии с приведенными раннее расчетами он будет падать с ускорением, определенным формулой (7). Ускорение может быть вычислено из измеренияtи h так как путь, пройденный за времяt при ускоренном движении равен:

,     (8)

откуда

.     (9)

Подставляя (9) в (7), находим момент инерции диска относительно мгновенной оси

,               (10)

гдеm = m0 + mд + mк - полная масса диска Максвелла;m0 - масса оси (34,0 г);mд  - масса диска (125,6 г);mк  - масса кольца (укз. на кольце);

- плечо силы             (11)

гдеD0 – диаметр оси,d толщина нити бифилярной подвески (0,5 мм).

Согласно теореме ГюйгенсаШтейнера момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенный с величинойm2, расстояние между осями

I = I0 + mr2               (12)

I0 = I - mr2(13)

Подставляя значение из (10), получим

.              (14)

Имеющийся в нашем распоряжении диск Максвелла состоит из цилиндрической оси(D0 = 10 мм),диска, посаженного на ось с внешним диаметромDд = 86 мм и кольца, посаженного на диск с внешним диаметромDк =105 мм.

Момент инерции этого устройства легко подсчитать

I = I0 + Iд + Iк               (15)

гдеI –общий момент инерции диска Максвелла,I0, Iд, Iк моменты инерции оси, диска, кольца соответственно.

Момент инерции диска можно подсчитать по общей формуле для момента инерции твердого тела

              (16)

интегрирование производится по объему.

Ввиду однородности диска

            (17)

где = m/V – плотность материала диска,l толщина диска, которая роли не играет.

dr

r

R

Из рисунка видим, чтоS =R2, аdS =2rdr.(18)

Подставляя в формулу (16), получим

.               (19)

Интегрирование проводится для сплошного диска от 0 до R, для кольца от внутреннего радиуса до наружного. Поэтому

            (20)

т. е., вычисляются все по отдельности и согласно формуле (15) образуют общий момент инерции диска Максвелла (см. рис.).

Задание 1.2. Определение погрешности измерения момента инерции диска

Используя (14) выведем формулу для доверительного интервала результата косвенного измерения момента инерции

.

Для нашего случая, так как точность измерения массы и высоты значительно выше точности измерения плеча силы и времени, исходную формулу можно упростить

(1)

Чтобы выполнить численную оценку по формуле (1), определим доверительный интервал при измерениях времени и плеча силы.

Доверительный интервал при измерении времени:

  (2)

гдеt(n) – коэффициент Стьюдента для заданной надежности и числаn измерений;ti - результатi-го измерения;t среднее значение времени.

Доверительный интервал при измерении плеча силы примем равным приборной ошибке штангенциркуля

r = 0,1 мм.

С учетом (2) и (3) получим численную оценкуI0 по формуле (1).

Задание 2. Исследование закона сохранения энергии при общем движении твердого тела

При разделении движения на поступательное и вращательное видно, что ускорение поступательного обратно пропорционально моменту инерции маятника (7). Эта связь физически наиболее наглядна, если рассматривать движение с энергетических позиций.

Поскольку сила трения работы не совершает (трением пренебрегаем), полная энергия диска остается постоянной. В начальный момент кинетическая энергия равна нулю, потенциальная энергия равна

П = mgh.(21)

В конце скатывания потенциальная энергия становится равной нулю, зато появляется кинетическая энергия:

             (22)

Используя соотношение (5) найдем

              (23)

и

w = /r/

Тогда

.       (24)

По закону сохранения энергии полная энергия в начале и в конце скатывания должна быть одинакова

              (25)

откуда

              (26)

Ход работы:

  • на диск маятника наложить выбранное кольцо, прижимая его до упора;
  • проверить, отвечает ли нижняя кромка кольца в верхнем положении нулю шкалы на колонке. Если нет, отвинтить верхний кронштейн и отрегулировать его высоту;
  • опустить диск в нижнее положение и определить его длину по нижней кромке кольца;
  • установить нижний кронштейн так, чтобы нижняя кромка находилась примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика;
  • отжать кнопку "пуск" миллисекундомера;
  • намотать нить подвеса на ось маятника, укладывая витки вплотную друг к другу;
  • фиксировать маятник с помощью электромагнита;
  • повернуть маятник в направлении его движения на угол около пяти градусов, для снятия натяжения нити при его накручивании;
  • нажать клавишу "сброс";
  • нажать клавишу "пуск";
  • прочитать полученное время падения маятника;
  • измерения повторить пять раз;
  • определить среднее значение времени;
  • используя формулу (10), определить момент инерции диска;
  • сравнить полученное значение момента инерции диска с расчетным значением, полученным по формуле (15), с использованием формулы (20);
  • объяснить полученный результат (позволяет ли сравнение результатов расчета с экспериментом проверить справедливость законов общего движения твердого тела);
  • определить погрешность измерений;
  • сделать вывод;

Контрольные вопросы и задания

  1. Сформулируйте теорему о движении центра масс системы материальных точек.
  2. Дайте определение момента инерции одной материальной точки, системы материальных точек.
  3. Запишите уравнения движения маятника Максвелла.
  4. Как изменяется ускорение, скорость и сила натяжения нити при движении маятника?
  5. Как изменяется механическая энергия маятника Максвелла при его движении?

Рекомендуемая литература

[2], [11], [12].

ИЗУЧЕНИЕ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПОМОЩИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА на http://mirrorref.ru


1. Реферат Изучение законов динамики вращательного движения твердого тела

2. Реферат Изучение вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси на примере маятника Обербека

3. Реферат ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

4. Реферат Определение момента инерции твёрдого тела на основе законов равноускоренного движения

5. Реферат ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

6. Реферат ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

7. Реферат Изучение вращательного движения твердого тела

8. Реферат ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

9. Реферат ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

10. Реферат Изучение законов движения тела в вязкой среде