Новости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА

Работа добавлена:






ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА на http://mirrorref.ru

Лабораторная работа № 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА

Цель работы:изучение законов динамики поступательного движения системы тел, исследование движения с различными ускорениями, определение ускорения свободного падения

Основные теоретические сведения

Поступательным называется такое движение, при котором все точки тела описывают в пространстве конгруэнтные траектории.

Средней скоростью называется отношение вектора перемещения  к интервалу времени  :  (рис. 1.1), а мгновенной  скоростью – предельное значение средней скорости, то есть .

Направление мгновенной скорости совпадает с касательной к траектории в каждой точке. Движение с постоянной скоростью называется равномерным движением.

Средним ускорением называется отношение вектора изменения скорости  к интервалу времени : , а мгновенным ускорением –  (рис. 1.1).

Движение с постоянным ускорением называется равнопеременным.

Если траектория представляет собой прямую линию (рис.1.2), а начальная скорость равна , то формула пути для такого движения имеет вид:

.                                              (1.1)

При движении под действием силы  выполняется второй закон Ньютона:

,                                                      (1.2)

гдеm – масса тела.

Если сила является силой тяжести, то есть тело движется в поле тяготения Земли, то

,                                                   (1.3)

гдеP – вес тела, то есть сила, с которой тело действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес.

Именно такое движение и рассматривается в данной работе.

Экспериментальная установка и методика измерений

Основные законы кинематики и динамики могут быть проверены опытным путем на машине Атвуда. Машина Атвуда (см. рис. 1.3) состоит из укрепленного на штативе 1 блока 2, через который перекинута нить с подвешенными на ней одинаковыми грузами 3 и 4. Масса этих грузов может быть увеличена добавочными небольшими грузами – перегрузками 5. Если на груз массы  положить перегрузок с массой , то вся система начнет двигаться равноускоренно.

На груз 3 и груз 4 с перегрузком 5 будут действовать две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. При этом, если масса блока невелика по сравнению с , и трение мало, то раскручивание блока практически не требует приложения к нему крутящего момента и силы натяжения нити по обе стороны блока равны друг другу. На основании второго закона Ньютона можно написать для обоих грузов уравнение движения:

,                              (1.4)

где  – ускорение системы,Т – натяжение нити,  – ускорение свободного падения.

Решение этих уравнений дает величину натяжения нити и величину ускорения:

,                                          (1.5)

.                                             (1.6)

Отсюда

.                                             (1.7)

Ускорение грузова можно найти из кинематических соотношений (1.1), которые для нашего случая перепишутся в виде:

,                                                (1.8)

здесьh – высота, с которой падает груз,t – время падения.

Чтобы устранить неизбежные и большие случайные погрешности измерения, следует выбрать правильную методику измерений и обработки результатов.

Обсудим ошибки, возникающие при измерении времени пролетаt. Уменьшение вклада случайных ошибок достигается многократным повторением каждого опыта в одинаковых условиях.

Рассмотрим теперь систематическую ошибку в измерении времени, которую обозначимt. Неизвестное нам истинное время пролетаt связано с измеренным временем пролетаtизм соотношением:

 .                                               (1.9)

Так как в формулу (1.8) входит истинное времяt, то подставляя (1.9) в (1.8) получим:

.(1.10)

Таким образом, задача состоит в том, чтобынайти с помощью (1.10) ускорениеа по измеренным значениямh иtизм. Это лучше всего сделать, изображаяh иtизм на графике в координатах  иtизм.

Извлекая корень квадратный из обеих частей равенства (1.10), найдем:

.                                     (1.11)

Как видно из последней формулы,  иtизм связаны между собой линейной зависимостью. График поэтому должен представлять собой прямую линию. Наличие ошибкиt приводит к тому, что эта прямая перестанет проходить через начало координат, но не нарушает прямолинейного характера графика и угла наклона прямой к оси абсцисс, который зависит только ота:

  .                                             (1.12)

Поэтому определение тангенса угла наклона полученной прямой позволяет вычислить ускорениеа вне зависимости от ошибкиt и найти саму эту ошибку. Ошибки измерений приводят к тому, что экспериментальные точки в координатах  иtизм не лежат точно на прямой. Поэтому для построения графика используем метод наименьших квадратов (рис.1.4)

Описанный выше метод обработки наблюдений позволяет при данной величине перегрузкаm1 правильно измерить ускорениеа. Но это найденное из эксперимента значение ускорения не может быть непосредственно использовано для определения ускорения свободного паденияg, так как ускорение грузов зависит еще и от трения в оси блока. Ясно, что получить хорошие результаты эксперимента можно только при том условии, что вес перегрузка во много раз больше силы трения.

Сила трения определяется в основном весом грузаm, а не весом перегрузка. Увеличивая массу перегрузка, мы улучшаем поэтому условия опыта. Следует также иметь в виду вес нити, влияющий на движение сложным образом, так как длина нити с каждой стороны блока зависит от времени. Это влияние, однако, также уменьшается с ростомm1.

Величину массы перегрузка поэтому следует всячески увеличивать. Тем не менее, ее нельзя взять очень большой, так как при этом движение становится слишком быстрым, и точность измерения времени становится недостаточной. Лучше всего проводить измерения с не очень тяжелыми перегрузками и найти предел, к которому стремится вычисленное значениеg при увеличенииm1 до больших значений, которые на опыте непосредственно применяться не могут.

Проще всего находить предел графически. Для этого следует построить график, в котором по оси абсцисс откладывается величина , а по оси ординат – найденное при данномm1j значениеgj. Проведенную через экспериментальные точки кривую нужно экстраполировать (продолжить) к большим значениямm1, то есть к малым значениям , практически к . Найденное экстраполированное значение ускорения свободного падения и следует сравнивать с табличным (рис. 1.5).

Измерения проводятся в такой последовательности.

1. Перекинуть через блок нить с двумя грузами 3 и 4 и убедиться, что система находится в положении безразличного равновесия.

2. Установить кронштейн с фотодатчиком 6 в нижней части шкалы вертикальной стойки, а фотодатчик расположить таким образом, чтобы правый груз при движении вниз проходил в центре рабочего окна фотодатчика. За нижнее положение груза берется риска шкалы, соответствующая риске на корпусе фотодатчика, и являющаяся продолжением оптической оси фотодатчика, которую пересекает движущийся груз. Установить правый груз в крайнем верхнем положении, отметив его нижнюю кромку указателем 7.

3. Положить на правый груз один из перегрузков 5. Нажать на кнопку «ПУСК» блока. Происходит растормаживание электромагнита, правый груз начинает опускаться, и таймер электронного блока 8 начинает отсчет времени. При пересечении правым грузом оптической оси фотодатчика отсчет времени прекратится. Записать показания таймера, то есть время движения грузов.

4. Определить по шкале пройденный грузом путьh, как расстояние от нижней плоскости груза в верхнем положении до оптической оси фотодатчика.

5. Повторить измерения времени 4÷5 раз, записывая результатыti в таблицу.

6. Повторить измерения по п. 2÷5 с тем же перегрузком для 5 ÷ 6 других значений  расстоянияhi.

7. Повторить измерения по п. 2÷6  для 4 ÷ 5 других значений массы перегрузкаm1j.

Обработка результатов эксперимента

1. Для каждого значения массы перегрузкаm1i полученные результаты изобразить графически в координатах  иtизм.

2. По формулам (П2.4) и (П2.5) метода наименьших квадратов из Приложения 2 найти тангенс угла наклона прямой к оси абсциссА и величинуВ, отсекаемую этой прямой на оси ординат для каждого исследуемого значения массы перегрузки, при этом , .

3. Зная тангенсы углов наклона, определить значение ускорения по формуле (1.12) для каждой исследуемой массы перегрузка.

4. Определить ускорение свободного падения по формуле (1.7) для каждой исследуемой массы перегрузка.

5. Для каждого значения массы перегрузкаm1jполученные результаты расчетаgj изобразить графически в координатах.

6. С помощью метода наименьших квадратов найти экстраполированное значение  для случая по формуле (П2.5) Приложения 2, где , .

7. Сравнить полученный результат с ускорением свободного падения для широты Саратова, которое рассчитать по формуле:

.            (1.13)

Расчет погрешностей

1. Погрешность измерения ускорения свободного падения рассчитать по формулам (П2.6) – (П2.8) Приложения 2, где , .

2. Результат представить в виде .

Лабораторная работа № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ момента инерции твердого тела

на основе законов равноускоренного движения

Цель работы: изучение законов динамики вращательного движения, определение момента инерции и момента сил трения маятника Обербека

Основные теоретические сведения

Вращательным движением тела называется такое движение, при котором траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями с центрами на одной прямой, называемой осью вращения.

Для характеристики быстроты и направления вращения твердого тела вокруг оси служит угловая скорость. Угловой скоростьюназывается вектор , численно равный производной от угла поворота по времени  и направленный вдоль неподвижной оси вращения так, чтобы из его конца вращение тела было видно против часовой стрелки.

Угловым ускорениемназывается вектор , модуль которого равен производной от его угловой скорости по времени. Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то вектор  направлен вдоль этой оси: в ту же сторону, что , при ускоренном вращении  и в противоположную сторону при замедленном вращении .

Моментом силы  относительно неподвижной точкиО называется векторная величина , равная векторному произведению радиуса-вектора , проведенного из точкиО в точку А приложения силы (рис. 2.1), на вектор силы :

.                                                 (2.1)

Модуль момента силы определяется выражениемM=Frsin =Fl, где – угол между векторами  и . Величинаl=rsin, равная длине перпендикуляраОВ, опущенного из точкиО на линию действия силы, называется плечом силы относительно точкиО. Когда сила приложена к одной из точек твердого тела, то вектор  характеризует способность силы вращать тело вокруг точкиО, относительно которой он берется. Поэтому момент силы называют также вращательным моментом.

Главным или результирующим моментом системы сил относительно точкиО называется вектор , равный геометрической сумме моментов всехn сил системы:

,                                                     (2.2)

где  – вектор, проведенный из точкиО в точку приложения силы .

Из третьего закона Ньютона следует, что моменты относительно точкиО внутренних сил взаимодействия материальных точек системы попарно компенсируются. Следовательно, при вычислении главного момента сил надо учитывать только внешние силы, действующие на рассматриваемую механическую систему.

Моментом силы относительно неподвижной оси называется скалярная величинаM, равная проекции на эту ось вектора момента силы  относительно произвольной точкиО оси. Значение моментаM не зависит от выбора положения точкиОна оси.

При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси мерой его инертности является величина, называемая моментом инерцииI, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Моментом инерцииI материальной точки относительно неподвижной оси вращения называется величина, равная произведению ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:I=m r2.

Абсолютно твердое тело эквивалентно системе большого числаn материальных точек. Моментом инерциимеханической системы (в данном случае твёрдого тела) называется физическая величинаI, равная сумме произведений масс всех  материальных точек на квадрат их расстояний до оси вращения.

.                                                 (2.3)

Момент инерции абсолютно твердого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера момент инерцииI относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого телаIC относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы телаm на квадрат расстоянияd между осями

.                                                 (2.4)

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела определяет взаимную связь между моментом силы , моментом инерцииI и угловым ускорением . В векторной форме он записывается следующим образом

.                                                        (2.5)

Экспериментальная установка и методика измерений

В работе определяется момент инерции маятника Обербека, схема которого представлена на рис.2.2. Вращение маятника происходит под действием момента  силы натяжения нити и противоположно направлению момента сил трения . Тогда уравнение движения маятника (2.5) в проекции на ось вращения имеет вид

M =I +Mтр .                                                  (2.6)

Из равенства (2.6) видно, что если сила трения постоянна (не зависит от скорости), то зависимость величиныM от является линейной функцией видаy=Ax+B. При этомI играет роль углового коэффициентаА. Таким образом, экспериментальное исследование взаимосвязи между моментом силы натяженияM и угловым ускорением позволяет найти момент инерции маятникаI.

Движение гири 4 происходит под действием силы тяжестиmg (гдеm – масса гири,g – ускорение свободного падения) и силы натяжения нитиT. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения гири имеет вид

ma =mgT ,                                                (2.7)

Здесьa – ускорение движения гири, которое можно найти, зная времяt ее опускания и пройденный путьh. Используя известное уравнение равноускоренного движения, имеем

.                                                    (2.8)

Из равенств (2.7) и (2.8) получаем выражение для определения момента силы натяжения

,                                       (2.9)

гдеri – радиус шкива, который равен илиr1 илиr2(рис.2.2).

Учитывая соотношениеa =ri, связывающее угловое и линейное ускорения для точек на окружности шкива, из формулы (2.8) находим

.                                                   (2.10)

Итак, формулы (2.9) и (2.10) позволяют найти по экспериментальным данным момент силы натяженияM и угловое ускорение. Тогда, проведя опыты с гирями различной массыm, можно исследовать зависимостьM от и построить соответствующий график.

Таким образом, определение момента инерции колеса сводится к определению углового коэффициента найденной из опыта функцииM() (2.6).

Исследуемое тело 1 состоит из четырех стержней, укрепленных во втулке. На стержнях закрепляются грузы 2, перемещая которые, можно изменять момент инерции тела. На одной оси с телом находятся два шкива 3 радиусамиr1= 2 см иr2= 3,5 см. Ось закреплена в подшипниках так, что вся система может вращаться вокруг горизонтальной оси. Гиря 4, приводящая тело во вращение, прикреплена к концу нити, которая перекинута через блок 5 и наматывается на один из шкивов 3. На основную гирю массойm0 могут надеваться от одного до четырех дополнительных грузов 6.

Эксперимент осуществляется в такой последовательности.

1. Подготавливая установку к измерениям, необходимо установить стойку так, чтобы гиря при опускании не задевала фотоэлементы. Установить грузы по осям крестовины на концах стержней. К одному из шкивов 3 прикрепить нить, к другому концу нити повесить гирю 4 и перекинуть нить через верхний шкив 5. Установить при помощи разновесов 6 массу гири, большую, чем минимальная масса, при которой маятник начинает вращаться.

2. Вращая маятник, установить груз в крайнее верхнее положение таким образом, чтобы нижняя плоскость гири совпала с одной из рисок шкалы вертикальной стойки, для чего использовать флажок 7. Записать это значение, учитывая, что максимальное перемещение груза не менее 25 см.

3. Зафиксировать груз в этом положении. Для этого нажать на кнопку «СЕТЬ» блока, при этом должен сработать фрикцион электромагнита.

4. Установить кронштейн с фотодатчиком в нижней части шкалы вертикальной стойки и расположить фотодатчик 7 таким образом, чтобы гиря с дополнительными грузами при движении вниз проходила по центру рабочего окна фотодатчика. За нижнее положение гири берется отметка шкалы, соответствующая риске на корпусе фотодатчика и являющаяся продолжением оптической оси фотодатчика, которую пересекает движущаяся гиря.

5. Нажать на кнопку «ПУСК» блока. Происходит растормаживание электромагнита, гиря начинает опускаться, и таймер блока начинает отсчет времени. При пересечении оптической оси фотодатчика отсчет времени прекратится. Показание таймера определяет время движения гириt.

Определить по шкале пройденный грузом путьh, это расстояние от нижней плоскости гири в верхнем положении до оптической оси фотодатчика. Записав значенияh,r,m,t, нажать клавишу «СБРОС». Для повышения точности измерений повторить опыт до 3 5 раз и найти среднее значение времени.

6. Повторить измерение п. 5 при тех же значенияхh иr, увеличивая массу гири с помощью дополнительных грузов. Провести измерения для 3 4 значенийm. Результаты измерений записать в таблицу.

7. Выполнить задания п. 5 и п. 6 при других положениях грузов 2, изменяяr в пределах от 6 см до 14 см. Результаты измерений для каждогоr записать в таблицу.

Обработка результатов эксперимента

1. Для каждого выбранного значения положения грузов на стержняхr рассчитать по формулам (2.9) и (2.10) величиныM и при различныхm. Результаты вычислений записать в таблицу.

2. В каждом случае построить график функцииM(). Аппроксимировать экспериментальные результаты линейной зависимостьюM=+B по методу наименьших квадратов Приложения 2 и найти величиныA иBпо формулам (2п.4) и (2п.5), в которыхXi =i,Yi =Mi .

3. Для каждого выбранного положения грузов определить момент инерции маятника ОбербекаI=A и момент сил тренияMTP=B.

4. Построить график зависимости момента инерции от положения грузов на стержняхI(r).

Расчет погрешностей

1. Вычислить погрешность определения момента инерцииI=A по формулам (П2.6) и (П2.8) Приложения 2, в которыхXi =i,Yi =Mi.

2. Результат представить в виде .

3. Вычислить погрешность определения момента сил тренияMTP=B по формулам (П2.7) и (П2.8) Приложения 2, в которыхXi =i,Yi =Mi.

4. Результат представить в виде .

Лабораторная работа № 3

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ

Цель работы:исследование удара, изучение законов сохранения импульса и механической энергии при ударе, определение силы взаимодействия между шарами

Основные теоретические сведения

Удар – совокупность явлений, возникающих при кратковременном приложении к телу внешних сил, например, при взаимодействии с другим движущимся относительно него телом, связанных со значительным изменением его скорости за очень короткий промежуток времени.

Абсолютно неупругим называют такой удар, после которого скорости обоих соударяющихся тел оказываются одинаковыми.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает – кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса и имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов – механической и внутренней.

Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие немеханические виды энергии. Потенциальная энергия упругой деформации вновь переходит в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, величина которых определяется двумя условиями – сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы тел.

Рассмотрим центральный абсолютно упругий удар двух шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры.

Пусть шары массой  и  движутся до соударения со скоростями  и , а после соударения со скоростями  и . На основании закона сохранения импульса можно записать:

.                                   (3.1)

На основании закона сохранения энергии имеем:

.                                 (3.2)

Перепишем эти равенства в виде:

,                                     (3.3)

.                                    (3.4)

Поделив (3.4) на (3.3), получим:

                                             (3.5)

или

.                            (3.6)

Таким образом, при абсолютно упругом ударе относительная скорость шаров остается неизменной величиной.

Умножая уравнение (3.5) на , а затем на  и вычитая его из уравнения (3.3), получим:

,                                         (3.7)

.                                          (3.8)

Рассмотрим два частных случая.

1. Сумма импульсов обоих шаров до ударов равна нулю, то есть

.                                                  (3.9)

Тогда

,             ,

отсюда, применяя (3.9), находим: , , то есть скорости обоих шаров при ударе только изменяют свой знак.

2. Один шар до удара покоится: .

Тогда ,     .

После удара второй шар двинется в ту же сторону, куда двигался первый до удара. Скорость  и поведение первого шара зависит от соотношения масс.

а) Если , то первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью. Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого до удара.

б) Если , то направление движения первого шара при ударе изменяется – шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту сторону, в которую двигался первый до удара, но с меньшей скоростью.

в) Массы шаров одинаковы: . Тогда  , , то есть шары при ударе обмениваются скоростями.

В случае абсолютно неупругого удара

,  (3.10)

где  – одинаковая для обоих шаров скорость после удара.

Из (3.10) следует, что

.      (3.11)

В частном случае, когда массы шаров равны, .

В случае не абсолютно упругого удара часть кинетической энергии шаров при соударении переходит в энергию остаточной деформации. Тогда . Отсюда можно получить, что , то есть при неупругом ударе относительная скорость их меняет свое направление на противоположное, уменьшаясь в то же время по абсолютной величине .

Неупругий удар сопровождается остаточной деформацией. Если пренебречь всякого рода сопротивлениями, закон сохранения энергии для удара двух одинаковых шаров запишется так:

,                          (3.12)

где– энергия остаточной деформации одного шара, относящаяся к одному соударению.

Задания данной работы предусматривают проверку выражений закона сохранения импульса при упругом и абсолютно неупругом ударах.

Экспериментальная установка и методика измерений

Схема лабораторной установки показана на рис.3.1. К штативу 1 прикреплены два шара. Углы отклонения подвесов от вертикали определяются по шкалам 3. Электромагнит 4 служит для удержания одного из шаров в отклоненном положении.

Отведем один из шаров (например, правый) на некоторый угол  и отпустим без начальной скорости. Отклоненный шар будет двигаться вниз, разгоняясь, при этом его потенциальная энергия будет переходить в кинетическую. Пусть столкновение со вторым шаром происходит в тот момент, когда нить первого шара становится вертикально. По закону сохранения механической энергии (см. рис. 3.2)

,                   (3.13)

где  – масса шара,  – ускорение свободного падения,  – высота шара в отведенном положении относительно нижней точки траектории,  – скорость первого шара в нижней точке перед соударением со вторым.

Из рис. 3.2 видно, что

,                                            (3.14)

где  – расстояние от точки подвеса до центра тяжести шара,  – угол начального отклонения нити.

Подставляя (3.13) в (3.14) и преобразуя уравнение, найдем выражение для скорости через угол начального отклонения:

,                (3.15)

Массы шаров подобраны так, чтобы после удара они разлетелись в разные стороны. После удара шары получают скорости  и  (рис. 3. 3), и, разлетаясь, отклоняют нити на максимальные углы  и , соответственно.

Аналогично соотношению (3.15) получаем:

, .                          (3.16)

Если удар происходит достаточно быстро так, что нити во время удара не успевают отклониться на заметный угол, то в направлении горизонтальной осиоx не возникает внешних сил и выполняется закон сохранения импульса в проекции на эту ось:

.                                         (3.17)

Коэффициент  восстановления скорости определяется как отношение относительной скорости шаров после удара к относительной скорости шаров до удара:

.                                         (3.18)

В данном случае формула (3.18) с учетом (3.15) и (3.16) преобразуется к виду

                                     (3.19)

Для абсолютно упругого удара = 1. В случае столкновения реальных шаров, столкновение не является абсолютно упругим, и < 1.

Кроме коэффициента восстановления скорости соударение тел характеризуется коэффициентом  восстановления энергии, равным отношению кинетической энергии тел после удара к их кинетической энергии до удара:

.                                      (3.20)

Учитывая, что скорость второго шара до удара  = 0 и подставляя для скоростей выражения (3.15) и (3.16), находим рабочую формулу для коэффициента восстановления энергии:

.                                (3.21)

Если известна длительность удара, то из второго закона Ньютона по изменению импульса одного из шаров (например, левого) можно определить среднюю силу взаимодействия между шарами:

 или.                          (3.22)

Работа выполняется в такой последовательности.

1. Подключить электромагнит 4 с помощью разъёма 5 и клеммы верхнего кронштейна 7 к электронному блоку 8.

2. Вставить шары 2 в скобы подвеса. С помощью регулировочных опор выставить основание установки таким образом, чтобы нижние визиры скоб подвеса указывали на нули шкал.

3. Отрегулировать положение шаров в вертикальной и горизонтальной плоскостях до совмещения верхних визиров скоб подвеса. Регулировка производится с помощью изменения длины подвеса шаров, а также изменения положения узлов крепления нитей на верхнем кронштейне.

4. На пульте блока нажать кнопку «СБРОС». При этом на табло индикации высветятся нули, на электромагнит будет подано напряжение.

5. Отвести правый шар и зафиксировать его с помощью электромагнита. Определить начальный угол отклонения первого шара .

6. Нажать кнопку «ПУСК», при этом произойдет удар шаров. По таймеру блока определить время соударения шаров .

7. Определить время соударения для различных пар шаров по методике, описанной в п. 4 ÷ 6.

8. В правую скобу подвеса вставить алюминиевый шар со стальной вставкой, а в левую – латунный или стальной шар.

9. Выполнить п. 4 ÷ 6. При помощи шкал визуально определить углы отскока не менее трех раз. Найти среднее значение каждого из углов  и .

Обработка результатов экспериментов

1. По формуле (3.15) определить скорость  первого шара перед ударом. Используя средние значения углов отскока, по формулам (3.16) определить скорости обоих шаров сразу после удара  и . Проверить выполнение закона сохранения импульса (3.17).

2. Используя средние значения углов отскока по формулам (3.19) и (3.21) определить коэффициенты восстановления скорости и энергии.

3. Используя найденное выше значение  по формуле (3.22) определить среднюю силу, с которой шары действуют друг на друга во время удара.

Расчет погрешностей

1. По методике расчета случайных погрешностей прямых измерений Приложения 2 найти погрешности измерения углов отклонения  и . Для этого по формуле (П2.1) определить средние значения углов отклонения  и.Затем по формулам (П2.2), (П2.3), гдеXi =i,=найти среднеквадратическое отклонение и абсолютную величину погрешности.

2. Найти погрешность определения  и  по методике вычисления погрешностей косвенных измерений:

;    .              (3.23)

3. Найти погрешность определения средней силы удара по формуле:

. (3.24)

Лабораторная работа № 4

С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Цель работы:изучение сложного движения твердого тела и закона сохранения энергии в таком движении, определение момента инерции маятника Максвелла

Основные теоретические сведения

Рассмотрим плоское движение твердого тела, при котором все точки твердого тела перемещаются в параллельных плоскостях. Примером такого движения может служить качение цилиндра по плоскости. Плоское движение может быть представлено как суперпозиция двух движений – поступательного и вращательного.

Движение центра масс твердого тела определяется уравнением:

,                                                (4.1)

где  – скорость центра масс, – сумма всех внешних сил, действующих на тело.

Чтобы полностью определить движение тела, надо, кроме того, написать уравнение моментов относительно какой-либо произвольно выбранной неподвижной оси. Однако положение движущегося тела относительно неподвижной оси будет все время изменяться и связь между моментом импульса и угловой скоростью будет сложной. Для случая плоского движения задача существенно упрощается, так как можно записать уравнение моментов относительно оси, жестко связанной с телом и проходящей через его центр масс. Поскольку эта ось неподвижна относительно тела, можно записать основное уравнение динамики вращательного движения:

,                       (4.2)

где  – момент внешних сил относительно той же оси,  – момент инерции относительно той же оси.

Таким образом, уравнение (4.1) определяет скорость поступательного движения тела, а уравнение (4.2) – угловую скорость вращательного движения.

Применим полученные уравнения  к движению маятника Максвелла, общий вид которого изображен на рис.4.1. Маятник Максвелла представляет собой металлический диск1, в середине которого укреплен стержень2, а к ободу крепится съемное кольцо3. К концам стержня прикреплены две капроновые нити4. Они наматываются на стержень от концов его к диску. При освобождении маятника он начинает движение: поступательное вниз и вращательное вокруг своей оси симметрии. Вращение, продолжаясь по инерции в низшей точке движения, когда нити уже размотаны, приводит вновь к наматыванию нитей на стержень, а следовательно, и к подъему маятника.

Уравнения движения маятника без учета сил трения имеют вид:

,                                                 (4.3)

,                                                     (4.4)

,                                                        (4.5)

гдет масса маятника,I момент инерции маятника,g ускорение силы тяжести,r радиус стержня,T натяжение нити,аускорение поступательного движения центра масс маятника, угловое ускорение маятника.

Ускорениеа может быть получено по измеренному времени движенияt и проходимому маятником расстояниюh из уравнения

.                                                    (4.6)

Уравнения (4.3), (4.4), (4.5) дают:

,                                                 (4.7)

.                                                     (4.8)

Пользуясь этими уравнениями с учетом (4.6), можно определить момент инерции маятника Максвелла по экспериментально полученным данным:

.                                            (4.9)

Расстояниеh, проходимое маятником, измеряется по вертикальной рейке с делениями.

Момент инерции маятника можно рассчитать теоретически.

Момент инерции маятникаI является аддитивной величиной:

 ,                                           (4.10)

где , ,  – соответственно моменты инерции оси, диска и кольца маятника.

Момент инерции оси маятника  массой равен

.                                                (4.11)

Момент инерции диска  массой может быть найден по формуле:

,                                                 (4.12)

где – радиус диска.

Момент инерции  кольца массой  находится по формуле

,     (4.13)

где – средний радиус кольца,b– ширина кольца.

Полная кинетическая энергия маятника складывается из энергии поступательного перемещения центра масс, совпадающего с центром оси, и из вращения маятника вокруг оси:

.    (4.14)

Зная линейное и угловое ускорения, можно найти скорость движения оси маятника и угловую скорость его вращения:

.      (4.15)

Экспериментальная установка

и методика измерений

1. Надеть одно из колец 3 на диск маятника.

2. Установить нижний кронштейн с фотодатчиком 5 в крайнее нижнее положение шкалы так, чтобы верхняя плоскость кронштейна совпала с одной из рисок шкалы. —Все измерения необходимо производить с большой осторожностью, так как маятник легко повредить, даже если незначительно погнуть его стержень. Поэтому следует оберегать маятник от ударов об пол, край стола и так далее.

3. Произвести регулировку положения основания установки при помощи регулировочных опор так, чтобы диск на бифилярном подвесе находился в центре окна фотодатчика.

4. Установить необходимую длину бифилярного подвеса таким образом, чтобы нижний край диска маятника находился на 4…5 мм ниже оптической оси фотодатчика, при этом ось датчика должна занять горизонтальное положение. По шкале стойки определить ход маятникаh.

5. Подключить фотодатчик 5 и электромагнит 6 к электронному блоку 7. Нажать кнопку «Сеть». При этом должно включиться табло индикации.

6. Аккуратно вращая маятник, зафиксировать его в верхнем положении при помощи электромагнита 6, при этом необходимо следить за тем, чтобы нить наматывалась на ось виток к витку. В зафиксированном положении нити подвеса должны быть прослаблены.

7. Нажать на кнопку «Сброс», чтобы убедиться, что на индикаторах устанавливаются нули.

8. Нажать на кнопку «Пуск» блока 7. Происходит растормаживание электромагнита, маятник начинает опускаться, и таймер блока начинает отсчет времени. При пересечении маятником оптической оси фотодатчика отсчет времени прекратится. Записать показания таймера, то есть время движенияt.

9. Для повышения точности измерения п. 6 – 8 повторить 5 ÷ 6 раз.

10. С помощью штангенциркуля измерить радиусы оси маятника, диска и кольца, а также ширину кольца

11. Повторить измерения для других колец.

Обработка результатов экспериментов

1. Вычислить среднее значение времени  прохождения маятником путиh приN числе измерений.

2. Вычислить  по методике расчета погрешности прямых измерений, задавая доверительную вероятностьр0 и коэффициент Стьюдента  по таблице П2.1 Приложения 2, при этом , .

3. По формуле (4.9), в которой,  вычислить среднее значение момента инерции.

4. По формулам (4.11) – (4.14) вычислить теоретическое значение момента инерции маятникаI. Сравнить два полученных значения момента инерции и отметить в отчете, совпадают ли они в пределах точности эксперимента, указать возможные причины несовпадения.

5. По формулам (4.15) рассчитать линейную и угловую скорости маятника в нижней точке движения.

6. По формуле (4.14) найти кинетическую энергию маятника в этот момент, сравнить ее с начальной потенциальной энергией . По разности этих энергий оценить работу сил сопротивления.

Расчёт погрешностей

1. По формуле

                                        (4.16)

вычислить случайную погрешность измерения величины ΔIсл.

2. По формуле

                         (4.17)

вычислить приборную погрешность измерения величины ΔIп.

3. Суммарную погрешность величиныIрассчитать по формуле:

.                                       (4.18)

4. Результат представить в виде:.

Лабораторная работа № 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА МЕТОДОМ ИЗГИБА

Цель работы:изучение упругих деформаций различных материалов.

Основные теоретические сведения

Рассмотрим деформацию тонкой пластины под действием усилияF. Если материал пластины однороден, то все одинаковые участки ее в любом месте будут растянуты одинаково. Такая деформация называется одномерной. Пластина будет иметь одинаковую деформацию растяжения, характеризуемую относительным удлинением:

,                                                           (5.1)

где  – удлинение какого-либо участка пластины, имевшей первоначально длинуl.

Для любых отрезков, и в том числе для всей пластины, величина одинакова и зависит от величины растягивающей силыF.

Под действием этой силы в пластине возникнут внутренние усилия, с которыми действуют друг на друга частицы материала пластины. Величина усилия, действующая на единицу площади поперечного сеченияS, называется напряжениемσ:

.                                                            (5.2)

Из эксперимента известно, что при небольших усилиях напряжение и деформация примерно пропорциональны друг другу:

.                                                          (5.3)

Эта зависимость носит название закона Гука, а коэффициент пропорциональностиЕ называется модулем Юнга и является одной из существенных характеристик данного материала. Модуль Юнга считается положительным, так что знак напряжения совпадает со знаком деформации. Область напряжений и деформаций, в которой действует закон Гука, называется областью пропорциональности. Средние величины модуля Юнга для ряда материалов даны в табл. 1 Приложения 1.

Примером двумерного деформируемого твердого тела является изгиб пластины под действием сил, приложенных нормально к ее оси – поперечных нагрузок.

Если прямую упругую пластину обоими концами свободно положить на твердые опоры и нагрузить в середине силойР, то середина пластины опустится, то есть она согнется (рис. 5.1). При таком изгибе верхние слои пластины будут сжиматься, а нижние – растягиваться. Некоторый средний слой, который называется нейтральным, сохранит длину и только претерпит искривление.

Перемещениеd, которое получает середина пластины, называется стрелой прогиба. Стрела прогиба тем больше, чем больше нагрузка, кроме того, она зависит от формы и размеров пластины и от ее модуля упругости.

Найдем связь между стрелой прогиба и характеристиками упругой пластины. Рассмотрим пластину прямоугольного сечения длинойl, толщинойh и ширинойa (рис.5.1, а). Под воздействием внешней силы пластина искривляется и ее форма может быть описана функциейy(x) (рис. 5.1, б).

Определим величину и характер внутренних усилий, возникающих в пластине после того, как произошла деформация изгиба и установилось равновесие. Для этого выделим произвольный элемент пластины достаточно малой длиныdl и запишем условия равновесия этой части, учитывая действие как внешних сил, так и внутренних усилий.

При изгибе этот выделенный элемент пластины деформируется примерно так, как изображено на рис. 5.2. Оба поперечных сечения сдвинулись на уголd. Слой, прилегающий к средней линии , является нейтральным. Укорочение (сжатие) и удлинение (растяжение) слоев, находящихся соответственно выше и ниже нейтрального слоя пропорционально расстоянию слоя от нейтрального, так как поперечное сечение и при деформации остается плоским. Тогда, еслиu – расстояние до некоторого слоя от нейтрали вверх, то напряжение в этом слое будет равно:

,                                        (5.4)

где0 – напряжение в самом удаленном слое, находящемся на расстоянии  от нейтрального.

Таким образом, для пластины, ширина сечения которой равнаa, в слое толщинойdu и находящемся на расстоянииu от нейтрали, имеет место усилие:

.         (5.5)

Теперь можно подсчитать момент усилий в поперечном сечении:

    (5.6)

Величина , равная в данном случае , – коэффициент, определяемый геометрией пластины.

Деформация характеризуется формой линии изгиба, называемой упругой линией. В данном случае упругая линия проходит через ось пластины. Пусть уравнение искомой линии будетy =f(x), гдеy – отклонение точки с координатойx от прямой оси пластины, на которой лежали эти точки до деформации (рис. 5.3). Из рисунка видно, что , где представляет собой угол, который составляет направление касательной к упругой линии в точке с координатойx с прямой осью. Если учесть, что углы очень малы, то , а изменение направления касательной при переходе от точкиxк точкеx +dx  равно: .

Так как поперечные сечения всегда перпендикулярны к упругой линии, то  и, следовательно,

.                                                   (5.7)

Момент усилий в поперечном сечении выражается согласно формуле (5.6). Максимальное напряжение0 можно связать по закону Гука с деформацией слоя. Очевидно, что удлинение слоя, находящегося на расстоянииb от нейтрального, равно:

,                                                           (5.8)

а напряжение в нем:

.                                                 (5.9)

Учитывая (5.7), получаем:

.                                             (5.10)

Теперь в уравнении (5.6) заменим  по формуле (5.10) и найдем уравнение для упругой линии:

.                                            (5.11)

Таким образом, необходимо определить распределение изгибающих моментовM(x) вдоль оси пластины. Это можно сделать на основе заданной нагрузки и условий на опорах. Реакцию опор находим из условия равновесия всей пластины: . Изгибающий момент для сечения, расположенного на расстоянии  от левой опоры должен быть уравновешен вращательным моментом реакции опоры, поэтому:

.                                               (5.12)

В результате для формы упругой линии получаем дифференциальное уравнение:

,                                            (5.13)

интегрируя которое, находим:

.                                       (5.14)

Постоянную интегрированияС определим из условия равенства нулю наклона пластины в ее центре: то есть  при , откуда . После второго интегрирования имеем:

.                                               (5.15)

Вторая постоянная интегрирования равна нулю, так какy(0) = 0.

Стрела прогибаd по модулю равна смещению середины пластины:

,                                            (5.16)

откуда окончательно для модуля Юнга получаем:

.                                                       (5.17)

Экспериментальная установка и методика измерений

Схема экспериментальной установки изображена на рис.5.4. Эксперимент проводится в такой последовательности.

1. Установить одну из исследуемых пластин1 на призматические опоры2. Установить часовой индикатор3 таким образом, чтобы его наконечник коснулся пластины.

2. Повесить на скобу4 гирю5 массойm. По шкале индикатора определить величину прогиба. Для повышения точности повторить измерения 3 – 4 раза.

3. Повторить задание п.2, увеличивая массу гири с помощью дополнительных грузов. Всего провести измерения для 6 ÷ 7 значенийm.

4. Измерить штангенциркулем размеры пластины.

Обработка результатов экспериментов

1. Вычислить среднее значение величины прогиба для каждого значения массы грузаm.

2. Построить графикP =f(d).

3. Методом наименьших квадратов рассчитать значение тангенса угла наклона прямойP =f(d), используя формулу (П2.4) Приложения 2, в которойXi =di, аYi =Pi, гдеdi – среднее значение стрелы прогиба вi-м измерении,Pi =mig – нагрузка на пластину в этом измерении.

По формуле  вычислить среднее значение модуля Юнга для данного материала.

5. Сравнить полученное значение с приведенными в табл. 1 Приложения 1 и определить материал, из которого сделана исследуемая пластина.

Расчёт погрешностей

1. По формулам (П2.5), (П2.6) и (П2.8) Приложения 2 вычислить погрешность измерения(tg).

2. Определить случайную погрешность модуля Юнга по формуле:

.                                                (5.18)

3. По формуле

                         (5.19)

вычислить приборную погрешность.

4. Результирующую погрешность вычислить по формуле (П2.11) Приложения 2.

5. Результат представить в виде:.

Лабораторная работа  № 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА

С ПОМОЩЬЮ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

Цель работы:определение модуля сдвига материала пружины.

Основные теоретические сведения

Сдвигом называется деформация, при которой все плоские слои твердого тела, параллельные некоторой плоскости, называемой плоскостью сдвига, смещаются параллельно друг другу (рис.6.1). Сдвиг происходит под действием силыF, приложенной параллельно плоскости сдвигаВС. Мерой деформации при этом является угол сдвига, характеризующий относительный сдвиг. По закону Гука относительный сдвиг пропорционален касательному напряжению:

,(6.1)

гдеS – площадь грани ВС,G – модуль сдвига, численно равный касательному напряжению, вызывающему относительный сдвиг, равный единице.

Средние величины модуля сдвига некоторых материалов даны в табл. 2 Приложения 1.

В данной работе определяется модуль сдвигаG материала, из которого изготовлена винтовая пружина. Основными геометрическими параметрами пружины являются диаметр проволокиd = 2r, диаметр витка пружиныD= 2R и число витковN (рис. 6.2). Под действием растягивающей силыР длина пружиныl увеличивается согласно закону Гука на величинуl:

,                                                  (6.2)

где  – жесткость пружины.

Таким образом, необходимо по параметрам пружины вычислить зависимость между ее деформацией и силой.

Ограничимся рассмотрением винтовой пружины с малым шагом витков, то есть с малым по сравнению с ее диаметром расстоянием между смежными витками. При этом условии наклоном витков можно пренебречь и считать, что любое поперечное сечение параллельно силамР, приложенным вдоль оси пружины и растягивающим ее. Можно показать, что для указанных условий жёсткость пружины

.                                                 (6.3)

Подставляя в формулу (6.2), получим:

.                                               (6.4)

Из равенства (6.4) следует, что зависимость усилия растяжения от деформации  имеет вид прямой:

.                                            (6.5)

Тангенс угла наклона этой прямой к оси абсцисс

,                                             (6.6)

откуда находим величину модуля сдвига:

.                                             (6.7)

Если пружину заставить колебаться под действием груза массойm вдоль осиox, то получим пружинный маятник, уравнение незатухающих колебаний которого запишется так:

.                                         (6.8)

Круговая частота незатухающих колебаний , откуда получим уравнение для периода:

.                                                  (6.9)

Подставляя выражение дляk (6.3), получим формулу для вычисления модуля сдвига:

.                                           (6.10)

Таким образом, по периоду колебаний пружинного маятника можно определить модуль сдвига.

Экспериментальная установка и методика измерений

Для определения модуля сдвига в работе используется установка, показанная на рис. 6.3. На штативе1 установлен кронштейн2 с узлом крепления вертикально подвешенных сменных пружин3. К пружине подвешивается наборный груз4. Измерение периодов колебаний груза производится с помощью фотодатчика5. На данной установке можно измерить модуль сдвига двумя способами: с помощью пружинного маятника и методом растяжения пружины.

I.Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника

1. Подключить фотодатчик к блоку при помощи кабеля.

2. Повесить одну из исследуемых пружин на кронштейн2.

3. Повесить на пружину наборный груз4. При этом кронштейн2 с вертикально подвешенной пружиной должен быть закреплен на вертикальной стойке1 таким образом, чтобы наборный груз, подвешенный к пружине, своей нижней плоскостью совпадал с оптической осью фотодатчика 5, закрепленного в нижней части стойки. Оптическая ось фотодатчика совпадает с рисками на фотодатчике.

4. Нажать кнопку «СЕТЬ» блока. При этом должно включиться табло индикации.

5. Поднять груз немного вверх и отпустить. При этом груз начинает совершать колебательные движения на пружине.

6. Нажать на кнопку «ПУСК», определить значение времени 20 колебаний груза по таймеру и нажать кнопку «СТОП».

7. Определить период колебаний груза по формуле:,гдеt – время колебаний,n – число колебаний.

8. Для повышения точности повторить измерения п.7 3 ÷ 4 раза.

II.Определение модуля сдвига методом растяжения пружины

1. Повесьте на пружину груз массойm1.

2. При помощи линейки измерьте положение нижней плоскости грузаy1.

3. Повторите задание п.2, увеличивая массу гири с помощью дополнительных грузов. Всего проведите измерения для 6 ÷ 7 значенийm.

Обработка результатов экспериментов

I.Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника

1. Определить среднее значение периодаколебаний по формуле (П2.1).

2. Определить среднее значение модуля сдвига материала пружины по формуле

,                                              (6.11)

гдеm – масса груза в килограммах.

II.Определение модуля сдвига методом растяжения пружины

1. Построить графикP =f(y). Если закон Гука выполняется, то график будет иметь вид прямой, а тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс определяется модулем сдвига и параметрами пружины.

2. Методом наименьших квадратов рассчитать значение тангенса угла наклона прямой, используя формулу (2П.4), в которойXi =yi, аYi =Pi, гдеyi – среднее значение удлинения пружины вi-м измерении,Pi =mig – нагрузка на пружину в этом измерении.

3. По формуле

                                           (6.12)

вычислить усредненное значение модуля сдвига для данного материала.

Расчёт погрешностей

I.Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника

1. Вычислить  по методике расчета погрешности прямых измерений, задавая доверительную вероятностьр0 и коэффициент Стьюдента  по формулам (П2.1) – (П2.3), в которыхXi =Ti.

2. Определить погрешность измерения модуля сдвигаG по формуле .                                              (6.13)

3. Результат представить в виде.

4.С помощью табл. 2 Приложения 1 сделать вывод о материале, из которого изготовлена пружина.

II.Определение модуля сдвига методом растяжения пружины

1. По формулам (П2.5) – (П2.8) вычислить погрешность измерения(tg), считаяXi =yi,Yi =Pi,

2. По формуле

                                      (6.14)

вычислить погрешность модуля сдвига.

5. Результат представить в виде .

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики: В 3 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика.– М.: Наука, 1989.

2.. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976.

3. Методические указания по обработке результатов измерений в физическом практикуме / Сост. Е.И. Дмитриева, Л.А. Захарова, Н.Е. Попова, А.Н. Сальников, Саратов: СГТУ, 1998.

4. Сальников А.Н. Физический практикум 2. Саратов, СГТУ, 2003.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Реферат ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА

2. Реферат ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

3. Реферат Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

4. Реферат Определение ускорения свободного падения с помощью физического и математического маятников

5. Реферат Определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника и моментов инерции маятника

6. Реферат Определение ускорения свободного падения через время падения тела

7. Реферат ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА

8. Реферат ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

9. Реферат Измерение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника

10. Реферат Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника