Новости

Система управления положением перевёрнутого маятника

Работа добавлена:






Система управления положением перевёрнутого маятника на http://mirrorref.ru

Федеральное агентство по образованию

Государственное Образовательное Учреждение

Высшего Профессионального Образования

Рязанский государственный радиотехнический университет

Кафедра АИТУ

Курсовая работа по дисциплине: "Теория автоматического управления"

Тема работы: «Система управления положением перевёрнутого маятника»

Рязань 2008

Описание объекта управления

Объектом управления является перевернутый маятник, прикрепленный с помощью шарнира к тележке, способной перемещаться вдоль горизонтальных направляющих (рис. 1). данный объект управляется двигателем, который в определенный момент времени прикладывает к тележке силу, являющуюся входной переменной. Цель управления заключается в поддержании маятника в вертикальном положении, что достигается путем горизонтального перемещения (переменная s) тележки. Сила, приложенная к тележке, обозначается u, М – масса тележки, m – масса маятника (материальной точки), l – длина маятника. Трение оси маятника не учитывается.

Рис. 1 - Перевернутый маятник

Исходные данные

1. Уравнение, связывающее угловое отклонение маятника и перемещение оси шарнира S(t), имеет вид

, где J – момент инерции относительно центра тяжести; m – масса маятника, l – расстояние между осью и центром тяжести. Точками обозначена операция дифференцирования по времени.

2. Двигатель и привод описываются уравнением

, где U – напряжение, подводимое к двигателю; MT – масса тележки, H – коэффициент вязкого трения, CU – коэффициент пропорциональности.

3. Допустимая величина перерегулирования σ, %.

4. Допустимое время регулирования tp, с.

5. Система управления должна обеспечить устойчивость не только по углу θ, но и по перемещению S. Если система не будет устойчива по отношению к S, то последовательность случайных возмущений вызовет случайное блуждание положения тележки, в результате чего рано или поздно тележка, приблизившись к какому- нибудь концу, сойдет с направляющих.

6. Численные значения данных приведены в таблице ниже:

Вариант №1

30

0,65

1,5

11,65

50

Линеаризация уравнения маятника

Большинство физических систем описывается нелинейными уравнениями. Однако только в первом приближении (при малых отклонениях от рабочей точки) эти уравнения можно заменить линейными уравнениями, что позволяет привлечь математический аппарат анализа и синтеза линейных систем. Например, широко распространенный метод описания свойств этих систем основан на использовании частотных характеристик и корневых годографов линейных стационарных систем. Методы современной теории управления, используемые в настоящей курсовой работе, такие как метод желаемого расположения полюсов замкнутой системы и нахождение вектора коэффициентов обратной связи по состоянию, являются методами синтеза линейных систем с постоянными параметрами.

Линеаризация – это процесс преобразования нелинейной математической модели элемента в линейную, эквивалентную ей при некоторых условиях.

Линеаризацию необходимо проводить потому, что в данной курсовой работе используются методы анализа и синтеза линейных систем, и, следовательно, модель объекта управления должна быть задана линейным дифференциальным уравнением.

В общем виде нелинейный динамический элемент описывается дифференциальным уравнением вида:

, (1.1)

где F – нелинейная функция.

Если  и , то уравнение (1.1) примет вид:

(1.2)

Уравнение (1.2) называют уравнением статики. Оно описывает состояние равновесия нелинейного элемента.

Уравнение, описывающее движение маятника, имеет следующий вид:

или

(1.3)

Найдем рабочую точку элемента. Для этого подставим  и в уравнение (1.3). Получим уравнение статики:

(1.4)

Очевидно, что положением равновесия перевернутого маятника будет положение .

Отклонения от состояния равновесия можно записать в виде   Подставим эти выражения в формулу (1.3) и, учтя, что получим уравнение в отклонениях вида:

(1.5)

Функция F – однозначная и дифференцируемая по всем своим аргументам, следовательно, мы можем разложить ее в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки:

где - нелинейная часть разложения в ряд Тейлора. Если  малы, то слагаемым можно пренебречь. Получим:

Обозначим . Тогда линеаризованное уравнение маятника запишется в виде:

или  (1.6)

Формула (1.6) получена на основе общего подхода к линеаризации систем. Проверить полученный результат можно также из формулы (1.3), если учесть, что при

Определение передаточной функции объекта управления

Объект управления состоит из тележки с прикрепленным к ней с помощью шарнира маятником. Тележка перемещается под действием подводимого к двигателю напряжения u(t), и в зависимости от передвижения тележки s(t) меняется угловое положение маятника θ(t).

Найдем передаточную функцию W(p) данного объекта управления, считая входом напряжения u(t), а выходом – аппроксимированное угловое положение точки маятника, находящейся на расстоянии J/ml от оси.

Для этого подвергнем преобразованию Лапласа уравнение, описывающее двигатель и привод, и линеаризованное уравнение маятника (1.6). Будем иметь:

(2.1)

Из первого уравнения выразим s(p):

и подставим во второе уравнение, тогда получим:

, откуда:

Так как , то:

После несложных преобразований получим:

(2.2)

Передаточная функция объекта управления определяется как:

(2.3)

После подстановки данных получаем:

С помощью функции roots системы MATLAB найдем корни знаменателя передаточной функции объекта управления:

>> W=[1 1.5 -11.65 -17.475 0]

W =

1.0000 1.5000 -11.6500 -17.4750 0

>> roots(W)

ans =

0

3.4132

-3.4132

-1.5000

Тогда передаточная функция W(p) имеет вид

(2.4)

Один из полюсов передаточной функции является правым, следовательно, объект управления является неустойчивым.

Найдем передаточную функцию объекта управления W1(p), связывающую входное напряжение u(t) и угловое положение маятника θ(t), а также передаточные функции привода WUS(p) и перевернутого маятника WSθ(p). Из формулы (2.1) найдем:

(2.5)

(2.6)

Передаточная функция W1(p) находится как передаточная функция последовательного соединения звеньев, описываемых уравнениями (2.5), (2.6):

(2.7)

Подставив численные значения, получаем:

(2.8)

Определение математической модели объекта в переменных состояния

Объект управления описывается двумя уравнениями второго порядка (2.1), поэтому необходимо использовать четыре переменных состояния. В качестве переменных состояния удобно принять:

Преобразовав эти выражения по Лапласу, получим

(3.1)

Преобразуем формулы (2.1), разделив второе уравнение на p и учтя соотношения (3.1). Получим:

Переходя к оригиналам, имеем:

Здесь и далее для удобства не показана зависимость переменных от времени. Заметим, что , тогда

(3.2)

(3.3)

Объединяя все уравнения в одно векторно-матричное уравнение, получим математическую модель объекта управления, записанную в стандартной форме:

(3.4)

где  - вектор состояния,

- системная матрица,

- матрица входа,

- матрица выхода.

По имеющимся уравнениям объекта управления можно построить его структурную схему (рис.2).

Рис. 2

Определение матриц управляемости и наблюдаемости объекта управления

Для того, чтобы можно было создать систему управления перевернутым маятником, описываемым уравнениями (3.4), объект управления должен быть полностью управляем. Линейная стационарна система (3.4) называется управляемой, если можно найти входной сигнал u(t), который переводил бы систему из начального состояния x(0) в начало координат пространства состояний x(t0)=0 за конечное время t0. Это обеспечивается, если матрица управляемости

имеет себе обратную.

Для поиска матрицы управляемости воспользуемся функцией ctrb(A,B) системы MATLAB

>> A=[0 0 11.65 -1.19;0 0 0 1;1 0 0 0;0 0 0 -1.5]

A =

0 0 11.6500 -1.1900

0 0 0 1.0000

1.0000 0 0 0

0 0 0 -1.5000

>> B=[0;0;0;50]

B =

0

0

0

50

>> U=ctrb(A,B)

U =

0 -59.5000 89.2500 -827.0500

0 50.0000 -75.0000 112.5000

0 0 -59.5000 89.2500

50.0000 -75.0000 112.5000 -168.7500

Матрица U имеет себе обратную, если ее определитель det(U) отличен от нуля. Вычислим определитель этой матрицы:

>> det(U)

ans =

-1.0311e+008

Таким образом, определитель отличен от нуля, следовательно, система является полностью управляемой.

Другим важным свойством любого объекта управления является его наблюдаемость.

Линейная стационарная система (3.4) является наблюдаемой, если по значениям выходной функции y(t), , где t1 – конечное время, можно определить начальное состояние x(0). Можно показать, что система является наблюдаемой, если матрица

имеет себе обратную.

Вычисляем матрицу Q и ее определитель средствами системы MATLAB. Для этого необходимо использовать функцию obsv(A,C):

>> A=[0 0 11.65 -1.19;0 0 0 1;1 0 0 0;0 0 0 -1.5]

A =

0 0 11.6500 -1.1900

0 0 0 1.0000

1.0000 0 0 0

0 0 0 -1.5000

>> C=[1 1.19 0 0]

C =

1.0000 1.1900 0 0

>> Q=obsv(A,C)

Q =

1.0000 1.1900 0 0

0 0 11.6500 0

11.6500 0 0 0

0 0 135.7225 -13.8635

>> det(Q)

ans =

-2.2391e+003

Так как определитель Q отличен от нуля, то перевернутый маятник является полностью наблюдаемой системой.

Построение корневого годографа системы с пропорциональным управлением

Корневой годограф представляет собой траекторию корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении какого-либо параметра системы. Обычно в качестве такого параметра выступает коэффициент усиления разомкнутой системы (рис.3).

Рис. 3

Для одноконтурной системы, представленной на рисунке, характеристическое уравнение определяется как

D(s)=1+KW(s)=0,

где K – варьируемый параметр.

Корневой годограф системы можно построить с помощью инструмента sisotool пакета MATLAB.

Для построения корневого годографа в sisotool необходимо задать передаточную функцию объекта управления W(p) (формула (2.4)) в поле plant и передаточную функцию обратной связи Wос=k в поле compensator.

Результат построения годографа приведен на рис. 4.

Рис. 4 - Корневой годограф системы с пропорциональным управлением

Проведем аналитическое построение корневого годографа.

Передаточная функция объекта управления имеет вид:

,

где - характеристический полином замкнутой системы.

Число полюсов n=4, число нулей m=0, следовательно, число ветвей корневого годографа, уходящих в бесконечность, n-m=4. Асимптоты ветвей, уходящих в бесконечность, имеют одну точку пересечения с вещественной отрицательной полуосью с абсциссой, которая находится по следующей формуле:

,

Асимптоты проходят под углами , где .

Ветви годографа совпадают с вещественной осью на отрезках, слева от которых находится нечетное число полюсов (т.е. отрезки [0;+α1] и [-α1;-α], где α1=±3.41, α=-1.5.

Рис. 5

Точки «отрыва» (x) ветвей годографа, уходящих в , определяются по следующей формуле:

. Пусть

Тогда x=2.723.

Комплексные части годографа попарно сопряжены и ветви симметричны относительно вещественной оси.

Таким образом, корневой годограф имеет вид, представленный на рис. 5.

Анализ корневого годографа позволяет сделать вывод о том, что система, включающая объект управления с пропорциональным управлением, является неустойчивой при любом значении коэффициента k.

Выбор желаемой передаточной функции системы управления

Задача слежения, решаемая с помощью аналитического синтеза, предъявляет к желаемой системе следующие требования:

1) к точности воспроизведения задающего воздействия (коэффициенты ошибок ci);

2) к качеству переходного процесса (перерегулирование σ% и время регулирования tр при 2% допустимой ошибке).

В соответствии с этими требованиями должны быть выбраны нули и полюса желаемой системы.

В качестве желаемой выберем передаточную функцию двухполюсной системы:

(6.1)

В динамическом отношении двухполюсная система эквивалентна колебательному звену. Поэтому для нее будут справедливы следующие формулы:

(6.2)

При заданных перерегулировании σ%=30% и времени регулирования tр=0.65с, можно найти коэффициенты

ξ=0.36, ω0=12.82 с-1, c0=0, c1=0.056

Тогда передаточная функция желаемой системы примет вид:

(6.3)

С помощью функций MATLAB вычислим характеристику звена с передаточной функцией Фж(p), обеспечивающей желаемое расположение полюсов проектируемой системы, и определим полученные значения σ% и tр при 2% допустимой ошибке.

>> Fg=tf(164,[1 9 164])

Transfer function:

164

---------------

s^2 + 9 s + 164

>> step(Fg)

Рис. 6 - Переходная характеристика желаемой системы

Определение передаточной функции главной обратной связи

Найдем передаточную функцию главной обратной связи, обеспечивающую желаемое расположение полюсов проектируемой системы, основываясь на моделях типа «вход-выход», то есть при использовании передаточных функций применительно к системам с одним выходом.

Структурная схема проектируемой системы имеет вид, представленный на рис. 7.1.

Рис. 7

где W1(p) – передаточная функция объекта управления, W2(p) – передаточная функция прямой связи, Wβ(p) – передаточная функция обратной связи.

Так как задающее воздействие V(p)=0, то стоит задача определения только передаточной функции Wβ(p). Алгоритм аналитического синтеза заключается в следующем. Исходная информация включает в себя:

- модель объекта, определяемую передаточной функцией

W1(p)=к1(p)/D1(р);

- характеристический многочлен наблюдателя Д0(p);

- вид и параметры желаемой передаточной функции

Предполагается, что исходные данные удовлетворяют условиям

Шаг 1. Разложить k1(p) и kж(p) на множители:

где k1+(p) – многочлен с коэффициентами при старшей степени, равным единице, все нули которого являются правыми. Заметим, что те нули многочлена k1+(p), которые имеют достаточно малую отрицательную вещественную часть, то есть нули близко расположенные к мнимой оси, целесообразно включать в многочлен k1-(p), чтобы избежать излишней колебательности процессов. Если этого не сделать, то в результате неизбежных изменений параметров объекта упомянутые нули могут оказаться в правой половине комплексной плоскости, что повлечет за собой неустойчивость системы.

Шаг 2. Решить уравнение

относительно  и  и выбрать решение, удовлетворяющее равенствам:

Шаг 3. Искомое управление имеет вид

Заметим, что , а следовательно , имеет при старшей степени коэффициент, равный единице.

Передаточная функция объекта управления имеет вид:

deg k1=0, deg D1=4.

Желаемая передаточная функция имеет вид:

deg kж=0, deg Дж=2.

Условие физической осуществимости закона управления выглядит следующим образом:

Подставим соответствующие значения:

2 – 0 ≥ 4 – 0

Условие физической осуществимости не выполняется, поэтому за передаточную функцию объекта управления примем передаточную функцию:

(7.1)

Тогда deg k1=1, deg D1=3 и условие осуществимости будет выполняться:

.

Пусть ν=1, то есть в систему вводится один интегратор.

1) Разложим числители передаточных функций  и  на сомножители:

Пусть ,  и

Выберем порядок характеристического многочлена наблюдателя системы из условия:

D0(p)=

2) Решаем уравнение синтеза:

.

Решения этого уравнения  должны удовлетворять условиям:

Запишем искомые числитель и знаменатель в виде многочленов с неопределенными коэффициентами:

Уравнение синтеза примет вид:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левых и правых частях уравнения, получим систему уравнений:

Решая полученную систему уравнений, имеем:

Таким образом, получим следующие многочлены:

Многочлен Д2(p) можно найти по формуле:

3) Передаточная функция главной обратной связи будет иметь вид:

(7.2)

Рассмотрим устойчивость замкнутой системы относительно

Структурная схема системы с обратной связью по углу  имеет вид:

Рис. 8

В этой схеме

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Для определения устойчивости замкнутой системы по  построим переходную характеристику этой системы, зная её передаточную функцию. Для этого в m-файле задаем передаточную функцию замкнутой системы и вызываем функцию Step(W), осуществляющую построение переходной характеристики.

>> W=tf([-60 -84999 0 0],[1 1418 38353 776380 7004846 51660000])

Transfer function:

-60 s^3 - 84999 s^2

------------------------------------------------------

s^5 + 1418 s^4 + 38353 s^3 + 776380 s^2 + 7.005e006 s

+ 5.166e007

Рис. 9 - Переходная характеристика замкнутой системы по

Делаем вывод: замкнутая система устойчива по .

Рассмотрим устойчивость по перемещению S.

Структурная схема имеет вид:

Рис. 10

Аналогично строим переходную характеристику:

>> W=tf([50 70825 -582.5 -825110],[1 1418 38353 776380 7004846 51660000])

Transfer function:

50 s^3 + 70825 s^2 - 582.5 s - 825110