Новости

Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору

Работа добавлена:






Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору на http://mirrorref.ru

ЕЛЕМЕНТИ АЛГЕБРИ МАТРИЦЬ. ДЕТЕРМІНАНТИ.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Лекція 3

Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору.

Матриці.З фізики відомі більш складні математичні об’єкти, ніж числа, серед таких об’єктів добре відомі вектори. Ці величини описують швидкість, силу, момент сили і т.п., і характеризуються не тільки числовим значенням, а й напрямком. Вектор, як математичний об’єкт, описується  трьома числами, які записують або у вигляді рядка, або у вигляді стовпця:

чи .

Неважко навести приклад ще більш складного об’єкту. Нехай маємо системуn заводів, які випускаютьm видів продукції . Кожний вид продукції складається зn деталей, причому кожна з них випускається одним із заводів в кількості  штук, де  штук. При існуючій технології для випускуi-го виду продукції  необхідна деяка доля продукціїk-го заводу, величину якої позначимо . Таким чином маємо систему рівностей для кількостей деталей:

(3.1)

Ці рівності складають систему рівнянь. Вона характеризується таблицею чисел , яку можна записати окремо і розглядати як суцільний об’єкт, що має назву “матриця” (лат. matrix - матка, початок, джерело). Вперш це поняття зявилося в середині XIX ст. у У. Гамільтона, А. Келі (Cayley Arthur, 1821-1895, Англія) і Дж. Сільвестра (Sylvester J.J., 1814-1897, Англія). Основи теорії матриць були створені К. Вейерштрасом (Wierstras Karl, 1815-1897, Німеччина) і Г. Фробеніусом (Frobenius Georg, 1849-1917, Німеччина) Будемо позначати матрицю одним символом:

(3.2)

Очевидно, що матриця є узагальненням як числа, так і вектора. Дійсно, приm=1,n=1 матриця зводиться до числа, приm=1,n=3 вона є вектор-рядок, а приm=3,n=1 - вектор-стовпець.

Таким чином, матриця є таблиця чисел, розміщених в заданому порядку. Числа , які складають матрицю, називаються її елементами. Щоб показати це, матриці записують також у вигляді . Положення кожного елементу в матриці задається двома індексамиij. Перший індексі визначає номер рядка, другийj - номер стовпця.. Елементи, які стоять на діагоналі, що проходить з лівого верхнього кута матриці утворюють головну діагональ матриці. Елементи, які стоять на діагоналі, що проходить з правого верхнього кута - бічну.

Формула (1.2) визначає матрицю загального виду. МатрицяА називається прямокутною, якщо , та квадратною, якщоm=n . Виділяють також окремі види матриць. Нульова матриця - це матриця, яка складається з нулів. Верхня ступінчата матриця - це матриця, всі числа якої, що розміщені нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю:

.(3.3)

Якщо всі елементи вище головної дїагоналі дорівнюють нулю, матриця називається нижньою ступінчатою.

У випадку квадратної матриці верхня ступінчата називається верхньою трикутною, нижня ступінчата - нижньою трикутною.

Квадратна матриця, у якої відмінні від нуля тільки елементи на головній діагоналі, називається діагональною.

Одинична матрицяЕ - це діагональна матриця, у якої всі елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці.

Якщо матриця складається з одного рядка , то вона називається матрицею-рядком. Аналогічно, матриця

називається матрицею-cтовпцем.

Лінійні дії з матрицями.

1)Транспонування - дія, в результаті якої рядки і стовпці матриці міняються місцями із зберіганням порядку їх розміщення.

В результаті дії утворюється нова матриця, яка називається транспонованою по відношенню до даної і позначається AT.

,    .(3.4)

Звідси видно, що елементи транспонованої матриці звязані з елементами вихідної матриціАформулою: .

Наприклад, матриця-стовпець  після транспонування перетворюється на матрицю-рядок AT = .

Якщо транспонувати матрицю AT, то знову отримаємо початкову матрицю A, тобто (AT)T=A.

2)Рівність матриць. Порівнюють тільки матриці однакового розміру. Дві матриці однакового розміру рівні тоді і тільки тоді, коли їх елементи з однаковими індексами рівні. Таким чином

A = B , якщо , деi=1,2...m,j=1,2...n.(3.5)

3)Додавання матриць. Матриця С називається сумою матрицьА таВ, якщо

,(3.6)

деaij - елементи матриціA розміромmn, bij - елементи матриціB розміромmn таcij - елементи матриціС того ж розміру.

Приклад 1: Нехай , .Тоді сума дорівнює:

=

Приклад 2: Нехай

, .Тоді

Властивості додавання матриць аналогічні властивостям додавання чисел (1-4) (Лекція 2) і являються їх наслідком:

1)A+B = B+A,

2)A+(B+C) = (A+B)+C,

3)А+О = А, деО - нульова матриця

4)A+(-A) = O, де елементи-A дорівнюють . Матриця-A називається протилежною матриціA.

4)Множення матриці на число:МатрицяС розміруназивається добутком матриціА на число  ( - будь-яке дійсне число), якщо

.(3.8)

Приклад 3: Нехай ,  .

Тоді +=.

Приклад 4:

.

Властивості множення  матриці на число:

5)(A) = ()A,

6)1A = A,

7) (+)A = A+ A(3.9)

8)(A+B) = A +B.

Ці властивості є наслідком властивостей (7,8 та 11) дійсних чисел.

Таким чином, в розглянутих множинах математичних обєктів- в множинах чисел, векторів та матриць можна ввести дві лінійні операції, а саме додавання та множення на число, які мають властивості, загальні для всіх цих обєктів. Це дозволяє сформулювати нове поняття - поняття лінійного простору.

Поняття лінійного простору.Множина елементів, в якій введені операції додавання двох елементів та множення елемента на число, які не виводять за межі цієї множини та задовольняють властивостям додавання матриць та множення матриці на число, називаєтьсялінійним простором. Елементи лінійного простору називають також векторами.

Важливим поняттям в математиці і, в першу чергу, в теорії лінійних просторів, є поняття лінійної залежності елементів (векторів) лінійного простору. Сформулюємо означення цього поняття.

Лінійною комбінацією елементів  називається сума , де  - деякі, в загальному випадку довільні числа.

Якщо є такі числа , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що лінійна комбінація елементів  дорівнює нулю,

,(3.10)

то ці елементи називаютьлінійно залежними.

Якщо таких чисел не існує, то елементи називаютьлінійно незалежними.

Важливі властивості, які пов’язані з лінійною залежністю:

1) Якщо  лінійно незалежні, то і будь-яка їх частина також лінійно незалежна. Доведення від протилежного: нехай частина елементів , де , лінійно залежна, тобто існують числа , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, такі, що лінійна комбінація дорівнює нулю.

.(3.11)

Тоді дорівнює нулю і лінійна комбінація всіхkелементів, бо

.

А так як серед чисел  є відмінне від нуля, то це означає, що всі елементи  лінійно залежні, що суперечить умові.

2) Якщо елементи  лінійно залежні, то і поповнена система елементів ,, де,буде лінійно залежною. Дійсно, з лінійної залежності маємо, що існують такі числа, серед яких є відмінні від нуля, що

.

Домножаючи тепер елементи  на нулі і додаючи до попереднього рівняння одержимо

.

Таким чином, лінійна комбінація елементів , дорівнює нулю, і так як серед коефіцієнтів є відмінні від нуля, то ці елементи є лінійно залежними.

Контрольні питання.

1. Що таке матриця? Які є види матриць?

2. Чи змінюється матриця при транспонуванні?

3. Які матриці вважаються рівними?

4. Які ви знаєте лінійні дії над матрицями?

5. Які елементи називаються лінійно незалежними?

Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Реферат Поняття аналітичної геометрії. Лінійні геометричні об’єкти

2. Реферат Ранг матриці. Елементарні перетворення матриці

3. Реферат Психічний код людини та пренатальні матриці

4. Реферат Лінійні оператори. Матриця оператора

5. Реферат Лінійні простори. Базис. Розмірність. Ізоморфізм просторів

6. Реферат Доведення лінійного диференціяльного рівняння

7. Реферат Розв’язування задач лінійного програмування

8. Реферат Податковий контроль: поняття та зміст, класифікація та поняття податкової перевірки

9. Реферат Графічний метод розвязування задач лінійного програмування

10. Реферат СПРИЙНЯТТЯ ПРОСТОРУ