Новости

Понятие предиката. Кванторы. Язык логики предикатов

Работа добавлена:






Понятие предиката. Кванторы. Язык логики предикатов на http://mirrorref.ru

Тема 3.Элементы логики предикатов.

Лекция 12.Понятие предиката. Кванторы. Язык логики предикатов.

Определение 12.1.Логика предикатов – новая логическая система, представляющая развитие логики высказываний.

Исторически понятие предиката явилось следствием анализа логических высказываний, т.е. выяснение их логической структуры.

Определение 12.2.Предикат– это функция, значениями которой являются высказывания об -ках объектов, представляющих значения аргументов.

Чтобы задать -местный предикат  следует указать множества , которые назовёмобластями изменения переменных. Чаще всего рассматривается случай, когда . С теоретико-множественной точки зрения, предикат определяется заданием подмножества . Область определения предиката называетсяпредметной областью. Переменные   из области определения называютпредметными переменными. Элементы множеств  называютпредметами. Множество  – множество кортежей  длины  называютполем предиката. Будем обозначать предметные переменные малыми буквами конца  латинского алфавита и иногда снабжать их индексами. Предметы из множеств  будем обозначать малыми буквами начала латинского алфавита. Предикаты будем обозначать большими буквами латинского алфавита с приписанными предметными переменными. Число переменных указывают как верхний индекс у предиката.

Рассмотримпример: « – простое число». Это выражение не является высказыванием, но если в нем переменную  заменить на определенное число, то получим высказывание. Причем при замене  на число , получим истинное высказывание, а при замене  на число  – ложное. Т.о. выражение « – простое число» можно рассматривать, как функцию , зависящую от переменной . Область определения функции  – множество чисел, а область значений – высказывание.

Определение 12.3.Одноместным предикатом , определенном на множестве , называют выражение, которое после подстановки в него вместо  – предмета из области  обращается в высказывание.

Определение 12.4. -местный предикат – функция, предметные переменные которой принимают значение ноль или единица: .

Определение 12.5. Предикат называютразрешимым, если существуют такие кортежи, компоненты которых обращают предикат в истинное высказывание.

Определение 12.6. Если предикат при подстановке любых  конкретных элементов из соответствующих множеств обращается в истинное высказывание, его называюттождественно истинным.

Определение 12.7. Если предикат при подстановке любых  конкретных элементов из соответствующих множеств обращается в ложное высказывание, его называюттождественно ложным.

К предикатам, определенным на одном и том же множестве можно применять операции алгебры высказываний  и таким образом получать новые предикаты.

Рассмотрим предикаты, в которых свободной является лишь одна переменная, которую обозначим  и обсудим применение предикатов. Типичным примером является:

.

Свободная переменная  может принимать здесь любое значение. Для некоторых чисел  утверждение истинно, а в остальных оно ложно. В подобных случаях, когда истинность или ложность предиката зависит только от значения, принимаемого свободной переменной , множество допустимых значений  можно рассматривать как множествологических возможностей , а множество всех значений этой переменной, при которых высказывание истинно, как егомножество истинности. В приведенном примере множество  состоит из всех действительных чисел, а множество истинности состоит из двух элементов: .

В результате введения понятия множества истинности для предикатов, можно сказать, что решить уравнение – значит найти один или все элементы его множества истинности. При решении системы двух уравнений имеем предикат, представляющий конъюнкцию двух уравнений, поэтому ищем пересечение двух множеств истинности, и если это пересечение пусто, то система уравнений не имеет решений.

Основные законы алгебры, справедливые для предикатов:

Помимо операций алгебры высказываний в логике предикатов есть две операции, которые связаны с природой предикатов. Пусть дан предикат .

Выражение  означает высказывание, истинное только в том случае, когда предикат  истинен для всех предметов из поля . Выражение читается как:для всякого.

– квантор общности.

Выражение  означает высказывание, истинное только в том случае, когда предикат  истинен хотя бы для одного предмета из поля . Выражение читается как:существует , что.

– квантор существования.

Пример:

Определение 12.8.Квантор общности – это оператор, приводящий соответственно любому одноместному предикату  такую двухзначную логическую переменную , которая принимает значение единица тогда и только тогда, когдапри всех значениях .

Определение 12.9.Квантор существования – это оператор, приводящий соответственно любому одноместному предикату  такую двухзначную логическую переменную , которая принимает значение ноль тогда и только тогда, когдапри всех значениях .

Рассмотрим некоторые общие свойства этих операторов. В соответствии с определениями кванторов, логическая переменнаяв выражениях  и  уже не является функцией предметной переменной . Для того, чтобы отметить отсутствие функциональной зависимости  от , предметную переменную  называютсвязанной. Несвязанной переменной называютсвободную переменную.

Пример:. В этом предикате переменные  –связанные, а переменные  – свободные.

Если квантор общности или квантор существования применяется не к одноместному предикату, а к какому-нибудь -местному, то в результате этого получается снова предикат, но за счет связывания одной предметной переменной, получаемый предикат будет -местным.

Наряду с определенными предикатами, для которых истинность или ложность известны для каждого набора значений свободных переменных, будем рассматривать переменные предикаты, для которых не определены значения.

Определение 12.12. Применяя к переменным предикатам операции , получим формулы логики предикатов, аформулой логики предикатов называется выражение, составленное из переменных предикатов с помощью логических операций и кванторов и обращающееся в конкретный предикат при подстановке вместо переменных конкретных предикатов.

Пример: .

Определение 12.11. Формула логики предикатов называетсятавтологией, если при подстановке любых конкретных предикатов она всегда обращается в тождественно истинный предикат.

Понятие предиката. Кванторы. Язык логики предикатов на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Реферат Представление знаний с использованием логики предикатов

2. Реферат Предмет и значение логики. Логика и язык

3. Реферат Понятие выводимости в логике предикатов

4. Реферат Индоевропейские языки. Понятие о праязыке. Праславянский язык. Лингвистическая палеославистика

5. Реферат Берегите наш язык, наш прекрасный, русский язык урок мозговой штурм

6. Реферат Формирование понятия «иностранный язык», «английский язык», в частности, развитие речевых коммуникативных навыков, памяти и внимания

7. Реферат Язык как предмет языкознания. Язык и речь

8. Реферат Понятие информации. Виды информации. Роль информации в живой природе и в жизни людей. Язык как способ представления информации: естественные и формальные языки

9. Реферат Латынь. Латинский язык. Архаическая латынь (Древнелатинский язык)

10. Реферат Неклассические логики