Новости

Моделирование и автоматическое проектирование устройств связи. Моделирование теплового поля однородного стержня

Работа добавлена:






Моделирование и автоматическое проектирование устройств связи. Моделирование теплового поля однородного стержня на http://mirrorref.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации

Новосибирский государственный  технический  университет

Факультет радиотехники, электроники и физики

Кафедра КТРС

Расчетно-графическая работа по дисциплине

«Моделирование и автоматическое проектирование устройств связи»

«Моделирование теплового поля однородного стержня»

Вариант 11

Студент: Цвик П.Ю.                                                Проверил: Девятков Г.Н.

Группа: РКС10-31                                                    Оценка:

      Факультет: РЭФ

Дата сдачи: 06.10.16

Новосибирск

2016

  1. Исходные данные

Последние цифры студенческого шифра

11

Метод решения задачи

Метод явных разностных схем

5

Длина стержня,м

9

,°С

80

,°С

0

Коэффициент теплоёмкости С, МДж/м³К

2.4

Коэффициент теплопроводимости К, Дж/мКс

200

  1. Постановка задачи

Имеется однородный стержень длинойL, один конец которого соединен с идеальным теплопроводом. В момент времени  к свободному концу стержня прикладывается «тепловая ступенька». Мощность источника тепла достаточна для поддержания постоянной температуры  на свободном конце стержня, а отвод тепла происходит только за счет теплопроводности стержня в продольном направлении.

Требуется формализовать задачу, получив уравнения теплопроводности непосредственно в конечных разностях, и решить ее методом явных разностных схем, определив температурный профиль по длине   стержня в заданный момент времени .

Рис.1. Однородный стержень

  1. Формализация задачи

Данная задача - одномерная, так как по условию отвод тепла происходит только за счет теплопроводности стержня в продольном направлении, то есть тепловые потоки в поперечных направлениях стержня равны нулю. Выделив из стержня элементарный объем, можно записать уравнение баланса количества теплоты, предварительно разделив обе части уравнения на объем элемента и рассматриваемый период времениτ:

                                            ,                                      (1)

гдеJx+,Jx-- удельные плотности входящего и выходящего тепловых потоков;

hx - длина элементарного объема;

θis+1- θis - приращение температуры элементарного объемаi за время  τ;

s-номер шага по времени, т.е. номер временного слоя.

Рис.2. Элементарный объем

Считая, что свойства среды линейны, на основании закона Фурье рассматриваемые тепловые потоки можно выразить через разности температур соседних объёмов и получить уравнение в явной форме:

                                           ,                                (2)

Уравнение (2) содержит одну неизвестную - .

  1. Алгоритм численного решения и его описание

Данное уравнение необходимо преобразовать относительно :

                                            ,                               (3)

Полученному уравнению соответствует форма расчётной ячейки, представленная нарис.3. Расчётная ячейка позволяет наглядно представить, значения температур каких узлов следует подставлять в уравнение (3) при вычислении неизвестной . Для минимизации расчетов принимаем .

Известны начальные и граничные условия: температура свободного конца всегда равна θ1,а закреплённого на теплоотводе -θср.В начальный момент времени  температура стержня во всех узлах равнаθср.

Таким образом, известна температура всех узлов стержня на нулевом временном слое, а также температуры крайних точек стержня. Это позволяет, начав движение расчётной ячейки в нулевом слое, найти значения температур точек стержня на последующих временных слояхs+1.

Рис.3. Схематичная форма расчетной ячейки в случае явной разностной схемы и ее начальное положение в момент времени .

Параметр  для явной разностной схемы выбирается из условия устойчивости вычислительного процесса:

                                                                                                                   (5)

Параметрhx выбирается из условия заданной точности решения. Приемлемая точность может быть получена при разделении стержня по длине на восемь частей.

  1. Вычисление

Выбираем шагиτ иhxв соответствии с формулой (5) и рекомендациям к решению:

Из заданного критерия точности выбираем значениеτ удобным для дальнейших математических операций, а также обеспечиваем целочисленное значение количества уровнейs:

При вычислении температуры элементов стержня в различных температурных слоях используется постоянный коэффициент А:

Так как выше было обговорено, что для обеспечения заданной точности решения по длине стрежня взято 8 узлов, поэтому:

Таблица 1. Решение задачи с помощью явной разностной схемы

Счетчики циклов

Вычисления

S

(0,…,Smax-1)

i

(L/hx-1,…,1)

(oC)

s=0

i= L/hx-1

= 0

i= L/hx-2

=0

i= L/hx-3

=0

i= L/hx-4

=0

i= L/hx-5

=0

i= L/hx-6

=0

i= L/hx-7

=0

s=1

i= L/hx-1

= 26.337

i= L/hx-2

= 0

i= L/hx-3

=0

i= L/hx-4

=0

i= L/hx-5

=0

i= L/hx-6

=0

i= L/hx-7

=0

s=2

i= L/hx-1

= 35.333

i= L/hx-2

=8.671

i= L/hx-3

= 0

i= L/hx-4

=0

i= L/hx-5

=0

i= L/hx-6

=0

i= L/hx-7

=0

s=3

i= L/hx-1

= 41.261

i= L/hx-2

= 14.594

i= L/hx-3

= 2.855

i= L/hx-4

= 0

i= L/hx-5

=0

i= L/hx-6

=0

i= L/hx-7

=0

s=4

i= L/hx-1

= 45.235

i= L/hx-2

= 19.508

i= L/hx-3

= 5.78

i= L/hx-4

= 0.94

i= L/hx-5

= 0

i= L/hx-6

=0

i= L/hx-7

=0

s=5

i= L/hx-1

= 48.211

i= L/hx-2

=23.458

i= L/hx-3

=8.706

i= L/hx-4

=2.224

i= L/hx-5

=0.309

i= L/hx