Новости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Работа добавлена:






ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА на http://mirrorref.ru

Федеральное Агентство по образованию РФ

Волжский Политехнический Институт (филиал)

Волгоградского Государственного Технического Университета

МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Лабораторная работа № 11

Волжский   2006

Лабораторная работа №11

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

11.1. Цель работы:Определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника.

11.2. Содержание работы

Среди разнообразных физических явлений широко распространены колебательные явления, обладающие общими чертами и даже подчиняющиеся общим закономерностям, несмотря на то, что эти колебательные явления имеют различную природу (например, механические и электрические колебания). Среди этого обширного класса явлений к механике относятся механические колебательные движения. Общая черта всех колебательных движений состоит в том, что они представляют собой движения, многократно повторяющиеся или приблизительно повторяющиеся через определенные промежутки времени. При изучении колебательных движений мы ограничимся рассмотрением колебаний математического, физического и оборотного маятников.

1.Математическим маятникомP= -m·g·sin(α), стремящаяся вернуть груз в положение равновесия. Момент этой силы относительно оси вращения определится из соотношения:

.                                                    (11.1)

Запишем для маятника основное уравнение динамики вращательного движения:

,                                                         (11.2)

где - момент инерции математического маятника - величина, численно равная произведению массы груза на квадрат расстояния его от точки подвеса,

     ε - угловое ускорение, равное второй производной от угла отклонения по времени.

Уравнение (11.2) можно переписать в виде:

или                                                            .                                                           (11.3)

Ограничимся рассмотрением малых колебаний. В этом случае можно положитьsin(α) =α. Обозначив , придем к следующему уравнению:

     .                                                                    (11.4)

Решение этого уравнения можно записать в виде:

   .                                                                 (11.5)

Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону (по закону синуса). В этом уравнении α0 – амплитуда колебаний, то есть максимальное угловое смещение, маятника от положения равновесия. Аналогичные рассуждения можно провести не только для углового смещения математического маятника от положения равновесия, но и для смещения его по дуге S или хорде, так как при малых углах отклонения α дуга приблизительно равна хорде. В этом случае дифференциальное уравнение (11.4) будет иметь вид:

    ,                                                                    (11.6)

и его решение можно записать в виде:

 ,                                                                 (11.7)

где S - смешение материальной точки от положения равновесия;

     А - амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение маятника от положения равновесия, которое достигается приsint + φ) = 1. Величина (ωt + φ) называется фазой колебания и характеризует положение колеблющейся точки в момент времени t;

     φ - начальная фаза колебаний, то есть величина, которая определяет положение колеблющейся точки в момент времени t = 0;

     ω - циклическая частота, определяет собою число полных колебаний за 2π секунд; ;

     Т - период колебаний, то есть время, в течение которого точка совершает одно полное колебание.

Пользуясь выражениями для   ω2 и ω,  получим:

    .                                                                      (11.8)

Эта формула для периода колебаний математического маятника справедлива для малых углов отклонения от положения равновесия. Формула для периода колебаний, одинаково пригодная как для малых, так и для больших углов отклонения математического маятника, имеет вид:

  ,                                              (11.9)

где: αо - максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При αо → 0 формула (11.9) переходит в формулу (11.8).

2. Подфизическим маятником понимается абсолютно твердое тело, имеющее возможность колебаться под действием собственного веса вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс.

При отклонении физического маятника от положения равновесия на угол α возникает вращающий момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. В случае малых углов отклонения этот момент равен:

   ,                                                                   (11.10)

гдеm - масса маятника;   - расстояние от точки подвеса до центра инерции маятника.

Знак  "минус" имеет то же значение, что и в случае формулы (11.1). Под влиянием этого момента М тело приобретает угловое ускорение . С другой стороны, исходя из основного уравнения динамики вращательного движения (11.2), подставляя в него значение М по формуле (11.10) и  вместо ε, получим:

   ,                                                              (11.11)

или                                                                   .                                                   (11.12)

Это уравнение аналогично уравнению (11.3) для математического маятника. Обозначим . Так как , то .

Отсюда                                                               .                                            (11.13)

Величину  принято называть приведенной длиной физического маятника. Приведенной длиной физического маятника называют длину такого математического маятника, который изохронен данному физическому, то есть имеет такой же период колебаний. Оба маятника - физический и математический с длиноюо - будучи отклоненными на один  и тот же угол, совершают тождественные колебания. Поэтому, если значение α ≤ 8-10°, то колебания физического маятника можно практически считать гармоническими.

Так как в выражение момента инерцииJ входит масса, то приведенная длина физического маятникаlо не зависит от его полной массы, а зависит только от его геометрической формы и распределения масс. Подставляя в формулу (11.12) значение приведенной длины маятника, получим:

    .                                                                 (11.14)

Таким образом, формула для периода колебаний физического маятника принимает вид, аналогичный формуле (11.8) для периода колебаний математического маятника.

3. Физический маятник, у которого существуют две параллельные оси качания, называетсяоборотным (рис.11.2).

Периоды колебаний оборотного маятника относительно точек О и О1 определяются следующим образом:

                                   (11.15)

где m - масса оборотного маятника;

      J и  J1 - моменты инерции оборотного маятника относительно осей качания О и О1;

и1 - расстояния от осей качания О и О1 до центра масс С.

По теореме  Штейнера:

      ,                                                                    (11.16)

где Jо - момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела;

        J - момент инерции тела относительно оси вращения, параллельной предыдущей и отстоящей от нее на расстоянии L. С учетом уравнения (11.16) моменты инерции маятника J и J1 относительно точек О и О1 можно выразить через момент инерции Jо тех же маятников относительно оси качания, проходящей через центр масс.

.                                                 (11.17)

11.4. Методика проведения эксперимента и обработка результатов

11.4.1. Методика эксперимента

В том случав, когда точка О1 лежит на линии ОС на расстоянии ОО1 =о, она называется центром качания оборотного маятника. Применение оборотного маятника для определения ускорения свободного паденияg основано на свойстве сопряженности центра качания и точки подвеса. Это свойство заключается в том, что во всяком физическом маятнике, а следовательно, и в оборотном, всегда можно найти такие две точки, что при последовательном подвешивании маятника за ту или другую из них период его колебаний остается одним и тем же. Расстояние между этими точками равно приведенной длинео данного маятника. Учитывая, что Т = Т1 = То и произведя необходимые преобразования, найдем:

      .                                                                      (11.18)

Подставив теперь это значение Jо в формулу (11.17), найдем:

.                                                     (11.19)

Величина ( +1), равная расстоянию между осями качания О и О1 с одинаковыми периодами колебаний, представляет собой приведенную длинуо оборотного маятника.

Из соотношения (11.18) получим, что ускорение свободного падения выразится следующим образом:

     .                                                                      (11.20)

Ускорение свободного падения определяется с помощью оборотного маятника, который устроен следующим образом; на стальном стержне закреплены три стальные чечевицы и две ножевые опоры О и О1, обращенные друг к другу остриями. Положение чечевиц, как и положение ножевых опор на стержне, может быть произвольным. Однако в целях облегчения настоящей работы положение чечевиц и опоры О установлено заранее и должно сохраняться постоянным. Положение второй ножевой опоры О1 в процессе выполнения работы изменяется. Периоды колебаний измеряются относительно обеих опор при определенных расстояниях между ними.

11.4.2. Порядок выполнения работы

1) Маятник закрепить на опоре О и определить положение опоры по делениям на стержне.

2) Измерить период колебаний маятника относительно неподвижной опоры О. Для этого измерить время 30 полных колебаний.

3) Закрепить маятник на опоре О1 и отметить положение опоры по делениям на стержне

4) Измерить период колебаний маятника относительно опоры О1.

5) Смещая опору О1 каждый раз на 2 см от предыдущей отметки, измерить 10 значений периода колебаний маятника относительно обеих опор.

6) По результатам измерений построить график (рис.11.3). По оси абсцисс отложить расстояние между точками О и в см ( +1), равное разности координат опор О и О1по делениям на стержне.

По оси ординат отложить периоды колебаний относительно опор О и О1, Т и Т1. При пересечении графиков обеих этих функций периоды маятника относительно опор О и О1будут равны, то есть Т = Т1, а измеренная по графику длина ( +1) будет равна приведенной длине оборотного маятника0.

7) Подставив в формулу (11.20) измеренные по графику То ио (рис.11.3), вычислить ускорение свободного паденияg.

8) Результаты расчетов занести в таблицу 11.1.

Таблица 11.1

Расстояние между опорами ( +1), см

Время 30 колебаний,   с

Период колебаний,  с

относительно О

относительно О1

относительно О,

Т

относительно О1,

Т1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

2. Измерение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ МЕТОДОМ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

4. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

5. ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА

6. Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

7. ИЗУЧЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

8. Определение ускорения свободного падения при помощи универсального маятника

9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА

10. Определение ускорения свободного падения с помощью физического и математического маятников