Новости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ИЗГИБА

Работа добавлена:






ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ИЗГИБА на http://mirrorref.ru

Федеральное Агентство по образованию РФ

Волжский Политехнический Институт (филиал)

Волгоградского Государственного Технического Университета

МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Лабораторная работа № 21

Волжский   2006

Лабораторная работа № 21

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ИЗГИБА

21.1. Цель работы:Изучение закона Гука и определение модуля упругости (модуля Юнга) для стали и латуни.

21.2. Содержание работы

Все материалы, применяемые в машиностроении, обладают упругими свойствами. Упругость - свойство макроскопических тел изменять свою форму и размеры под действием внешних сил и самопроизвольно восстанавливать исходную конфигурацию при прекращении внешних воздействий.

В данной лабораторной работе для упрощения рассуждений будем рассматривать деформацию идеально упругих, однородных и изотропных тел. Вспомним, что идеально упругими считаются тела, которые могут претерпевать только упругие деформации, исчезающие с прекращением действия внешней силы. Изотропными в теории упругости называются тела, упругие свойства которых по всем направлениям одинаковы.

Упругие свойства тел обусловлены силами взаимодействия атомов, из которых они построены. Характер изменения этих сил с расстояниемr между. атомами показан на рис.21.1. При больших расстояниях между атомами преобладают силы притяжения, быстро убывающие с ростом г. При сближении атомов вплотную друг к другу начинает превалировать взаимное отталкивание электронных оболочек атомов. Приr =r0 силы отталкивания и притяжения уравновешивают друг друга, и атомы твердого тела при отсутствии внешних сил располагаются на расстоянииr друг от друга.

Рассмотрим упругую деформацию стержня длины  и площади поперечного сечения S (рис.21.2). Пусть к обоим концам приложена внешняя силаF, под действием которой стержень удлинится на некоторую величину. При этом расстояния между соседними атомами вдоль оси стержня возрастут на некоторую величинуr (см.рис.21.1). Удлинение всей цепочки атомов связано сr соотношением:

       .                                                                             (21.1)

При смешении атомов из своих положений равновесия между ними возникнут силы притяженияf , возрастающие по абсолютной величине |f | с увеличениемr . При малых растяжениях, покаrr, (следовательно и) нелинейную зависимостьf отr можно практически заменить прямой линией (пунктир на рис.21.1). Тогдаf будет прямо пропорциональноr, в с учетом знака можно записать

                 ,                                                                         (21.2)

гдеk - коэффициент пропорциональности, зависящий от конкретного вида кривой взаимодействия атомов данного твердого тела.

Мысленно расчленим по длине рассматриваемый стержень на ряд параллельных цепочек атомов. Число этих цепочек, приходящихся на единицу площади поперечного сечения стержня, обозначим черезn0. Тогда во всем поперечном сечении будет действовать суммарная сила притяжения

f = -krn0S.      (21.3)

Изменение расстояния между атомамиr будет возрастать до тех пор, пока эта сила не уравновесит внешнюю силуF , т.е.

F = -f.      (21.4)

Подставляя в уравнение (21.4) уравнение (21.3), предварительно выразивr из уравнения (21.1) для внешней силы получим

F = kn0r0S / .      (21.5)

На практике принято рассматривать не силуF, а напряжение =F/S, т.е. силу, отнесенную к единице площади поперечного сечения стержня.

Разделив обе части уравнения (21.5) на площадь поперечного сеченияS , для напряжения получим

=kn0r0 / .      (21.6)

Отношение /  = называется относительным удлинением. Оно равно отношению абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине. Это безразмерная величина. В случае деформация сжатия она будет характеризовать относительное укорочение стержня. Поэтому в общем случае называют относительной деформацией.

Произведениеkn0r0 характеризует механические свойства материала, из которого изготовлен стержень: это модуль упругости или модуль Юнга Е.

Окончательно уравнение (21.6) примет вид:

=E.      (21.7)

Соотношение (21.7) выражает закон Гука: нормальное напряжение прямо пропорционально относительной деформации.

При удлинении атомных цепочек при растяжении стержня (рис.21.2) расстояния между атомами вдоль цепочек возрастают. При этом изменяется взаимодействие между соседними цепочками, к они несколько сближаются друг с другом. Поэтому при растяжении стержня его поперечные размеры несколько уменьшаются. В первом приближения это уменьшение пропорционально напряжению.

Закон Гука является приближенным и с достаточной степенью точности выполняется для большинства материалов лишь в области малых деформаций.

Выясним физический смысл модуля упругости (модуля Юнга). Положим в уравнении (21.7) относительную деформацию равной единице; в этом случае нормальное напряжение будет равно модулю Юнга. Следовательно, модуль упругости материала численно равен такому нормальному напряжению, при котором относительная деформация образца равна единице. Для случая деформации растяжения/=1 или=, т.е. длина стержня увеличится в два раза. Согласно уравнению (21.1), межатомные расстояния также должны увеличиться в два раза. Но такого в действительности не наблюдается. Материалы разрушаются раньше, чем напряжения достигнут модуля Юнга. Так, если межатомные расстояния г=г1 (рис.21.1), сила притяжения принимает наибольшее возможное значениеf1. При дальнейшем растяжении тела силы взаимодействия между его атомами падают и уже не могут уравновесить приложенную нагрузку. Тело при этом разрывается. Напряжение, равное модулю Юнга выдерживает, не разрушаясь, только каучук. Причиной снижения модуля упругости во всех реальных материалах является наличие дефектов кристаллического строения: дислокаций, вакансий, междуузельных атомов.

Значение модуля упругости различно для разках материалов и зависит только от природа атомов (молекул), образующих тело, а также от их взаимного расположения. Изменить модуль упругости можно лишь путем значительного изменения состава или внутренней структуры твердого тела. Однако и в этом случае наблюдается небольшое изменение Е. Следовательно, модуль Юнга является одной из основных характеристик упругих свойств материалов, мало изменяющихся под влиянием различных факторов.

Следует, однако, отметить зависимость модуля упругости от температуры. Постоянной величиной модуль Юнга является только в определенных температурных интервалах, характерных для каждого материале. Температурное изменение модуля упругости может оказаться весьма вредным в приборах автоматического управления, часах, высотомерах и других точных приборах. В этих случаях упругие элементы (пружины) таких приборов изготавливают из специальных сплавов (элинваров), не изменяющих своего модуля упругости в определенном интервале температур (например, от -50 до +50° С).

Таблица 21.1Значения модулей упругости различных материалов

Материал

Модуль Юнга,

ГПа

Материал

МодульЮнга,

ГПа

Алюминий

69

Медь

110 – 130

Бронза оловянистая

75 - 124

Никель

210

Висмут

32

Олово

30

Гранит

35 - 50

Свинец

157

Дюралюмин катан.

71

Серебро

82

Железо

196

Сталь легированная

210 - 220

Иридий

520

Сталь углеродистая

200 - 210

Кадмий

50

Стекло

49– 78

Константан

160

Титан

116

Латунь

92 - 96

Фторопласт

0,5 - 0,8

Лед

3

Цинк

78

Важность изучения закона Гука обусловлена тем, что именно с упругой деформации начинается всякий процесс деформирования. И пластической деформации, и разрушению всегда предшествует упругая деформация. Кроме того, упругие свойства материалов необходимо учитывать при плотном соединении различных деталей (например, болтов и гаек), т.к. иногда должно иметь место некоторое вполне определенное сочетание значений модулей упругости.

В данной лабораторной работе рассматривается упругая деформация стержня с прямоугольным поперечным сечением, лежащего на двух опорах, под действием внешней силыF, приложенной к его середине и направленной вертикально вниз (рис.21.3).

Такая деформация называется изгибом. Изгиб - сложная деформация, которую можно представить как совокупность растяжения и сжатия. Мысленно разобьем стержень на "волокна" вдоль его длины. В исходном состоянии все "волокна" имеют длину, равную длине стержня. При его изгибе верхние "волокна" будут сжиматься, нижние - растягиваться, а средние (нейтральные) "волокна" сохраняют свою длину и только претерпят искривление. Чем выше располагаются "волокна" относительно нейтрального слоя, тем больше они сжаты, в чем ниже расположены •волокна" относительно нейтральных, тем больше она растянуты.

Для отдельного "волокна" изогнутого стержня деформация будет приблизительно однородной, и закон Гука можно записать в форме(21.7). Зная деформацию "волокна", можно определить модуль Юнга. Но измерение деформации каждого такого элемента структуры стержня представляет значительные теоретические и - экспериментальные трудности. Поэтому принято рассматривать идеализированный случай изгиба невесомых, тонких и узких стержней, у которых поперечные сечения всегда бы оставались неизменными по форме и нормальными к продольной оси. На практике тонким принято считать стержень, если его длина  много больше его ширины а и толщиныb. В этих случаях можно не учитывать напряжения, возникающие при деформации, на его боковых поверхностях.

Практически при изгибе тонких и узких стержней принято измерять не деформацию, а стрелу прогиба - смещение середины стержня в направлении, перпендикулярном его продольной оси. Закон Гука в этом случае можно записать в виде

F =ch,     (21.8)

гдеh - стрела прогиба; с  - постоянный для данного стержня коэффициент, зависящий от его размеров и упругих свойств.

        .     (21.9)

Решая совместно уравнения (21.8) в (21.9), получим формулу дла вычисления модуля упругости материала стержня

          (21.10)

Измерив размерь стержня (,a,b). стрелку прогиба и внешнюю силуF можно определить модуль Юнга.

21.3. Описание лабораторной установки

Установка для определения модуля упругости из изгиба состоит из массивной платформы 1 (рис.21.4) с двумя опорами 2, ребра которых находятся на одной горизонтали и параллельны друг другу. На середину стержня перед установкой его на опоры надевается обойма 3 с крючком 4, на который подвешивается чашка для грузов 5. В нерабочем состоянии грузы находятся в гнездах 6 платформы 1.

Изменение положения стержня при нагрузке определяется с помощью микрометра 7, закрепленного на стойке 8. Острие микрометрического винта находится над серединой стержня, расположенного на опорах. В верхней части обоймы, обращенной к микрометру, имеется прорезь, которая позволяет подводить острие микрометрического винта непосредственно к изгибаемому стержню.

Установка включается в сеть переменного тока 220 В. При этом на платформе загорается красная лампочка. Электрическая цепь самой установки включается тумблером, находящимся на платформе 1.

Внимание! При работе на установке электрическую схему рекомендуется включать при полностью подготовленной механической части работы.

21.4. Методика проведения эксперимента и обработка результатов

21.4.1. Методика проведения эксперимента

Физический метод, применяемый в данной работе, широко известен и заключается в измерении стрелы прогибаh при нескольких различных значениях внешней силыF . По данным опытов рекомендуется строить график зависимостиF =f(h). Если нагрузка на стержень не превышает предела упругости материала, из которого он изготовлен, то для каждого из исследованных образцов должна получиться линейная зависимость (закон Гука).

Из формулы (21.8) следует, что коэффициент с равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс на графике. При приблизительно одинаковых размерах стержней, согласно соотношению (21.9), угол наклона прямой пропорционален модулю Юнга. Это дает возможность по графику качественно сравнивать модули упругости разных материалов.

Внешняя силаF вычисляется по формуле

F = (m1 +m2)g,   (21.11)

гдеm1 - масса чашки для грузов;m2 - масса положенных на нее грузов;g - ускорение свободного падения.

Определение стрелы прогиба производится следующим образом. Исследуемый стержень с надетой обоймой без чашки для грузов устанавливается на опоры. Ввинчивая микрометр 7 (рис.21.4), добиваются соприкосновения его микрометрического винта со стержнем. При этом производится начальный отсчет по микрометруh0. Момент касания определяется по отклонению стрелки миллиамперметра, включенного в электрическую схему установки. Отсчет результатов по микрометру следует производить в том случае, если стрелка миллиамперметра колеблется около нулевого положения, когда нет еще надежного контакта в электрической цепи, т.к. при дальнейшем перемещении микрометрического винта вниз стрелка миллиамперметра занимает определенное положение, показывая силу тока в цепи, а исследуемый стержень изгибается не только под действием внешней силыF (уравнение 21.11), но и под действием силы давления микрометрического винта. Подвесив на крючок обоймы чашку с грузом, вновь добиваются соприкосновения острия микрометрического винта со стержнем. Выполняется отсчет по микрометруhi при нагруженном стержне. Стрелка прогиба определяется как разность

hi =h0 – hi.    (21.12)

Для повышения точности эксперимента рекомендуется производить измерения размеров поперечного сечения стержня а иb микрометром не менее, чем в десяти точках и при расчете использовать среднее арифметическое из полученных значений.

Длина стержня измеряется однократно: за длину стержняв лабораторной работе принимается расстояние между опорами. Значение модуля Юнга вычисляется по формуле (21.10).

21.4.2. Порядок выполнения работы

1) Произведите однократное измерение линейкой расстояния между опорами и результат запишите в протокол работы перед табл.21.2, где указано  = _____ см = ____ м.

2) Измерьте микрометром поперечные размеры стального и латунного стержней не менее, чем в десяти различных точках. Результаты запишите в табл.21.2.

3) Установите стальной стержень с обоймой на опоры.

4) Включите установку в сеть, затем включите тумблер на платформе 1.

5) Добившись касания микрометрического винта со стержнем, произведите отсчетh0.

6) Подвесьте чашку (значение ее массы указано на лабораторном столе) и груз массой 50 г (0,05 кг) на крючок обоймы.

7) Ввинчивая микрометрический винт, добейтесь соприкосновения его с исследуемым стержнем. Сделайте по микрометру отсчетhi при нагруженном стержне.

8) Постепенно увеличивая массу грузов на 100 г (0,1 кг) до 500 г (0,5 кг), сделайте остальные отсчетыhi по микрометру и результаты запишите в табл.21.3.

9) Выключите тумблер на платформе1. Разгрузите стальной стержень.

10) Установите на опоры латунный стержень. Выполните пп.4-8, учтя при этом, что масса грузов в этом случае должна изменяться через 50 г (0,05 кг) от 50 до 250 г (от 0,05 до 0,25кг).

11) Окончив измерения, выключите установку и разгрузите латунный стержень.

21.4.3. Обработка результатов измерений

1) Вычислите средние значения поперечных размеров стержней <а>, <b> и замшите результаты в табл.21.2.

Таблица 21.2Измерение размеров исследуемых стержней  =_____см =____ м.

Материал стержня

Поперечные размеры стержня, мм

а, 6

I

2

3

4

5

6

п

8

9

10

Сталь

a

b

Латунь

a

b

2) Вычислите значения внешней силыF по формуле (21.11) для всех нагрузок и запишите в табл.21.3. При вычислениях значения всех физических величин перевести в одну систему единиц (в СИ).

3) Вычислите значения модуля Юнга по формуле (21.10). Определите среднее значение модуля Юнга для каждого материала. Результаты запишите в табл.21.3.

4) По результатам опытов постройте графики зависимости для обоих стержней на одних координатных осях. Для каждого из образцов проведите прямую через экспериментальные точки так, чтобы по обе стороны ее оказалось приблизительно равное количество точек.

5) Из графиков для каждого материала определите угловой коэффициентtg()=F/(h), где - угол наклона прямой к осиh. Для этого необходимо на осиF произвольно выбрать отрезокF, из концов которого провести перпендикуляры до пересечения с графиком (прямой). Из точек пересечения опустить перпендикуляры на осьh, получим отрезок(h). ОтношениеF/(h) даст угловой коэффициент.

Таблица 21.3.Зависимость стрелы прогиба стержней от нагрузка

Масса грузов,

г

Отсчет по

микрометру,

мм

Стрела прогиба,

мм

Внешняя сила,

Н

Модуль Юнга, ГПа

Среднее значение модуля Юнга,

ГПа

1

0

Стальной стержень

2

100

....

....

6

500

1

0

Латунный стержень

2

50

....

....

6

250

6) Вычислите среднее значение модуля Юнга для каждого материала, используя график, по формуле (21.13):

       .    (21.I3)

7) Сравните значения модуля Юнга для каждого материала, полученные по формуле(21.13), со средними значениями в табл.21.3. Они должны быть приблизительно равными.

8) Сравните полученные значения модулей Юнга для стали и латуни с табличными (табл.21.1).

9) Сравните, соответствует ли больший угол наклона прямой на графике большему значению модуля Юнга материала, вычисленному по формулам.

10) Сравните модули упругости исследованных материалов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ИЗГИБА на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Реферат ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ИЗГИБА

2. Реферат Определение модуля упругости. Изучение закона Гука и определение модуля упругости модуля Юнга

3. Реферат Изучение закона Гука и определение модуля упругости (модуля Юнга)

4. Реферат Определение модуля Юнга методом изгиба

5. Реферат ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ

6. Реферат Определение модуля упругости

7. Реферат ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

8. Реферат Опытное определение модуля упругости и коэффициента Пуассона

9. Реферат Определение скорости ультразвука в жидкости и модуля объемной упругости методом стоячей волны

10. Реферат Определение модуля сдвига и модуля кручения методом крутильных колебаний