Нечёткие величины

Работа добавлена:






Нечёткие величины на http://mirrorref.ru

Федеральное государственное образовательное бюджетное

учреждение высшего профессионального образования

«Финансовый университет при Правительстве

Российской Федерации»

Кафедра «Математика»

Дисциплина «Нечеткие множества и мягкие вычисления»

Домашнее творческое задание

по теме: «Нечёткие величины»

Выполнил:

Студент гр.ПМ 3-2

Мальцева Е.В.

Проверила:

к.ф-м.н., профессор Гисин В.Б.

Москва – 2016

Оглавление

  • Оглавление
  • Аннотация.
  • Введение.
  • Нечеткие величины, нечеткие интервалы и нечеткие числа.
  • Принцип обобщения.
  • Заключение.
  • Список используемой литературы

Аннотация.

Домашняя творческая работа посвящена вопросам применения теории нечётких величин в задачах. Рассматриваются различные способы оценивания показателей работы, как численных, так и качественных, при помощи нечётких чисел. Представлены основные определения, которые более точно дают понять тему сообщения. Разобраны примеры решения задач с нечеткими величинами.

В данной работе два параграфа:

  1. Нечеткие величины, нечеткие интервалы и нечеткие числа;
  2. Принцип обобщения.

В каждом параграфе есть: теоретическая часть и часть с примерами. Для большей наглядности в примерах представлены графики.

Введение.

Математическая теория нечетких множеств, предложенная Л.Заде более четверти века назад, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или, когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

В этой работе обсуждаются методы исчисления выражений с неточными величинами, представленным в виде распределений возможности на множестве действительных чисел. Эти методы находятся в полном соответствии с методами расчета неопределенностей или теорией ошибок и представляют собой их расширение на случай взвешенных интервалов. Их значение показано на ряде примеров в конце этой главы. В сущности, в исчислении нечетких величин предлагается один из вариантов развития теории чувствительности, которая может приобретать оттенки без заметного увеличения объема необходимых вычислений. Когда затруднительно применение теории случайных функций, на смену ей также приходит исчисление нечетких величин, хотя, конечно, ценой некоторой потери информации – большей или меньшей в зависимости от характера решаемых проблем.

В разделе: «принцип обобщения» ставится следующая задача: как по заданным невзаимодействующим возможностным переменнымX,Y,Z,…, каждая из которых характеризуется нечеткой величиной, ограничивающей ее область определения, вычислить нечеткую величину, которая ограничивает область определения переменнойf (X,Y,Z,…), гдеf – заданная функция принимающая действительные значения.

  1. Нечеткие величины, нечеткие интервалы и нечеткие числа.
  2. Процесс управления в технических системах основывается на количественном представлении сигналов в рассматриваемой системе. Такое представление связано с рассмотрением нечетких отображений, нечетких функций, а также специальных нечетких множеств, которые задаются на множестве действительных чисел и служат аналогом обычных чисел, рассматриваемых в контексте четких (обычных) множеств.

    С лингвистической точки зрения нечеткое число – это нечеткая величина, трактуемая как неточное, неопределенное числовое значение некоторой измеримой величины: например, «примерно три», «приблизительно семь» и т.п.

    Нечеткая величинаQ– это произвольное нечеткое множество, определенное на множестве действительных чисел, т.е. отображение μQизR в [0,1]. Здесь функция принадлежности μQбудет естественным образом рассматриваться как функция распределения возможностей на значениях, принимаемых некоторой переменной, будем в общем случае предлагать, что функция μQнормирована.

    Всякое действительное числоm, принадлежащее ядруQ (т.е. μQ(m)=1), называется модальным значениемQ.

    Можно определить такой тип нечеткой величины, который обобщает понятие интервала :нечеткий интервал– это нечеткая величина с выпуклой функцией, принадлежности которой квазивогнута:

    u,v, ⩝w ∈ [u,v],μQ(w)>minQ(u), μQ(v)).

    Нечеткая величина является выпуклой тогда, и только тогда, когда ееα-срезы выпуклы, т.е. являются (ограниченными или неограниченными) интервалами. Понятие замкнутых интервалов обобщается в виде понятия нечетких интервалов, у которых функция принадлежности полунепрерывна сверху, т.е. по определению их α-срезы являются замкнутыми интервалами. Понятие компактных подмножеств множества действительных чиселR (замкнутых и ограниченных) обобщается с помощью понятия нечетких величин с полунепрерывными сверху функциями принадлежности, определенными на компактном носителе. Будем называть нечетким числом полунепрерывный сверху нечеткий интервал с компактным носителем и единственным модальным значением.

    Нечеткое число– это нечеткая величина с выпуклой унимодальной функцией принадлежности. Другими словами, нечеткое число соответствует унимодальному выпуклому нечеткому множеству, заданному на универсальном множестве действительных чисел.

    Нечеткий нуль– это нечеткое число с нулевым модальным значением.

    Положительное (отрицательное) нечеткое число– это нечеткое число со строго положительным (отрицательным) носителем.

    Если М – нечеткое число с модальным значениеm, то М является возможным представлением понятия «околоm». В случае же нечеткого интервала множество модальных значений само есть некоторый интервал. Нечеткая величинаQ будет называтьсяполимодальной, если существуетконечное множество выпуклых нечетких подмножеств {М1|iI} с полунепрерывными сверху функциями принадлежности, таких, чтоQ есть объединение Мi в смысле формулы:

    ⩝ω, μFG(ω) =maxF(ω), μG(ω)).

    Нечеткий инетрвал – это удобная форма представления неточных величин, более богатая информацией, чем обычный, точный интервал. Действительно, часто встречаются ситуации, когда требуется оценить точность некоторого параметра или обеспечить прогноз значения некоторого признака, а обычный интервал оказывается неудовлетворительным представлением. Следует лив таком случае фиксировать границы этого интервала: давать пессимистические оценки (тогда интервал окажется широким, а проводимые расчеты будут иметь ничтожную ценность из-за их неточности) или оптимистические (тогда будет существовать риск выхода таким образом определенной величины за пределы назначенной области, что подвергает сомнению получаемые «точные» результаты)? Нечткий интервал позволяет иметь одновременно пессимистическое и оптимистическое представление: носитель нечеткого интервала будет выбираться так, чтобы гарантировать «невыход» рассматриваемой величины за нужные пределы, а его ядро будет содержать наиболее правдоподобные значения.

    Пусть П – мера возможности, связанная с распределениемμQ, гдеQ – нечеткий интервал с функцией принадлежности, полунепрерывный сверху, и компактным носителем. Отметим, что в этом случае мера возможности удовлетворяет условию непрерывности мер неопределенности для монотонно возрастающих или убывающих последовательностей компактных множеств. Рассмотрим множество Р всех вероятностных мер, совсетимых с мерой возможности П, т.е. в соответствии с формулой:

    P = {P|A,N(A)P(A) ≤ П(A)}.

    Пусть [q1,q2] – ядроQ*нечеткого интервалаQ.

    Верхняя граница множества Р достигается вероятностной мерой Р* с функцией распределенияF*, такой, что

    uR,F*(u) =P*((-,u]) = П((-,u]) =sup {μQ(r) |ru},

    т.е.

    Рис.1.1

    Точно так же нижняя граница множества Р достигается вероятностной мерой Р* с функцией распределенияF*, такой, что

    uR,F*(u) =P*((-,u]) =N((-,u]) =inf {1-μQ(r) |r>u},

    т.е.

    Используя определения верхних и нижних математических ожиданий, можно получить соответственно нижнее и верхнее средние значения нечеткой величиныQ:

    Тогда среднее значение нечеткого интервалаQ будет являться множеством всех средних значений случайных величин, совместимых сQ (удовлетворяющих условию (1,30)), т.е. интервалом [Е*(Q),E*(Q)]. Кажется, вполне естественным, что среднее значение нечеткого интервала – обычный интервал. ЕслиQ = [a,b], то легко убедиться, чтоE*(Q) =a,E*(Q) =b.

    1. Принцип обобщения.
    2. Пусть X и Y – два заданных универсальных множества. Говорят, что имеется функция y=f(x), определенная на множестве X со значениями на множестве Y, если в силу некоторого закона f каждому элементу xX соответствует элемент yY. Функцию f называютотображениемf: X→Y множества X на множествоY, а значениеf(x)Y, которое она принимает на элементеxX, называют образом элемента x.

      Принцип обобщения распространяет понятие «отображение» математического анализа и соответственно математические операции типа сложения, вычитания, умножения, деления и др. на описываемые нечеткими множествами нечеткие числа, Введение принципа обобщения дает возможность, оперируя нечеткими числами, решать при наличии лингвистически заданной неопределенности традиционные задачи теории управления: идентификации, фильтрации, прогнозирования и т.д. Классическое определение принципа обобщения, введенное Заде, выглядит следующим образом.

      Согласно принципу обобщения, при заданном четком f: X→Y или нечетком f: X→HY отображении для любого нечеткого множестваA= μА(x)/x, заданного на универсальном множестве X, можно определить на универсальном множестве Y нечеткое множество f(A), являющееся образом нечеткого множества A, в соответствии со следующим правилом: при четком отображении:

      , yY.

      Процедура построения множества f(A), суть поиск функции принадлежности , где нечеткое множество A задано на универсальном множестве X заключается в следующем. Произвольно фиксируется элемент y0Y. В этом случае функцияесть проекция функции нечеткого отображения, а искомая функция принадлежности результирующего нечеткого множества f(A) является минимаксом этой проекции и функции принадлежности исходного нечеткого множества A.

      Пример.Пусть нечетким множеством A=0,6/1+1/2+0,8/3 задано нечеткое число «примерно два» и четкое отображение y=f(x)=x2. Если возвести заданное нечетким множеством A нечеткое число «примерно два» в квадрат, то получим другое нечеткое множество f(A)=0,6/1+1/4+0,8/9, соответствующее новому нечеткому числу «примерно два в квадрате». Точки функции принадлежности:

      x1=1y1=±1y1=1,μf(A)y1==0,6,

      x1=1±y1=1y1 =1,μf(A)y2==1,

      x3=1y3=±3y3=9,μf(A)y3==0,8.

      Пример. Пусть нечеткое множество A задано функцией принадлежности μA(x)=e−x2. Тогда при четком отображении y=f(x)=ex имеем x=f−1/y=lny, y>0(см.рис.1.1):

      μf(A)y==supxf−1/y{e−lny2,y>0,0,y≤0,=e−lny2,y>0,0,y≤0,=y−lny,y>0,0,y≤0.

      Рис.2.1. Функция принадлежности нечеткого множестваfA, являющегося результатом функционального преобразованияf(x)=exнечеткого числаA, заданного функцией принадлежностиμAx=e−x2.

      Заключение.

      В этой домашней творческой работе рассмотрены достаточные условия для выражения α-уровня нечеткой величины f (Q1, Q2) в виде функции α-уровней нечетких величин Q1 и Q2. Нечеткая величина f (Q1, Q2) получается за счет применения принципа обобщения к функции действительных переменных f, которая принимает действительные значения и строится на основе двух невзаимодействующих нечетких интервалов является обобщением теории ошибок, а также теории действительных чисел. Более того, оно лежит в основе методов выполнения практических вычислений, которые станут предметом следующего раздела.

      Пожалуй, наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

      Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое кантовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0;1), а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими. Л.Заде определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода.

      Введя затем понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, Л.Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

      Список используемой литературы

      1. Волкова Е.С., Гисин В.Б. Нечеткие множества и мягкие вычисления в экономике и финансах: учебное пособие. Изд. 2-е. – М.: Финансовый университет, 2016. – с. 46-50.
      2. http://fuzzy-group.narod.ru/files/Fuzzy_Modeling/Lection01.Introduction.pdf
      3. George J. Klir, BoYuan. Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications. – USA: Prentice Hall PTR, 1995 –
      4. L. A. Zadeh. Fuzzy Sets. – 1965

Нечёткие величины на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Нечеткие отношения, их свойства и операции над ними. Нечеткие графы

2. Нечеткие отношения

3. Нечеткие множества в системах основанных на знаниях

4. Нечеткие выводы, база правил, действия с функциями принадлежности

5. Случайные величины

6. Величины и множества

7. Выборка случайной величины

8. Случайные величины в теории вероятности

9. Годовые величины амортизационных отчислений

10. Синусоидальные переменные величины. Сложение и вычитание