Новости

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Работа добавлена:






ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ на http://mirrorref.ru

Часть 4. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Лекция 10

полиномиальная интерполяция

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Пояснить сущность задачи интерполяции; дать общую схему ее решения; построить интерполяционный полином Лагранжа, ввести разделенные разности и получить на их основе интерполяционный многочлен Ньютона.

Постановка задачи.

Важным элементом численного анализа является задача интерполирования функций,которую приходится решать в следующих приложениях: машинная графика, автоматизация проектирования, обработка экспериментальных данных, управление, передача данных и др. При этом часто возникает задача восстановления функции на отрезке, если известны ее значения в конечном числе точек отрезка. Эти значения определяются на основании экспериментальных измерений либо в результате вычислений.

Сформулируем математическую постановку задачи интерполяции.

Пусть на отрезке  в точках

известны значения функции, равные

.

Требуется построить интерполянту – интерполяционную функцию, совпадающую с функцией  в точках :

(10.1)

и в то же время аппроксимирующую ее, естественно приближенно, на всем отрезке.

Основной вопрос интерполяции: как выбрать интерполянту  и как оценить погрешность ? Интерполяционные функции строятся, как правило, в виделинейной комбинации некоторых линейно-независимых элементарных функций :

,(10.2)

где  – коэффициенты, которые можно определить, используя условие (10.1). Из этого условия

.(10.3)

Относительно коэффициентов  получили систему линейных алгебраических уравнений, порядок которойравенn+1. В силу линейной независимости элементарных функций  определитель этой системы отличен от нуля, и решение для единственно. Таким образом, вычисляя  из (10.3) и подставляя их в (10.2), можем получить значениев любой точке.

В качестве системы линейно-независимых функций  чаще всего выбирают степенные функции, например. В этом случае  – полином степениn.

Интерполяционная формула Лагранжа.

При построении интерполяционной формулы Лагранжа в качестве  используются полиномы Лагранжа  степениn, удовлетворяющие условиям

Для выполнения второго условия полином степениn должен иметь вид

,

т.е. его корнями являются все узлы интерполяции, кромеk-го. Коэффициент  определим, используя первое условие:

.

Отсюданаходим

и

.

Решение системы (10.3) при использовании в качестве элементарных функций полиномов Лагранжа  имеет вид. Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа представится как

.

Преобразуем его к виду, используемому на практике при вычислении значений функции:

.

Интерполяционный многочлен совпадает с интерполируемой функцией только в точках. В остальных точках имеет место погрешность интерполяции

,

которая оценивается величиной

,

где. (Вывод оценки погрешности опустим). Погрешность интерполяции зависит от числа узлов интерполяцииn, а также от их расположения на отрезке. Наилучшими узлами интерполяции следует признать те, для которых  принимает наименьшее значение.

Недостатком интерполяционной формулы Лагранжа является то, что каждое слагаемое зависит от всех узловинтерполяции. При добавлении узла интерполяции и, следовательно, повышениипорядка полиноманеобходимо вычислять не только слагаемое, относящееся к новому узлу, но и перевычислять заново слагаемые, относящиеся ко всем узлам интерполяции.

Понятие конечных и разделенных разностей.

Пусть на равномерной сетке в узлах  заданы значения функции, т. е.

.

Конечными разностями первого порядка называют величины

.

Разности конечных разностей первого порядка называют конечными разностями второго порядка:

.

Аналогично определяют конечные разности следующих порядков:

.

Схему вычисления конечных разностей удобно представить в виде следующего треугольника:

Если узлы интерполяции – произвольные точки, то вводится понятие разделенных разностей.

Разделенная разность первого порядка:

.

Разделенная разность второго порядка:

.

Разделенная разностьk-го порядка:

Отметим два важных свойства разделенных разностей:

  1. Разделенная разность является симметричной функцией своих аргументов, т.е. значение разделенной разности не зависит от порядка перечисления узлов интерполяции, а зависит только от их значений;
  2. Разделенная разность вычисляется и тогда, когда две или более точки интерполяции одинаковы.

Разделенная разность первого порядка в случае,когда одинаковы две точки,  имеет вид

.

Если точка  среди узлов интерполяции встречается(m+1) раз, то разделенная разностьm-го порядка на этих узлах

.

Приведем теперь схему вычисления разделенных разностей

Интерполяционная формула Ньютона.

Пусть. Построим первую разделенную разность

.

Откуда находим

.

Построим вторую разделенную разность

и выразим из нее :

.

Подставимв выражение для :

.

Аналогично привлекаем следующие узлы интерполяции для построения интерполяционной функции.

После использования всех узлов интерполяции:

Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

.

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что

.

Погрешность интерполяции

.

Более эффективное вычисление значения функции по интерполяционной формуле Ньютона можно получить, если преобразовать ее к такому виду:

Интерполяционная формула Ньютона позволяет легко наращивать число узлов интерполяции, требуя при этом вычисления лишь дополнительных слагаемых. Например, добавление узла  приведет к вычислению слагаемого

.

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ на http://mirrorref.ru


Похожие рефераты, которые будут Вам интерестны.

1. Интерполирование функции

2. Исследование функций и построение графиков функций

3. Природа и состав функций менеджмента. Взаимосвязь функций в процессе управления. Специальные функции управления

4. Процедуры и функции. Заголовок и тело процедур и функций, классификация параметров. Вызов процедур и функций. Особенности их использования. Особенности использования массивов в качестве параметров

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

6. Перегрузка функций в C++

7. Страхование и его функций

8. Минимизация булевых функций

9. Непрерывность элементарных функций

10. Система функций права