Новости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА

Работа добавлена:






ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА на http://mirrorref.ru

Лабораторная работа № 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА

Цель работы:изучение законов динамики поступательного движения системы тел, исследование движения с различными ускорениями, определение ускорения свободного падения

Основные теоретические сведения

Поступательным называется такое движение, при котором все точки тела описывают в пространстве конгруэнтные траектории.

Средней скоростью называется отношение вектора перемещения  к интервалу времени  :  (рис. 1.1), а мгновенной  скоростью – предельное значение средней скорости, то есть .

Направление мгновенной скорости совпадает с касательной к траектории в каждой точке. Движение с постоянной скоростью называется равномерным движением.

Средним ускорением называется отношение вектора изменения скорости  к интервалу времени : , а мгновенным ускорением –  (рис. 1.1).

Движение с постоянным ускорением называется равнопеременным.

Если траектория представляет собой прямую линию (рис.1.2), а начальная скорость равна , то формула пути для такого движения имеет вид:

.                                              (1.1)

При движении под действием силы  выполняется второй закон Ньютона:

,                                                      (1.2)

гдеm – масса тела.

Если сила является силой тяжести, то есть тело движется в поле тяготения Земли, то

,                                                   (1.3)

гдеP – вес тела, то есть сила, с которой тело действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес.

Именно такое движение и рассматривается в данной работе.

Экспериментальная установка и методика измерений

Основные законы кинематики и динамики могут быть проверены опытным путем на машине Атвуда. Машина Атвуда (см. рис. 1.3) состоит из укрепленного на штативе 1 блока 2, через который перекинута нить с подвешенными на ней одинаковыми грузами 3 и 4. Масса этих грузов может быть увеличена добавочными небольшими грузами – перегрузками 5. Если на груз массы  положить перегрузок с массой , то вся система начнет двигаться равноускоренно.

На груз 3 и груз 4 с перегрузком 5 будут действовать две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. При этом, если масса блока невелика по сравнению с , и трение мало, то раскручивание блока практически не требует приложения к нему крутящего момента и силы натяжения нити по обе стороны блока равны друг другу. На основании второго закона Ньютона можно написать для обоих грузов уравнение движения:

,                              (1.4)

где  – ускорение системы,Т – натяжение нити,  – ускорение свободного падения.

Решение этих уравнений дает величину натяжения нити и величину ускорения:

,                                          (1.5)

.                                             (1.6)

Отсюда

.                                             (1.7)

Ускорение грузова можно найти из кинематических соотношений (1.1), которые для нашего случая перепишутся в виде:

,                                                (1.8)

здесьh – высота, с которой падает груз,t – время падения.

Чтобы устранить неизбежные и большие случайные погрешности измерения, следует выбрать правильную методику измерений и обработки результатов.

Обсудим ошибки, возникающие при измерении времени пролетаt. Уменьшение вклада случайных ошибок достигается многократным повторением каждого опыта в одинаковых условиях.

Рассмотрим теперь систематическую ошибку в измерении времени, которую обозначимt. Неизвестное нам истинное время пролетаt связано с измеренным временем пролетаtизм соотношением:

 .                                               (1.9)

Так как в формулу (1.8) входит истинное времяt, то подставляя (1.9) в (1.8) получим:

.(1.10)

Таким образом, задача состоит в том, чтобынайти с помощью (1.10) ускорениеа по измеренным значениямh иtизм. Это лучше всего сделать, изображаяh иtизм на графике в координатах  иtизм.

Извлекая корень квадратный из обеих частей равенства (1.10), найдем:

.                                     (1.11)

Как видно из последней формулы,  иtизм связаны между собой линейной зависимостью. График поэтому должен представлять собой прямую линию. Наличие ошибкиt приводит к тому, что эта прямая перестанет проходить через начало координат, но не нарушает прямолинейного характера графика и угла наклона прямой к оси абсцисс, который зависит только ота:

  .                                             (1.12)

Поэтому определение тангенса угла наклона полученной прямой позволяет вычислить ускорениеа вне зависимости от ошибкиt и найти саму эту ошибку. Ошибки измерений приводят к тому, что экспериментальные точки в координатах  иtизм не лежат точно на прямой. Поэтому для построения графика используем метод наименьших квадратов (рис.1.4)

Описанный выше метод обработки наблюдений позволяет при данной величине перегрузкаm1 правильно измерить ускорениеа. Но это найденное из эксперимента значение ускорения не может быть непосредственно использовано для определения ускорения свободного паденияg, так как ускорение грузов зависит еще и от трения в оси блока. Ясно, что получить хорошие результаты эксперимента можно только при том условии, что вес перегрузка во много раз больше силы трения.

Сила трения определяется в основном весом грузаm, а не весом перегрузка. Увеличивая массу перегрузка, мы улучшаем поэтому условия опыта. Следует также иметь в виду вес нити, влияющий на движение сложным образом, так как длина нити с каждой стороны блока зависит от времени. Это влияние, однако, также уменьшается с ростомm1.

Величину массы перегрузка поэтому следует всячески увеличивать. Тем не менее, ее нельзя взять очень большой, так как при этом движение становится слишком быстрым, и точность измерения времени становится недостаточной. Лучше всего проводить измерения с не очень тяжелыми перегрузками и найти предел, к которому стремится вычисленное значениеg при увеличенииm1 до больших значений, которые на опыте непосредственно применяться не могут.

Проще всего находить предел графически. Для этого следует построить график, в котором по оси абсцисс откладывается величина , а по оси ординат – найденное при данномm1j значениеgj. Проведенную через экспериментальные точки кривую нужно экстраполировать (продолжить) к большим значениямm1, то есть к малым значениям , практически к . Найденное экстраполированное значение ускорения свободного падения и следует сравнивать с табличным (рис. 1.5).

Измерения проводятся в такой последовательности.

1. Перекинуть через блок нить с двумя грузами 3 и 4 и убедиться, что система находится в положении безразличного равновесия.

2. Установить кронштейн с фотодатчиком 6 в нижней части шкалы вертикальной стойки, а фотодатчик расположить таким образом, чтобы правый груз при движении вниз проходил в центре рабочего окна фотодатчика. За нижнее положение груза берется риска шкалы, соответствующая риске на корпусе фотодатчика, и являющаяся продолжением оптической оси фотодатчика, которую пересекает движущийся груз. Установить правый груз в крайнем верхнем положении, отметив его нижнюю кромку указателем 7.

3. Положить на правый груз один из перегрузков 5. Нажать на кнопку «ПУСК» блока. Происходит растормаживание электромагнита, правый груз начинает опускаться, и таймер электронного блока 8 начинает отсчет времени. При пересечении правым грузом оптической оси фотодатчика отсчет времени прекратится. Записать показания таймера, то есть время движения грузов.

4. Определить по шкале пройденный грузом путьh, как расстояние от нижней плоскости груза в верхнем положении до оптической оси фотодатчика.

5. Повторить измерения времени 4÷5 раз, записывая результатыti в таблицу.

6. Повторить измерения по п. 2÷5 с тем же перегрузком для 5 ÷ 6 других значений  расстоянияhi.

7. Повторить измерения по п. 2÷6  для 4 ÷ 5 других значений массы перегрузкаm1j.

Обработка результатов эксперимента

1. Для каждого значения массы перегрузкаm1i полученные результаты изобразить графически в координатах  иtизм.

2. По формулам (П2.4) и (П2.5) метода наименьших квадратов из Приложения 2 найти тангенс угла наклона прямой к оси абсциссА и величинуВ, отсекаемую этой прямой на оси ординат для каждого исследуемого значения массы перегрузки, при этом , .

3. Зная тангенсы углов наклона, определить значение ускорения по формуле (1.12) для каждой исследуемой массы перегрузка.

4. Определить ускорение свободного падения по формуле (1.7) для каждой исследуемой массы перегрузка.

5. Для каждого значения массы перегрузкаm1jполученные результаты расчетаgj изобразить графически в координатах.

6. С помощью метода наименьших квадратов найти экстраполированное значение  для случая по формуле (П2.5) Приложения 2, где , .

7. Сравнить полученный результат с ускорением свободного падения для широты Саратова, которое рассчитать по формуле:

.            (1.13)

Расчет погрешностей

1. Погрешность измерения ускорения свободного падения рассчитать по формулам (П2.6) – (П2.8) Приложения 2, где , .

2. Результат представить в виде .

Лабораторная работа № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ момента инерции твердого тела

на основе законов равноускоренного движения

Цель работы: изучение законов динамики вращательного движения, определение момента инерции и момента сил трения маятника Обербека

Основные теоретические сведения

Вращательным движением тела называется такое движение, при котором траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями с центрами на одной прямой, называемой осью вращения.

Для характеристики быстроты и направления вращения твердого тела вокруг оси служит угловая скорость. Угловой скоростьюназывается вектор , численно равный производной от угла поворота по времени  и направленный вдоль неподвижной оси вращения так, чтобы из его конца вращение тела было видно против часовой стрелки.

Угловым ускорениемназывается вектор , модуль которого равен производной от его угловой скорости по времени. Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то вектор  направлен вдоль этой оси: в ту же сторону, что , при ускоренном вращении  и в противоположную сторону при замедленном вращении .

Моментом силы  относительно неподвижной точкиО называется векторная величина , равная векторному произведению радиуса-вектора , проведенного из точкиО в точку А приложения силы (рис. 2.1), на вектор силы :

.                                                 (2.1)

Модуль момента силы определяется выражениемM=Frsin =Fl, где – угол между векторами  и . Величинаl=rsin, равная длине перпендикуляраОВ, опущенного из точкиО на линию действия силы, называется плечом силы относительно точкиО. Когда сила приложена к одной из точек твердого тела, то вектор  характеризует способность силы вращать тело вокруг точкиО, относительно которой он берется. Поэтому момент силы называют также вращательным моментом.

Главным или результирующим моментом системы сил относительно точкиО называется вектор , равный геометрической сумме моментов всехn сил системы:

,                                                     (2.2)

где  – вектор, проведенный из точкиО в точку приложения силы .

Из третьего закона Ньютона следует, что моменты относительно точкиО внутренних сил взаимодействия материальных точек системы попарно компенсируются. Следовательно, при вычислении главного момента сил надо учитывать только внешние силы, действующие на рассматриваемую механическую систему.

Моментом силы относительно неподвижной оси называется скалярная величинаM, равная проекции на эту ось вектора момента силы  относительно произвольной точкиО оси. Значение моментаM не зависит от выбора положения точкиОна оси.

При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси мерой его инертности является величина, называемая моментом инерцииI, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Моментом инерцииI материальной точки относительно неподвижной оси вращения называется величина, равная произведению ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:I=m r2.

Абсолютно твердое тело эквивалентно системе большого числаn материальных точек. Моментом инерциимеханической системы (в данном случае твёрдого тела) называется физическая величинаI, равная сумме произведений масс всех  материальных точек на квадрат их расстояний до оси вращения.

.                                                 (2.3)

Момент инерции абсолютно твердого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера момент инерцииI относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого телаIC относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы телаm на квадрат расстоянияd между осями

.                                                 (2.4)

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела определяет взаимную связь между моментом силы , моментом инерцииI и угловым ускорением . В векторной форме он записывается следующим образом

.                                                        (2.5)

Экспериментальная установка и методика измерений

В работе определяется момент инерции маятника Обербека, схема которого представлена на рис.2.2. Вращение маятника происходит под действием момента  силы натяжения нити и противоположно направлению момента сил трения . Тогда уравнение движения маятника (2.5) в проекции на ось вращения имеет вид

M =I +Mтр .                                                  (2.6)

Из равенства (2.6) видно, что если сила трения постоянна (не зависит от скорости), то зависимость величиныM от является линейной функцией видаy=Ax+B. При этомI играет роль углового коэффициентаА. Таким образом, экспериментальное исследование взаимосвязи между моментом силы натяженияM и угловым ускорением позволяет найти момент инерции маятникаI.

Движение гири 4 происходит под действием силы тяжестиmg (гдеm – масса гири,g – ускорение свободного падения) и силы натяжения нитиT. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения гири имеет вид

ma =mgT ,                                                (2.7)

Здесьa – ускорение движения гири, которое можно найти, зная времяt ее опускания и пройденный путьh. Используя известное уравнение равноускоренного движения, имеем

.                                                    (2.8)

Из равенств (2.7) и (2.8) получаем выражение для определения момента силы натяжения

,                                       (2.9)

гдеri – радиус шкива, который равен илиr1 илиr2(рис.2.2).

Учитывая соотношениеa =ri, связывающее угловое и линейное ускорения для точек на окружности шкива, из формулы (2.8) находим

.                                                   (2.10)

Итак, формулы (2.9) и (2.10) позволяют найти по экспериментальным данным момент силы натяженияM и угловое ускорение. Тогда, проведя опыты с гирями различной массыm, можно исследовать зависимостьM от и построить соответствующий график.

Таким образом, определение момента инерции колеса сводится к определению углового коэффициента найденной из опыта функцииM() (2.6).

Исследуемое тело 1 состоит из четырех стержней, укрепленных во втулке. На стержнях закрепляются грузы 2, перемещая которые, можно изменять момент инерции тела. На одной оси с телом находятся два шкива 3 радиусамиr1= 2 см иr2= 3,5 см. Ось закреплена в подшипниках так, что вся система может вращаться вокруг горизонтальной оси. Гиря 4, приводящая тело во вращение, прикреплена к концу нити, которая перекинута через блок 5 и наматывается на один из шкивов 3. На основную гирю массойm0 могут надеваться от одного до четырех дополнительных грузов 6.

Эксперимент осуществляется в такой последовательности.

1. Подготавливая установку к измерениям, необходимо установить стойку так, чтобы гиря при опускании не задевала фотоэлементы. Установить грузы по осям крестовины на концах стержней. К одному из шкивов 3 прикрепить нить, к другому концу нити повесить гирю 4 и перекинуть нить через верхний шкив 5. Установить при помощи разновесов 6 массу гири, большую, чем минимальная масса, при которой маятник начинает вращаться.

2. Вращая маятник, установить груз в крайнее верхнее положение таким образом, чтобы нижняя плоскость гири совпала с одной из рисок шкалы вертикальной стойки, для чего использовать флажок 7. Записать это значение, учитывая, что максимальное перемещение груза не менее 25 см.

3. Зафиксировать груз в этом положении. Для этого нажать на кнопку «СЕТЬ» блока, при этом должен сработать фрикцион электромагнита.

4. Установить кронштейн с фотодатчиком в нижней части шкалы вертикальной стойки и расположить фотодатчик 7 таким образом, чтобы гиря с дополнительными грузами при движении вниз проходила по центру рабочего окна фотодатчика. За нижнее положение гири берется отметка шкалы, соответствующая риске на корпусе фотодатчика и являющаяся продолжением оптической оси фотодатчика, которую пересекает движущаяся гиря.

5. Нажать на кнопку «ПУСК» блока. Происходит растормаживание электромагнита, гиря начинает опускаться, и таймер блока начинает отсчет времени. При пересечении оптической оси фотодатчика отсчет времени прекратится. Показание таймера определяет время движения гириt.

Определить по шкале пройденный грузом путьh, это расстояние от нижней плоскости гири в верхнем положении до оптической оси фотодатчика. Записав значенияh,r,m,t, нажать клавишу «СБРОС». Для повышения точности измерений повторить опыт до 3 5 раз и найти среднее значение времени.

6. Повторить измерение п. 5 при тех же значенияхh иr, увеличивая массу гири с помощью дополнительных грузов. Провести измерения для 3 4 значенийm. Результаты измерений записать в таблицу.

7. Выполнить задания п. 5 и п. 6 при других положениях грузов 2, изменяяr в пределах от 6 см до 14 см. Результаты измерений для каждогоr записать в таблицу.

Обработка результатов эксперимента

1. Для каждого выбранного значения положения грузов на стержняхr рассчитать по формулам (2.9) и (2.10) величиныM и при различныхm. Результаты вычислений записать в таблицу.

2. В каждом случае построить график функцииM(). Аппроксимировать экспериментальные результаты линейной зависимостьюM=+B по методу наименьших квадратов Приложения 2 и найти величиныA иBпо формулам (2п.4) и (2п.5), в которыхXi =i,Yi =Mi .

3. Для каждого выбранного положения грузов определить момент инерции маятника ОбербекаI=A и момент сил тренияMTP<